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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章3.2.1 双曲线的简单几何性质_图文

第三章 圆锥曲线与方程
3.2 双曲线的简单性质 第1课时 双曲线的简单几何性质

1.问题导航 (1)双曲线有几条对称轴,是中心对称图形吗? (2)双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距、离心率是怎样 定义的?双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的渐近线方程是什么? 在双曲线的标准方程中,焦点分别在 x 轴上或在 y 轴上时,x 与 y 的取值范围是多少?e 的取值范围是什么?

2.例题导读 P42 例 3.通过本例学习,掌握建立坐标系、运用待定系数法求 双曲线的方程. 试一试:教材 P43 练习 T1、T2 你会吗?

双曲线的几何性质

类型

xa22-yb22=1(a>0,b>0)

ya22-xb22=1(a>0,b>0)

图像

类型
焦点 焦距 范围
性 对称性 质
顶点 轴
离心率
渐近线

xa22-yb22=1(a>0,b>0) __(_±__c_,__0_)____

ya22-xb22=1(a>0,b>0) __(_0_,__±__c_) ___

___2_c________ __x_≥__a_或__x_≤__-__a___

_____2_c______ __y_≥__a_或__y_≤__-__a__

以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心的对称 图形

__(_±__a_,__0_) ____

__(0_,__±__a_)____

实轴A1A2,虚轴B1B2 ___e_>_1________

__y_=__±_ba_x______

y=±abx

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)双曲线 x2-y2=m(m≠0)的离心率为 2,渐近线方程为 y =±x.( √ ) (2)平行于渐近线的直线与双曲线相交,且只有一个交 点.( √ ) (3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支 上.( √ ) (4)若直线与双曲线xa22-yb22=1 相离,则直线与 x 轴垂直或直线 与渐近线重合.( × )

2.若双曲线x32+yk2=1 的离心率为 3,则实数 k 的值为( C )

A.-16

B.16

C.-6

D.6

解析:由题意可知 k<0,a= 3,b= -k,c= a2+b2=

3-k,

所以 e=ac=

3-k= 3

3,得 k=-6.

3.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 _-__14_____.
解析:双曲线的标准方程可写为 y2--x21 =1,a=1,b= m

- 1 ,故 m

2

-m1 =2×2,得 m=-14.

4.双曲线 x2-y2=10 的渐近线方程为___x_±__y_=__0___. 解析:因为 a= 10,b= 10,所以该双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±x,即 x±y=0.

1.对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近, 但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,但无法确定 焦点位置.

2.离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)为例.

e=ac=

a2+b2= a

1+ab22,故当ba的值越大,渐近线 y=bax 的

斜率越大,双曲线的开口越大,e 也越大,所以 e 反映了双曲

线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.

3.在双曲线方程xa22-yb22=1(a>0,b>0)中,如果 a=b,那么 方程可化为 x2-y2=a2.此时,双曲线的实轴长和虚轴长都等 于 2a,且两条渐近线互相垂直.实轴和虚轴等长的双曲线叫 做等轴双曲线.等轴双曲线的渐近线方程是 y=±x,离心率 e = 2.

由几何性质求双曲线的标准方程 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的 双曲线方程: (1)离心率 e= 2,且过点(-5,3); (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=±3x. (链接教材 P42 例 3)

[解] (1)因为 e=ac= 2,所以 c= 2a,b2=c2-a2=a2.

当焦点在 x 轴上时,设双曲线的标准方程为ax22-ya22=1,把点(-

5,3)代入,得

a2=16,所以所求双曲线的标准方程为1x62 -

y2 16

=1; 当焦点在 y 轴上时,设双曲线的标准方程为ya22-ax22=1,把点(-

5,3)代入,得 a2=-16,不合题意.

综上可知,所求双曲线的标准方程为1x62-1y62 =1.

(2)由渐近线方程是 3x±y=0,
可设所求双曲线方程为x12-y2=λ(λ≠0),(*) 9
将点 P(2,-1)的坐标代入(*),得 λ=35,
所以所求双曲线方程为3x52-3y52 =1. 9

[方法归纳]
(1)若已知双曲线的渐近线方程为 mx±ny=0,求双曲线方程,
渐近线相同的双曲线有无数多条,焦点可能在 x 轴上,也可 能在 y 轴上,要分情况进行讨论.现依据渐近线方程,设出 双曲线方程为 m2x2-n2y2=γ(γ≠0),求出γ 即可. (2)与ax22-yb22=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为ax22 -by22=γ(γ≠0). (3)与双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)有相同焦点的双曲线方程 可设为a2x-2 γ-b2y+2 γ=1(-b2<γ<a2).

1.(1)已知双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的实轴长为 4 3,顶
点到渐近线的距离为 3,则此双曲线的方程为 __1x_22_-__y_42_=__1______.
(2)与双曲线1x62-y92=1 共渐近线且过 A(2 3,-3)点的双曲线 y92-x42=1
方程为_____4_______________.

解析:(1)因为实轴长为 4 3,所以 a=2 3,其渐近线方程为 y=±bax,(2 3,0)为其一顶点,bx-2 3y=0 为其一条渐近线,
则(2 3,0)到 bx-2 3y=0 的距离为 |2 3b| = 3,得 b2= b2+12
4.故此双曲线的方程为1x22 -y42=1. (2)设与双曲线1x62-y92=1 共渐近线的双曲线方程为1x62 -y92= λ(λ≠0).
因为点 A(2 3,-3)在双曲线上, 所以 λ=1126-99=-14. 所以所求双曲线方程为1x62 -y92=-14,即y92-x42=1.
4

双曲线的离心率

(1)已知 F 是双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点,E

是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线

交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离

心率 e 的取值范围为( B )

A.(1,+∞)

B.(1,2)

C.(1,1+ 2)

D.(2,1+ 2)

(2)设 F1,F2 是双曲线 C:ax22-yb22=1(a>0,b>0)的两个焦点,

P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角 为 30°,则 C 的离心率为____3____.

[解析] (1)由题意可得|AF|<|FE|,把点 A 的横坐标-c 代入 双曲线方程得:y2=ba42,所以|AF|=ba2,因为|EF|=a+c, 所以ba2<a+c,即 e2-e-2<0,得 e∈(-1,2). 又因为 e>1,所以 e∈(1,2). (2)不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2| =6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在△PF1F2 中, ∠PF1F2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2- 2(4a)(2c)cos 30°,整理得(e- 3)2=0,所以 e= 3.

[方法归纳] (1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c,再 计算 e=ac;二是依据条件建立参数 a,b,c 的关系式.一种 方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解,另一种方法是消 去 c 转化成含ba的方程,求出ba后利用 e= 1+ba22求离心率. (2)若求离心率 e 的取值范围,则应由题意寻求 a,b,c 的不 等关系,由此得出关于 e 的不等式,再进行求解.

2.(1)已知 F1,F2 是双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点 P 在双曲 线上,则双曲线的离心率是( C )

A. 3

B.2

C. 3+1

D.3

(2)设双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物 线 y2=x 的一个交点的横坐标为 x0,若 x0>12,则双曲线 C 的 离心率的取值范围是( B )

A.(1,

6 2)

B.(1, 3)

C.( 3,+∞)

D.( 26,+∞)

解析:(1)因为△F1F2M 为正三角形,|PM|=|F1P|,所以 F2P

⊥PF1,所以|F1F2|=2c=2|PF1|,即|PF1|=c,|PF2|= 3c,

由双曲线定义:|PF2|-|PF1|=(

3-1)c=2a,故 e=ca=

2 3-1

= 3+1.

(2)该双曲线的一条渐近线为 y=bax,代入 y2=x 得 x=0 或 x =ba22,因为 x0>12,即ba22>12,所以c2-a2a2>12即ca22=e2<3,

得 e∈(- 3, 3),又因为 e>1,所以 e∈(1, 3).

双曲线的渐近线及其应用

(1)设双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的虚轴为 2,焦距为

2 3,则双曲线的渐近线方程为( C )

A.y=± 2x

B.y=±2x

C.y=± 22x

D.y=±12x

(2)若双曲线x92-ym2=1 的渐近线方程 l 为 y=± 35x,则双曲线焦

点 F 到渐近线 l 的距离为( D )

A.2

B. 14

C.2 5

D. 5

[解析] (1)由题意得 b=1,c= 3,所以 a= c2-b2= 2,

故双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±22x.

(2)该双曲线的渐近线方程为 y=± 3mx=±35x,故 m=5.

所以 c= a2+b2= 14.

所以

F



l

| 的距离为

35×

14| =

5.

59+1

[方法归纳] 求渐近线方程的两种方法 (1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时,用公式法 y=±bax(焦 点在 x 轴)或 y=±abx(焦点在 y 轴)求解. (2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程.

3.(1)若双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐近 线方程为( D )

A.y=±2x

B.y=±

2 2x

C.y=±12x

D.y=± 2x

(2)设双曲线xa22-yb22=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一

个公共点,则双曲线的离心率为( D )

A.54

B.5

5 C. 2

D. 5

解析:(1)因为 e= 3,所以 e2=ca22=a2+a2 b2=1+(ba)2=3,

所以b= a

2,又焦点在 x 轴,所以渐近线方程为 y=±

2x.

(2)双曲线的渐近线方程为 y=±bax,不妨考虑 y=bax,将其代 入 y=x2+1 整理得:x2-bax+1=0,Δ =ba22-4=0,得 b2=

4a2=c2-a2,故 e= 5.

易错警示

忽视双曲线焦点位置致误

已知双曲线xm2-yn2=1 的一条渐近线方程为 y=43x, 则该双曲线的离心率 e 为____53_或__54_______.

[解析] 当双曲线的焦点在 x 轴上时,

因为一条渐近线方程为 y=43x,所以ba=43,

所以离心率 e=ac= 1+(ba)2= 当双曲线的焦点在 y 轴上时,

1+(43)2=53.

因为一条渐近线方程为 y=43x,

所以ab=43,这时ba=34.

所以离心率 e=ac=

1+(ba)2=

1+(34)2=54.

故双曲线的离心率为53或54.

[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在 x 轴上,忽略考虑焦 点在 y 轴上的情况而漏解. (2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件, 要注意焦点位置的讨论,如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴 上两种情况讨论.

4.已知实数 1,m,9 成等比数列,则圆锥曲线xm2+y2=1 的 离心率为( C )

6 A. 3

B.2

C. 36或 2

D. 22或 3

解析:因为 1,m,9 成等比数列,所以 m2=9,即 m=±3, 当 m=3 时,x32+y2=1,a= 3,b=1,c= a2-b2= 2,e
=ac= 36. 当 m=-3 时,y2-x32=1,a=1,b= 3,c= a2+b2=2,e
=ac=2.

1.双曲线x42-y92=-5 的一条渐近线方程是( B )

A.2x-3y=0

B.3x+2y=0

解C.析9:x-法4一y=:0因为该双曲线的标准方程为4yD52.-42xx02-=91y,=0

所以该双曲线的焦点在 y 轴上,故该双曲线的渐近线为 y=±ab

x=±32x,即 3x±2y=0. 法二:把-5 换为 0,得x42-y92=0,解得 y=±32x,

故该双曲线的渐近线为 y=±32x,即 3x±2y=0.

2.已知双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3

x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为

(A )

A.x92-2y72 =1

B.3x62 -1y028=1

C.1x028-3y62 =1

D.2x72 -y92=1

解析:该双曲线的渐近线方程为 y=±bax,即ba= 3,c=

a2+b2=2a,可知此双曲线的左焦点(-2a,0)在 y2=24x 的

准线 x=-6 上,即-2a=-6 得 a=3,b=3 3. 故双曲线方程为x92-2y27=1.

3.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是___4_____. 解析:该双曲线的标准方程为x42-y82=1,a=2, 故实轴长为 2a=4.

4.已知双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线 y2=

4x 的焦点 F 重合,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴, 则该双曲线的离心率为____2_+__1______. 解析:设双曲线的左焦点为 F1,A 在 x 轴上方,

由题意得:F 的坐标为(1,0),F1(-1,0),A(1,2),

由|AF1|-|AF|=2 2-2=2a 得 a= 2-1,

故双曲线的离心率 e=ca=

1= 2-1

2+1.



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