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【学海导航】高考数学第一轮总复习 1.3含绝对值的不等式和一元二次不等式(第2课时)课件 理 (广西专版)_图文

第一章 集合与简易逻辑 第3讲 含绝对值的不等式 和一元二次不等式 (第二课时) ? 题型四:二次不等式、分式不等式的解法 ? 1. 解不等式组 x 2 ? 6 x ? 8>0 x?3 >2. x ?1 ? 由x2-6x+8>0,得(x-2)(x-4)>0, x?3 ?x ? 5 >2 ,得 >0 ,所以1<x< x ?1 x ?1 ? 所以x<2或x>4. ? 由 5. ? 所以原不等式组的解集是(1,2)∪(4,5). ? 点评:解一元二次不等式,一般先化二次项系数为正, 然后解得其对应的一元二次方程的两个根,再由此写 出不等式的解集;分式不等式,一般是先通分,然后 对分子分母分解因式,再根据实数乘除的符号法则化 为一元二次不等式进行求解. ? ? ? ? ? ? x?3 x?2 > . 解不等式 2 ? x ? 2 x ?1 原不等式可化为 2 ? (1 ? 1 )>1 ? 1 , ? x?2 x ?1 1 即 1 ,即 ? >0 x?2 所以x ? 1 3 其解用数轴表示 ( x ? )( x ? 1)( x ? 2)>0, 2x ? 3 如下: 2 >0, ( x ? 1)( x ? 2) 3 所以不等式的解集是(1,2 )∪(2,+∞). ? 题型五: 高次不等式的解法 ? 2. 解下列不等式: ? (1)2x3-x2-15x>0; ? (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. ? 5 ? x 2= 2 (1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0, ? 把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0, ,x3=3顺次标在数轴上,然后从右上 开始画曲线顺次经过三个根,其解集为如图 所示的阴影部分. 5 ? 所以原不等式的解集为{x| ?<x<0或x>3}. 2 ? (2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ? x+5≠0 x≠-5 ? (x+4)(x-2)>0 ? x<-4或x>2. ? 所以原不等式的解集为 ? {x|x<-5或-5<x<-4或x>2}. ? 点评:解高次不等式的策略是降次,降次的 方法一是分解因式法,二是换元法.本题是 利用分解因式,然后根据实数的积的符号法 则,结合数轴标根法得出不等式的解集. 4x ? 2 ? 1. ? (原创)解不等式 2 x ? x?6 x2 ? 3 x ? 4 ? 原不等式可化为 ? 0, ( x ? 2)( x ? 3) 即(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0,所以(x+1)(x-4)(x2)(x+3)≤0且x≠-3,x≠2,用“数轴标根法”画 草图, ? 所以原不等式的解集是(-3,-1]∪(2,4]. ? 题型六:含参数的一元二次不等式的解 法 ? 3. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|1<x<3}, ? 求cx2+bx+a<0的解集. ? 解法 1 :注意到一元二次不等式的解 集与相应二次方程的根之间的关系,可以知 道ax2+bx+c=0的两个根为1,3,即原不等式 与(x-1)(x-3)<0同解. ?a ?b ?c ? ? ? k>0, 1 ?4 3 ? 即x2-4x+3<0与-ax2-bx-c<0同解, ? 因此 ? 这 样 目 标 不 等 式 cx2+bx+a < 0 可 变 成 3x24x+1>0,而方程3x2-4x+1=0的根为( 1 , 1) 3 1 ? 因此所求不等式的解集为{x|x< 或x>1}. 3 ? 解法 2 :由 ax2+bx+c > 0 的解集为 {x|1 < x <3},可知ax2+bx+c=0的两个实根为1,3, 且a<0,根据韦达定理有 ? b c ? 4, ? 3, a a ? 因为a<0,不等式cx2+bx+a<0可变成 c 2 b x ? x ? 1>0, 即3x2-4x+1>0, ? a a 1 ? 解得 x< 或x>1, 3 1 ? 故原不等式的解集为{x| x< 或x>1}. 3 ? 点评:一元二次不等式与一元二次方程有着千丝万缕 的关系,如一元二次不等式解集的边界值等于其对应 的一元二次方程的两根,而方程的根又与系数有着联 系,因此不等式的边界值与系数也就联系起来了.不 同的是要注意一元二次不等式最高次项的符号. ? 已知a<1,解关于x的不等式: x?2 ? 0. 2 2 ax ? a x ? x ? a x?2 ? ? 0. ? (x+2)(ax-1) 2 2 ax ? a x ? x ? a (x+a)>0, ? 因为a<1,所以, ? (1)当a=0 -x(x+2)>0 ? ? ? -2<x<0; ? (2)当0<a<1 (x+a)>0, 1 ? 因为-2<-a< a ,所以-2<x<-a或x> 1 ; ? (3)当a<0 (x+2)(x- 1)a (x+a)<0, a ? ①若 -2<x<-a或 1 x< ; ? ? ?a?0 2 ? ②若 时,原不等式 且x≠1 2; a 1 1 a?? 2 1 (x+2)(x- ) a ? x? 2 1 1 ? <x<-a或x<-2, ? ③若 a ? a 2 ? 综上,当0<a<1时,解集是{x|-2<x<-a或 }; 1 x? ? 当a=0 a 时,解集是{x|-2<x<0}; ? 当 时,解集是{x|-2<x<-a或 }; 1 1 x; ? ? 当 ? ?a? 时,解集是 {x| 且x≠-2} 0 a 2 1 1 ? 当 a ? ? 时,解集是{x| x ? 2 或x<-2}. 2 1 1 ? x ? ?a a?? a 2 参考题 ? 不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对一切实数 x都成立,求实数m的取值范围. ? ①若 m=2 ,不等式可化为 -4 < 0 , 这个不等式与 x 无关,即对一切 x∈R 都 成立. ? ②若m≠2,这是一个一元二次不等式. ? 由


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