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山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷(理科)


山东省潍坊市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2 B . ﹣2
2

=() C.2i
2

D.﹣2i

2. (5 分)已知集合 A={x|y=ln(x ﹣x)},B={x|x ﹣9≤0},则 A∩B=() A.∪ B.∪(1,3] C.(0,1) D. 3. (5 分)若 a,b,c 均为实数,且 ab<0,则下列不等式正确的是() A.|a+b|>|a﹣b| B.|a|+|b|>|a﹣b| C.|a﹣c|≤|a﹣b|+|b ﹣c| D. |a﹣b|<|a|﹣|b| 4. (5 分)设 a>0 且 a≠1.则“函数 f(x)=logax 是(0,+∞)上的增函数”是“函数 g(x)= x (1﹣a)?a ”是 R 上的减函数的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中左视图为直角三角形,则该几何体的体积为()

A.16

B.

C.

D.

6. (5 分)运行如图框图输出的 S 是 254,则①应为()

A.n≤5 7. (5 分)已知函数

B.n≤6

C . n≤7

D.n≤8 的图象的一条对称轴为 x=π,

其中 ω 为常数,且 ω∈(1,2) ,则函数 f(x)的最小正周期为() A. B.
2

C.
x

D.

8. (5 分)当 a>0 时,函数 f(x)=(x ﹣2ax)e 的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知抛物线 C1:y =2x 的焦点 F 是双曲线 C2: 个顶点,两条曲线的一个交点为 M,若|MF|= ,则双曲线 C2 的离心率是() A. B. C. D.

2

的一

10. (5 分)已知函数 f(x)和 g(x)是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x∈M,存 在常数 x0∈M,使得 f(x)≥f(x0) ,g(x)≥g(x0) ,且 f(x0)=g(x0) ,则称函数 f(x)和 3 2 g(x)在区间 M 上是“相似函数”,若 f(x)=|log2(x﹣1)|+b 与 g(x)=x ﹣3x +8 在上是“相 似函数”,则函数 f(x)在区间上的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为.
2

12. (5 分)已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与圆(x﹣2) +(y﹣3) 2 =8 相外切,则圆 C 的方程为.

13. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

, 若目标函数 z=x+my(m≠0)取得最大值

时最优解有无数个,则 m 的值为.

14. (5 分)有 2 位女生,3 位男生站成一排合影,要求女生甲不在队伍两端,3 位男生中有且 仅有 2 位相邻,则不同的排队方法共有种. 15. (5 分)已知函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且 f(x)是偶函数,当 x∈ 2 时,f(x)=﹣x +1,若方程 f(x)=a|x|至少有 4 个相异实根,则实数 a 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(2sin ,cosA) , =(1﹣2sin
2

,﹣

) ,且 ⊥

(Ⅰ)求角 A 的余弦值; (Ⅱ)若 a= ,求△ ABC 的面积最大值. 17. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别为 PB,CD 的 中点,二面角 P﹣CD﹣A 的大小为 60°,AC=AD= ,CD=PN=2,PC=PD. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.

18. (12 分)中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛, 中国队与卡塔尔、马尔代夫、 不丹、中国香港同处一组.比赛采取主客场积分制,既任意两队分别在自己的国家或地区(主 场)和对方的国家或地区(客场)各比赛一场,规定每场胜者得 3 分,负者得 0 分,战平各 得 1 分,按积分多少排名.卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手,假设中国队与卡塔尔队在 对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜;中国队在对阵卡塔尔队 主场战胜的概率为 ,战平 的概率为 ,在客场胜、平、负的概率均为 ,各场比赛结果相互独立. (Ⅰ)求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率; (Ⅱ)求比赛结束时中国队积分 X 的分布列与数学期望. 19. (12 分)已知数列{an}与{bn}满足:a1+a2+a3+…+an=log2bn(n∈N ) .若{an}为等差数列, 且 a1=2,b3=64b2. (Ⅰ)求 an 与 bn;
*

(Ⅱ)设 大小(n∈N ) .
*

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 并比较





20. (13 分)已知椭圆 C:

的离心率为

,点 O 为坐标原点,椭圆

C 与曲线|y|=x 的交点分别为 A,B(A 在第四象限) ,且 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)定义:以原点 O 为圆心, 为半径的圆称为椭圆



=1 的“伴随圆”.若直线

l 交椭圆 C 于 M,N 两点,交其“伴随圆”于 P,Q 两点,且以 MN 为直径的圆过原点 O. 证明:|PQ|为定值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax) (a∈R) ,g(x)=f′(x) . (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a>0,求函数 g(x)在上的最大值; (Ⅲ)若函数 F(x)=g(x)+ (x1) . 两个极值点 x1,x2,且 x1< x2,求证:f(x2)<﹣1<f

山东省潍坊市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2 B . ﹣2 =() C.2i D.﹣2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出.

解答: 解:复数

=

=

=﹣2i.

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={x|y=ln(x ﹣x)},B={x|x ﹣9≤0},则 A∩B=() A.∪ B.∪(1,3] C.(0,1) D. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出两集合的交集 即可. 2 2 解答: 解:由 A 中 y=ln(x ﹣x) ,得到 x ﹣x>0,即 x<0,或 x>1, ∴A=(﹣∞,0)∪(1,+∞) , 由 B 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+3)≤0, 解得:﹣3≤x≤3,即 B=, 则 A∩B=. 故选:A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)若 a,b,c 均为实数,且 ab<0,则下列不等式正确的是() A.|a+b|>|a﹣b| B.|a|+|b|>|a﹣b| C.|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c| D.|a﹣b|<|a|﹣|b| 考点: 绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不妨令 a=2,b=﹣1,代入各个选项检验可得 A、B、D 不成立,从而得出结论. 解答: 解:不妨令 a=2,b=﹣1,代入各个选项检验可得 A、B、D 不成立, 由绝对值三角不等式,可得|a﹣c|=|(a﹣b)+(b﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|,故 C 成立, 故选:C. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的应用,绝对值三角不等式;通过举反例来说明某个结 论不成立,是一种简单有效的方法,属于基础题. 4. (5 分)设 a>0 且 a≠1.则“函数 f(x)=logax 是(0,+∞)上的增函数”是“函数 g(x)= x (1﹣a)?a ”是 R 上的减函数的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 函数的性质及应用;简易逻辑. 根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可. 解:函数 f(x)=logax 是(0,+∞)上的增函数,则 a>1,
2 2

若“函数 g(x)=(1﹣a)?a ”是 R 上的减函数,则

x



,即 a>1 或 0<a

<1, x 故“函数 f(x)=logax 是(0,+∞)上的增函数”是“函数 g(x)=(1﹣a)?a ”是 R 上的减函数 的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数的单调性求出等价条件是解决 本题的关键. 5. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中左视图为直角三角形,则该几何体的体积为()

A.16

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是一侧面垂直于底面的三棱锥,画出直观图, 根据数据求出体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是侧面 PAC⊥底面 ABC 的三棱锥,如图所示; 过点 P 作 PM⊥AC,交 AC 与点 M,连接 BM, 则 PM⊥平面 ABC,且 PM=2 , ∴BM⊥AC,且 BM=2 , ∴AC=2AM=2 ∴三棱锥的体积为 V 三棱锥 P﹣ABC= × ×4 故选:D. ×2 ×2 = . =4 ;

点评: 本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)运行如图框图输出的 S 是 254,则①应为()

A.n≤5

B.n≤6

C . n≤7

D.n≤8

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 2 n 用是累加 S=2+2 +…+2 的值,并输出满足循环的条件. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 2 n 该程序的作用是累加 S=2+2 +…+2 的值, 并输出满足循环的条件. 2 6 7 ∵S=2+2 +…+2 +2 =254, 故①中 应填 n≤7. 故选 C. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度重 视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变 量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理 解流程图的含义而导致错误.

7. (5 分)已知函数

的图象的一条对称轴为 x=π,

其中 ω 为常数,且 ω∈(1,2) ,则函数 f(x)的最小正周期为()

A.

B.

C.

D.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的图象的对称性可得 ωπ﹣ 从而求得函数 f(x)的最小正周期. 解答: 解:由函数 可得 ωπ﹣ =kπ+ ,k∈z, = , 的图象的一条对称轴为 x=π, =kπ+ ,k∈z,由此求得 ω 的值,

∴ω=k+ ,∴ω= ,函数 f(x)的最小正周期为

故选:B. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性,属于基础题. 8. (5 分)当 a>0 时,函数 f(x)=(x ﹣2ax)e 的图象大致是()
2 x

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象;指数函数综合题;导数的乘法与除法法 则. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 利用函数图象的取值,函数的零点,以及利用导数判断函数的图象. 2 解答: 解:由 f(x)=0,解得 x ﹣2ax=0,即 x=0 或 x=2a, ∵a>0,∴函数 f(x)有两个零点,∴A,C 不正确. 2 x 设 a=1,则 f(x)=(x ﹣2x)e , 2 x ∴f'(x)=(x ﹣2)e , 由 f'(x)=(x ﹣2)e >0,解得 x> 或 x< . 2 x 由 f'(x)=(x ﹣2)e <0,解得 , 即 x=﹣ 是函数的一个极大值点,∴D 不成立,排除 D. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,充分利用函数的性质,本题使用特殊值法是 判断的关键,本题的难度比较大,综合性较强.
2 x

9. (5 分)已知抛物线 C1:y =2x 的焦点 F 是双曲线 C2: 个顶点,两条曲线的一个交点为 M,若|MF|= ,则双曲线 C2 的离心率是() A. B. C. D.

2

的一

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过题意可知 F( ,0) 、不妨记 M(1, 即得结论. 解答: 解:由题意可知 F( ,0) , 由抛物线的定义可知:xM= ﹣ =1, ∴yM=± ,不妨记 M(1, ) , ) ,将点 M、F 代入双曲线方程,计算

∵F( ,0)是双曲线的一个顶点,



,即 a = , ,即 b = ,
2

2

又点 M 在双曲线上,∴

∴e= = 故选:D.

=



点评: 本题考查求双曲线的离心率,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档 题.

10. (5 分)已知函数 f(x)和 g(x)是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x∈M,存 在常数 x0∈M,使得 f(x)≥f(x0) ,g(x)≥g(x0) ,且 f(x0)=g(x0) ,则称函数 f(x)和 3 2 g(x)在区间 M 上是“相似函数”,若 f(x)=|log2(x﹣1)|+b 与 g(x)=x ﹣3x +8 在上是“相 似函数”,则函数 f(x)在区间上的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 新定义;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 由对数函数的性质可得 f(x)的值域,再由导数求得 g(x)的值域,根据新定义, 可得 b=4,即可得到所求的最大值. 解答: 解:f(x)=|log2(x﹣1)|+b 在区间上的值域为, 3 2 2 g(x)=x ﹣3x +8 的导数为 g′(x)=3x ﹣6x,g′(x)=0 解得 x=2, 由 g(2)=4,g( )= ,g(3)=8,即有 g(x)的值域为,

由“相似函数”可得 f(2)=g(2) ,即 b=4, 则函数 f(x)在区间上的最大值为 b+2=6, 故选:C. 点评: 本题考查新定义的理解和运用,主要考查对数函数的性质和导数的运用:求最值, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的 夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知中| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,可求出 cosθ= ,进而根据向量夹角 的范围为 0≤θ≤π,得到答案. 解答: 解:∵| |=| |=2, ∴| | =| | =4 ∵( +2 )?( ﹣ )=﹣2 展开得:| | + ? ﹣2| | =4cosθ﹣4=﹣2, 即 cosθ= 又∵0≤θ≤π 故 θ=
2 2 2 2

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,其中根据已知计算出 cosθ= ,是 解答的关键. 12. (5 分)已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与圆(x﹣2) +(y﹣3) 2 2 2 =8 相外切,则圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定;圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆心坐标,利用两圆相切,即可得到圆的半径,然后求解圆 C 的方程. 解答: 解:圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点, 可得圆心坐标(﹣1,0) ,设圆的半径为 r, 2 2 所求圆与圆(x﹣2) +(y﹣3) =8 相外切, 可得:
2 2 2

=

=2

,r=



所求圆的方程为: (x+1) +y =2. 2 2 故答案为: (x+1) +y =2. 点评: 本题考查直线与的位置关系,圆的方程的求法,考查计算能力.

13. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=x+my(m≠0)取得最大值

时最优解有无数个,则 m 的值为 1. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出满足约束条件的可行域,求出目标函数的最大值,从而建立关于 m 的等式,即 可得出答案. 解答: 解:由 z=x+my 得 y= 若 m>0, 则目标函数的斜率 k= <0, x ,

作出不等式组对应的平面区域如图: 若目标函数 z=x+my(m≠0)取得最大值时最优解有无数个, 由平移可知当直线 y= 此时 x 与 AC 平行时,满足条件,

=﹣1,解得 m=1,

若 m<0,则 k=

>0,

若目标函数 z=x+my(m≠0)取得最大值时最优解有无数个, 则直线 y= 故答案为:1 x ,经过点 C 时,目标函数取得最大值,此时最大值只有一个,不满足条件.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解 是解决本题的关键. 14. (5 分)有 2 位女生,3 位男生站成一排合影,要求女生甲不在队伍两端,3 位男生中有且 仅有 2 位相邻,则不同的排队方法共有 48 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 利用间接法:先选 2 名男生捆绑在一起,和另外两名女生全排,再插入剩下的一名 男生,再排除女生甲在两端的情况. 解答: 解:利用间接法:先选 2 名男生捆绑在一起,和另外两名女生全排,再插入剩下的 一名男生,故 若女生甲在队伍两端有 =72 种, =24 种,

故求女生甲不在队伍两端,3 位男生中有且仅有 2 位相邻,则不同的排队方法共有 72﹣24=48 种, 故答案为:48. 点评: 本题考查了排列组合问题,相邻用捆绑,不相邻用插空,正难则反的原则,属于中 档题. 15. (5 分)已知函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且 f(x)是偶函数,当 x∈ 2 时,f(x)=﹣x +1,若方程 f(x)=a|x|至少有 4 个相异实根,则实数 a 的取值范围是. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的概念及应用.

分析: 由题意可判断函数数 f(x)的周期 T=2,从而作 f(x)与 g(x)=a|x|的图象,结合 图象可知 a≥0;且当在(1,3)上相切时取得另一个临界值,利用导数求出此时的 a,即可得 到实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意知,函数 f(x)的周期 T=2, 2 且 f(x)是偶函数,当 x∈时,f(x)=﹣x +1; 作 f(x)与 g(x)=a|x|的图象如下,

结合图象可知,a≥0; 当在(1,3)上相切时, f(x)=﹣(x﹣2) +1,f′(x)=﹣2(x﹣2) , 故﹣2(x﹣2)= ,
2

解得,x= ; 故 a=f′( )=﹣2( ﹣2)=4﹣2 ; 故实数 a 的取值范围是. 故答案为: . 点评: 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及导数的几何意义的应用,属于中档 题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(2sin ,cosA) , =(1﹣2sin
2

,﹣

) ,且 ⊥

(Ⅰ)求角 A 的余弦值; (Ⅱ)若 a= ,求△ ABC 的面积最大值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)根据向量数量积的定义,以及三角函数的关系式即可求角 A 的余弦值; (Ⅱ)若 a= ,根据余弦定理求出 bc 的取值范围即可求△ ABC 的面积最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ⊥ ,

∴ ? =2sin (1﹣2sin 即 2sin cos =

2

)﹣

cosA=0

cosA,

即 sinA= cosA, 在△ ABC 中,sinA>0,cosA>0, 解得 cosA= . (Ⅱ)若 a= ,由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 又 b +c ≥2bc, 2 ∴a ≥2bc﹣2bccosA, 即 6≥2bc﹣ ×2bc= bc, ∴bc≤4,当且仅当 b=c=2 时取等号, △ ABC 的面积 S= 即三角形面积的最大值为 = . = ,
2 2 2

点评: 本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算,利用向量的数量积进行化简是解决 本题的关键 .考查学生的运算能力. 17. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别为 PB,CD 的 中点,二面角 P﹣CD﹣A 的大小为 60°,AC=AD= ,CD=PN=2,PC=PD. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)连接 AN,可以判断 AC⊥AD,AN=1,根据条件即知∠PNA 为二面角 P﹣CD ﹣A 的平面角,即∠PNA=60°,从而能求出 ,并且 PA⊥AN,而同理可得到 PA⊥AC, 根据线面垂直的判定定理即可得出 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)首先分别以 AC,AD,AP 三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,并求出图形上 各点的坐标,设平面 PCD 的法向量为 ,由 即可求出法向量 .设直线 MN 与平面

PCD 所成角为 θ,根据 sin

即可求出 sinθ.

解答: 解: (Ⅰ)证明:连接 AN,∵N 为 CD 中点,且 AC=AD= ,PC=PD; ∴AN⊥CD,PN⊥CD; ∴∠PNA 是二面角 P﹣CD﹣A 的平面角,即∠PNA=60°; 2 2 2 又 CD=2,∴AC +AD =CD ,∴∠CAD=90°,AN=1; 又 PN=2,∴在△ PNA 中,由余弦定理可得 PA= ; 2 2 2 ∴PN =PA +AN ; ∴∠PAN=90°,PA⊥AN,PC= ,同理 PA⊥AC; 又 AN∩AC=A; ∴PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)分别以 AC,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则: A(0,0,0) ,B 0,0) ,D(0, ∴ 设平面 PCD 的法向量为 ,0) ,N( , ,则: , ,P(0,0, ,0) ; , ; ) ,M( ) ,C( ,





,取 x=1,∴



设直线 MN 与平面 PCD 所成角为 θ,则:

sinθ=|cos

|=



∴直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为



点评: 考查直角三角形边的关系,二面角及二面角平面角的概念,余弦定理,线面垂直的 判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量解决线面角问题的方法,能求空间点的坐 标,平面法向量的概念,弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系, 向量夹角余弦的坐标公式. 18. (12 分)中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛, 中国队与卡塔尔、马尔代夫、 不丹、中国香港同处一组.比赛采取主客场积分制,既任意两队分别在自己的国家或地区(主 场)和对方的国家或地区(客场)各比赛一场,规定每场胜者得 3 分,负者得 0 分,战平各 得 1 分,按积分多少排名.卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手,假设中国队与卡塔尔队在对 阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜;中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的概率为 ,战平的 概率为 ,在客场胜、平、负的概率均为 ,各场比赛结果相互独立. (Ⅰ)求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率; (Ⅱ)求比赛结束时中国队积分 X 的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)分别求出中国队主场胜、客场胜或平的概率和中国队主场平客场胜的概率求 和即可. (Ⅱ)得出中国队所有可能取得积分,分别求出概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)中国队主场胜、客场胜或平的概率 中国队主场平客场胜的概率 ∴中国队积分大于卡塔尔队积分的概率 ,

(Ⅱ)X 可能取得值为 18,19,20,21,22,24 P(X=18)= P(X=20)= P(X=22)= ∴X 的分布列为 X 18 P X 的数学期望 EX= 点评: 本题考查了事件相互独立的概率求解方法,属于常考题型,在考卷中属基础题型. 19. (12 分)已知数列{an}与{bn}满足:a1+a2+a3+…+an=log2bn(n∈N ) .若{an}为等差数列, 且 a1=2,b3=64b2. (Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 大小(n∈N ) . 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 通过 a3= 可得 bn=2
n(n+1) * *

,P(X=19)= ,P(X=21)= ,P(X=24)= ,

19

20

21

22

24

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 并比较





及 a1=2 可得 d=2, 进而可得 an=2n, 利用 a1+a2+a3+…+an=log2bn

; 可得 Tn、4Tn 的表达式,利用错位相减法计算即 与 的大小就是比较 4 与 3n+1 0 的大小,利
n

(Ⅱ)通过(I)及 cn═(an+n+1)?2 得 Tn=n?4 (n∈N ) .通过化简可得比较
n *

用数学归纳法证明即可. 解答: 解: (Ⅰ)由已知可得:a1+a2+a3=log2b3,a1+a2=log2b2, 两式相减可得:a3= ∵a1=2,∴d=2,∴an=2n, ∵a1+a2+a3+…+an= ∴bn=2
n(n+1)

=log264=6,

=n(n+1)=log2bn,

; =(3n+1)4
n﹣1 n﹣1

(Ⅱ)由题意 cn═(an+n+1)?2 ∴Tn=4+7?4+10?4 +…+(3n+1)?4
2





4Tn=4?4+7?4 +10?4 +…+(3n+1)?4 , 2 n﹣1 n 两式相减得:﹣3Tn=4+3?4+3?4 +…+3?4 ﹣(3n+1)?4 2 n﹣1 n =4+3(4+4 +…+4 )﹣(3n+1)?4 =4+3?
n

2

3

n

﹣(3n+1)?4 ,
*

n

整理得:Tn=n?4 (n∈N ) . ∴ = ,即比较 与
n

的大小就是比较 4 与 3n+10 的大小.

n

当 n=1 时,4<13,有 4 <3n+10, n 当 n=2 时,16=16,有 4 =3n+10, n 当 n=3 时,64>19,有 4 >3n+10, n * 猜测:当 n≥3 时,有 4 >3n+10(n∈N ) . 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=3 时显然成立; * k (2)假设当 n=k(k≥3,k∈N )时,4 >3k+10. k+1 k 则当 n=k+1 时,4 =4?4 >4(3k+10)=+9k+27>3(k+1)+10, n 即当 n=k+1 时,4 >3n+10 成立; n * 综上所述,当 n≥3 时,有 4 >3n+10(n∈N ) . 点评: 本题考查求数列的通项,考查运算求解能力,考查数学归纳法,考查错位相减法, 注意解题方法的积累,属于难题.

20. (13 分)已知椭圆 C:

的离心率为

,点 O 为坐标原点,椭圆

C 与曲线|y|=x 的交点分别为 A,B(A 在第四象限) ,且 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)定义:以原点 O 为圆心, 为半径的圆称为椭圆



=1 的“伴随圆”.若直线

l 交椭圆 C 于 M,N 两点,交其“伴随圆”于 P,Q 两点,且以 MN 为直径的圆过原点 O. 证明:|PQ|为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)因为 ,所以 ,得 ,即可求得椭圆方程.

(Ⅱ)由“半椭圆”的方程与直线联立,由 解答: 解: (Ⅰ)因为 ,所以

得 x1x2+y1y2=0,代入即可解得. ,得

联立





,故 A(

) ,B(





得(



,解得 b =1,a =3

2

2

所以椭圆方程为 (Ⅱ)由题意可得“半椭圆”方程 x +y =4 当直线 l 斜率不存在时,设 l:x=n,代入椭圆方程得 M(n,
2 2 2 2

) ,N(n,﹣





,得

,代入 x +y =4 得 y=

,所以|PQ|=



当直线 l 斜率存在时,设 l 为方程为 y=kx+m(k,m∈R)且与椭圆得交点 M(x1,y1)N(x2, y2) 联立方程组
2 2 2

整理得(1+3k )x +6kmx+3m ﹣3=0
2 2 2

2

2

2

△ =36k m ﹣4(1+3k ) (3m ﹣3)>0,即 m <3k +1 ∵x1+x2=

可得 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=



得 x1x2+y1y2=0,即 ,代入验证△ >0,

所以

即原点 O 到直线 l 的距离 d=

∵“半椭圆”的半径为 2,∴ 综上,|PQ|为定值

点评: 本题主要考查了圆锥曲线的方程求法和新定义下的圆锥曲线与直线综合题的应用, 属于中档题型. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax) (a∈R) ,g(x)=f′(x) . (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a>0,求函数 g(x)在上的最大值; (Ⅲ)若函数 F(x)=g(x)+ 两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证:f(x2)<﹣1<f(x1) .

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,求得 f′(1)的值,由曲 线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行得 1﹣2a=3,从而求得 a 值; (Ⅱ)由题意求出 g(x) ,对 g(x)求导,然后对 a 分类得到其导函数在不同区间内的单调性, 从而求得函数 g(x)的最大值; (Ⅲ)由 F(x)=g(x)+
2

=lnx﹣2ax+1+

,求出其导函数,把原函数有两个极值点转

化为 h(x)=x ﹣2ax+1 在(0,+∞)上有两个相异零点 x1,x2.由此结合二次函数根的分布 求得 a 的范围.进一步得到 a= 解答: (Ⅰ)解: f′(1)=1﹣2a,∵直线 3x﹣y﹣1=0 的斜率为 3,∴1﹣2a=3. 解得 a=﹣1; (Ⅱ)解:g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+1, ①当 ,即 , ,代入 f(x) ,利用导数求得 f(x2)<﹣1<f(x1) . ,

时,x∈(1,e)时,g′(x)<0,g(x)在(1,e)上单调递减,

g(x)max=g(1)=1﹣2a; ②当 ,即 时,x∈(1,e)时,g′(x)>0,g(x)在(1,e)上单调递增,

g(x)max=g(e)=2﹣2ae; ③当 ,即 时,x∈(1, )时,g′(x)>0,x∈( ,e)时,g′(x) ;

<0, g (x) 在 (1, ) 上单调递增, 在 (

, e) 上单调递减,





(Ⅲ)证明:∵F(x)=g(x)+

=lnx﹣2ax+1+



∴F′(x)= 函数 F(x)=g(x)+
2

, 有两个极值点 x1,x2,

即 h(x)=x ﹣2ax+1 在(0,+∞)上有两个相异零点 x1,x2. ∵x1x2=1>0,∴ ,则 a>1.

当 0<x<x1 或 x>x2 时,F′(x)>0,当 x1<x<x2 时,F′(x)<0, ∴F(x)在(0,x1) , (x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减; ∵h(1)=2﹣2a<0,∴0<x1<1<a<x2, 令 x ﹣2ax+1=0,得 a=
2

, ,则 f′(x)=lnx﹣ ,

∴f(x)=x(lnx﹣ax)=xlnx﹣

设 s(x)=lnx﹣

,s′(x)=



①当 x>1 时,s′(x)<0,s(x)在(1,+∞)上单调递减,从而 s(x)在(a,+∞)上单 调递减, ∴s(x)<s(a)<s(1)=﹣1<0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴f(x)<f(1)=﹣1<0, ∵1<a<x2,∴f(x2)<﹣1; ②当 0<x<1 时,由 s′(x)= ,得 0<x< ,

由 s′(x)= 上单调递减, ∴

,得

,∴s(x)在(0,

)上单调递增,在(



,∴f(x)在(0,1)上单调递减,则 f(x)>f(1)=﹣1,

∵x1∈(0,1) ,∴f(x1)>﹣1. 综上可知:f(x2)<﹣1<f(x1) . 点评: 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求函数的最值, 训练了利用导数证明函数不等式问题,对于(Ⅲ)的证明,着重考查了分类讨论的数学思想方 法,运用了二次函数零点所在区间的判断,题目设置难度大,综合型强,是压轴题.



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