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高中数学 函数 时 二次函数的性质与图象课时作业 新人教B版必修1

第 17 课时 二次函数的性质与图象
课时目标 1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质. 2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 3.会用二次函数的图象和性质解决一些简单问题.

识记强化

1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是 R.当 b=c=0 时,二次函 数变为 y=ax2(a≠0),它的图象是一条顶点为原点的抛物线,a>0 时,抛物线开口向上,a
<0 时,抛物线开口向下,这个函数是偶函数. 2.二次函数 f(x)=a(x-h)2+k 有如下性质: (1)函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),对称轴是 x=h; (2)当 a>0 时,抛物线的开口向上,函数在 x=h 处取最小值 ymin=k=f(h),在区间(-
∞,h]上是减函数,在 h,+∞)上是增函数; (3)当 a<0 时,抛物线开口向下,函数在 x=h 处取最大值 ymax=k=f(h),在区间(-∞,
h]上是增函数,在 h,+∞)上是减函数. 3.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)配方后为:y=a(x+2ba)2+4ac4-a b2.

(时间:45 分钟,满分:90 分)

课时作业

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.二次函数 y=-x2+bx+c 的图象的最高点是(-3,1),则 b,c 的值是( ) A.b=6,c=8 B.b=6,c=-8 C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=-8 答案:D

??b2=-3 ? 解析:由题意,得 -4c-b2
?? -4 =1

,解得?????bc= =- -68 .

2.二次函数 y=4x2-mx+5 的图象的对称轴为直线 x=-2,则当 x=1 时,y 的值为( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 答案:D 解析:∵函数 y=4x2-mx+5 的图象的对称轴为直线 x=-2,∴m8=-2,即 m=-16, ∴y=4x2+16x+5,∴当 x=1 时,y=25,故选 D. 3.在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和函数 y=-mx2+2x+2(m 是常数,且 m≠0) 的图象可能是( )

答案:D 解析:当 m>0 时,函数 y=mx+m 递增,且在 y 轴上的截距为正,函数 y=-mx2+2x +2 的图象开口向下,对称轴在 y 轴右侧.当 m<0 时,函数 y=mx+m 递减,且在 y 轴上的 截距为负,函数 y=-mx2+2x+2 的图象开口向上,对称轴在 y 轴左侧.满足上述条件的只 有 D 选项. 4.若 f(x)=3x2+2(a-1)x+b 在区间(-∞,1]上是减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.-2,+∞) C.(-∞,2] D.2,+∞) 答案:A 解析:∵对称轴为直线 x=1-3 a,图象开口向上,在(-∞,1]上是减函数,∴1-3 a≥1,
∴a≤-2. 5.若函数 f(x)=-x2+2ax 在区间 0,1]上是增函数,在区间 3,4]上是减函数,则实数
a 的取值范围是( ) A.(0,3) B.(1,3) C.1,3] D.0,4] 答案:C 解析:函数 f(x)=-x2+2ax 的图象的对称轴为直线 x=a,由题意,知 1≤a≤3. 6.对于每一个实数 x,f(x)是 y=2-x2 和 y=x 这两个函数值中的较小者,则 f(x)的
最大值是( ) A.1 B.2 C.0 D.-2 答案:A 解析:由数形结合的思想,比较两函数图象在同一坐标系下的位置关系. 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分)
7.函数 y=x- x-1+2 的值域为________. 答案:???141,+∞??? 解析:函数 y=x- x-1+2 定义域 x≥1,令 x-1=t(t≥0),则 x=t2+1,∴y=t2 -t+3=???t-12???2+141,t≥0,∴y≥141. 8.当 0≤x≤2 时,a<-x2+2x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案:(-∞,0) 解析:令 f(x)=-x2+2x.因为 x∈0,2]时,a<-x2+2x 恒成立,则 a<f(x)min,而 f(x) =-x2+2x=-(x-1)2+1,当 x∈0,2]时,f(x)∈0,1],所以 a<0. 9.设二次函数的图象如图所示,则此函数的解析式为________.

答案:y=23x2+43x-2 解析:设函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a>0),由题设知 x=0 时,y=c=-2.

??-3+1=-ba

? ?? -

2 =-a

? a=23,b=43.

故解析式为 y=23x2+43x-2.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分) 10.(12 分)已知二次函数 y=2x2-4x-6.

(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出图象;

(2)求 x 为何值时,分别有 y>0,y=0,y<0. 解:(1)配方,得 y=2(x-1)2-8,

∴函数图象开口向上,对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1,-8).

列表如下:

x … -2 -1 0

1

2 3…

y … 10

0 -6 -8 -6 0 …

描点并画图,得函数 y=2x2-4x-6 的图象,如图所示.

(2)当函数图象在 x 轴上方,即 x<-1 或 x>3 时,y>0;

x=-1 或 x=3 时,y=0;-1<x<3 时,y<0.

11.(13 分)设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x),且 f(x)=0 的两实根的平方和为

10,图象过点(0,3),求 f(x)的解析式.

解:由 f(x+2)=f(2-x)得 f(x)的对称轴为 x=2.设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),即-2ba

=2.

∵图象过点(0,3),∴c=3.

又 f(x)=0 的两实根的平方和为 10,设两根分别为 x1,x2,则 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2

b2

c

=a2-2·a=10,将

b=-4a,c=3

代入得:

16-2·3a=10,∴a=1,b=-4,

∴f(x)=x2-4x+3.

能力提升 12.(5 分)如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( )

A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)
答案:A 解析:由 f(2+t)=f(2-t),知 f(x)的对称轴为 x=2,又 f(x)的图象开口向上, ∴f(2)<f(1)<f(4). 13.(15 分)已知函数 f(x)=x2-4x+2 在区间 t,t+2]上的最小值为 g(t),求 g(t)的
表达式. 解:∵f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2, ∴函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x=2. 当 t≥2 时,函数 f(x)在区间 t,t+2]上为增函数, ∴当 x=t 时,f(x)取最小值 t2-4t+2; 当 t+2≤2,即 t≤0 时,函数 f(x)在区间 t,t+2]上为减函数, ∴当 x=t+2 时,f(x)取最小值(t+2)2-4(t+2)+2=t2-2; 当 0<t<2 时,函数 f(x)取得最小值-2.

?? t2-2,t≤0

∴g(t)=?-2,0<t<2

.

??t2-4t+2,t≥2



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