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最新2019-D114函数展开成幂级数49487-PPT课件_图文

第四节

第十一章

函数展开成幂级数

两类问题: 在收敛域内

?
幂级数?anxn
n?0

求和 展开

和函数 S(x)

本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数

二、函数展开成幂级数

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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数 f(x)在x0的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 该邻域内有 :
f(x)?f(x0)?f?(x0)x (?x0)?f ??2(x!0)(x?x0)2 ???f(nn)(!x0)(x?x0)n ?Rn(x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn(x)? f((nn??1)1()?!)(x?x0)n?1 ( ? 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数 f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数, 则称 f(x0)?f?(x0)x (?x0)?f ??2(x!0)(x?x0)2 ???f(nn)(!x0)(x?x0)n??
为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ? 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 ?(x0)内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl? i? m Rn(x)?0.
? 证明: f(x)?n? ?0f(nn )(!x0)(x?x0)n, x??(x0) ? 令 Sn?1(x)?kn ?0f(kk)(!x0)(x?x0)k
f( x )? S n ? 1 ( x )? R n ( x )
nl? i? mRn(x)?n l? i? ?m f(x )? S n ? 1 (x )?? 0 , x??(x0)
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是

唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.

证: 设 f (x) 所展成的幂级数为

f ( x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n ? ? ,x ? ( ? R , R )



a0?f(0)

f?( x ) ? a 1 ? 2 a 2 x ? ? ? n n x n ? a 1 ? ? ; a1?f?(0)

f? ? ( x ) ? 2 ! a 2 ? ? ? n ( n ? 1 ) a n x n ? 2 ? ? ;a2?21! f??(0)

? ?

?

f(n)(x)?n!an?? ; ? ?

an ?n1! f(n)(0) ?

显然结论成立 .

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二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f (x)展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(-R, R) 内 nl? im ?Rn(x)是否为
0.
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例1. 将函数 f (x) ?ex 展开成 x 的幂级数.

解: ?f(n)(x)?ex, f(n)(0)?1(n?0,1,? )故,得级数

1

?x?

1 x2 2!

?

1 x3 3!

??? 1 xn ?? n!

其收敛半径为

1

R

?

lim
n??

n

!

1 ???
(n ? 1)!

对任何有限数 x , 其余项满足

Rn(x)

?

e? (n?1)!

xn?1

?e x

x n?1 (n ? 1)!

n? ?0

(? 在0与x 之间)

故 ex? 1?x?1x2?1x3? ? ?1xn? ? , x?(?? ,?? )

2 ! 3 !

n !

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例2. 将 f(x)?sixn展开成 x 的幂级数. 解: ?f (n)(x)?sinx? (n??2)

?f (n)(0) ????(?01),k ,

n?2k n?2k?1

(k?0,1,2,? )

得级数:

x?

1 3!

x

3?51!x5 ???(?1)n?1(2n1 ?1)!x2n?1??

其收敛半径为 R??? , 对任何有限数 x , 其余项满足

Rn(x) ?si?n (n??((n 1)? !1)?2)

xn?1

?

x n?1 (n ? 1)!

n? ?0

?sinx? x ? 3 1 ! x 3 ? 5 1 ! x 5 ? ? ? ( ? 1 ) n ? 1 ( 2 n 1 ? 1 ) ! x 2 n ? 1 ? ? x? (?,? ?? )

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sx i? n x ? 1 x 3 ? 1 x 5 ? ? ? ( ? 1 ) n ? 1 1x 2 n ? 1 ? ?

3 ! 5 !

( 2 n ? 1 ) !

x? (?,? ?? )

类似可推出: (P220 例3)

cx o ? 1 ? s1 x 2 ? 1 x 4 ? ? ? (? 1 )n ? 11x 2 n ? ?

2 ! 4 !

(2 n )!

x? (?,? ?? )

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例3. 将函数 f(x)?(1?x)m展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 .
解: 易求出 f(0)?1, f?(0)?m, f??(0 )? m (m ? 1 ), f( n ) ( 0 )? m ( m ? 1 )m ( ? 2 ) ? ( m ? n ? 1 ) ,?
于是得 级数 1?m?xm(m?1)x2 ?? 2!
?m (m?1)? (m?n?1)xn?? n!
由于 R? lim an ? lim n?1 ?1 n?? an?1 n?? m?n
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (-1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F (x),? 1?x?1 则 F (x)? 1?m x?m(m?1)x2 ??
2! ?m (m?1)? (m?n?1)xn?? n!

F ?( x )? m ?1 ? m ? 1 x ? ? ? ( m ? 1 ) ? ( m ? n ? 1 )x n ? 1 ? ? ?

1

( n ? 1 ) !

(1?x)F?(x)?mF (x), F(0)?1

推导

?0xF F?((xx))dx??0x1? mxdx

lF n ( x ) ? lF n ( 0 ) ? m l1 n ? x )(

F(x)?(1?x)m

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由此得
(1?x)m?1?mx?m(m?1)x2 ?? 2!
?m (m?1)? (m?n?1)xn?? n! (?1?x?1)
称为二项展开式 . 说明:
(1) 在 x=±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
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对应 m?1 2,?1 2,?1的二项展开式分别为 1?x?1?1x ? 1 x 2 ? 1?3 x3 ? 1?3?5 x4??
2 2 ? 4 2?4?6 2?4?6?8 (?1?x?1)

1 1?

x

?1

?

1 2

x

?

1?3 2?4

x2

? 1?3?5 x3 ?1?3?5?7x4?? 2?4?6 2?4?6?8

(?1?x?1)

1 ? 1 ?x? x2 ? x3 ?? ?(?1)nxn??

1? x

(?1?x?1)

1? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? ? ( ? 1 ? x ? 1 ) 1 ? x
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.

1 例4. 将函数 1 ? x 2 展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 ? 1 ? x? x2? ? ? (? 1 )nxn? ? (?1?x?1) 1? x 把 x 换成 x 2 , 得

1 1? x2

?

1 ? x 2? x 4? ? ? (? 1 )nx 2 n? ? (?1?x?1)

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例5. 将函数 f(x)?ln 1?(x)展开成 x 的幂级数.

解:

f ?(x) ? 1 1?x

?
??(?1)nxn
n?0

(?1?x?1)

从 0 到 x 积分, 得

? ? ? ?

x

ln1(?x)? (?1)n xndx?

? (?1)n xn?1 ,

? ?1 1? ?x x? ?1 1

n?0

0

n?0 n?1

上式右端的幂级数在 x =1 收敛 , 而 ln 1?(x)在 x?1有

定义且连续, 所以展开式对 x =1 也是成立的, 于是收敛 区间为 ?1?x?1.

利用此题可得

l2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? (? 1 )n1? ?

234

n ? 1

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例6. 将 sinx 展成

x

?

?
4

的幂级数.

解:? s s? 4 x iic ? n s n x o ?i? ? 4 ? 4 n ? ) ( s ? x c ? ? 4 ( ? ) 4 ?o sx is ? ? n 4 ) (

? 1 2 ?cx o ? ? 4 ) s ? s (i x ? n ? 4 )?(

?

1 2

??????1

?

1 (x ?? )2
2! 4

? 1(x??)4
4! 4

?????

?

??? ( x

?

?)
4

?

1 (x 3!

?? )3
4

? 1(x??)5
5! 4

????????

? ? ? ?1? ?1 ? (x?)? 1 (x?)2? 1 (x?)3? ? ? ?

2 ? 42 ! 4 3 ! 4 ?

(???x??)?

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例7. 将

1

展成 x-1 的幂级数.

x2 ? 4x ?3

解:

x2?1 4x?3?(x?1)1x (?3)

?1?1 2(1?x) 2(3?x)

?

1
4?1? x

? 2

1

?

?

1
8?1? x

? 4

1

?

( x?1?2)

?1 4 ? ? ? 1?

x

? 2

1

?

(x ?1)2 22

???(?1)n

(x?1)n 2n

??? ? ?

? 8 1 ? ? ?1 ?

x

? 4

1

?

(x ?1)2 42

???(?1)n(x4?n1)n ??? ? ?

? ?n? ?0(? 1)n?2n 1 ?2?22 1 n?3?(x?1)n (?1?x?3)

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内容小结

1. 函数的幂级数展开法

(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;

(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .

2. 常用函数的幂级数展开式

? e x ?1 ?x? 1 x 2 ??? 1 xn ??, x? (?,? ?? )

2!

n!

?ln(1?x)?x? 1 x 2 2

?

1 3

x

3

? 1 x4 4

??

?

(?1)n n ?1

xn?1??

x?(?1,?1]

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? sinx?x? x 3 ? x 5 ? x 7 ? ? ?(?1)n x2n?1 ??

3 ! 5 ! 7!

(2n?1)!

x? (?,? ?? )

?coxs?1 ? x 2 ? x 4 ? x 6 ? ? ?(?1)n x2n ??

2 ! 4 ! 6!

(2n)!

x? (?,? ?? ) ? (1?x)m?1?mx ?m(m?1) x2 ??
2!

?m (m?1)? (m?n?1)xn??x?(?1,1) n!
当 m = –1 时

1 1?

x

? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ( ? 1 ) n x n ? ? ,x?(?1,1)

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思考与练习

1. 函数 f(x)在x0处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级
提示: 后者必需证明 lim Rn(x)?0,前者无此要求.
n? ?

2. 如何求 y?sin2 x的幂级数 ?

提示:

y?1?1cos2x 22

? ?12?12n? ?0(?1)n(21n)!(2x)2n

? ??1?(?1)n 4n x2n,
2n?1 (2n)!

x? (?,? ?? )

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作业 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
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备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数

f(x)?arct1a?nx 1?x

? 解:

f?(x)? 1

1 ?

x

2

?
? (?1)n x2n,
n?0

x?(?1,1)

? ? ? ?
? f(x)?f(0 )? (?1)n

xx2nd x? ? (?1)n x2n?1

0 n?0

n?02n?1

x=±1 时, 此级数条件收敛, f (0) ? ? ,因此
4
? f(x)????(?1)nx2n?1, x?[?1,1] 4 n?02n?1

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2. 将 f(x)?ln 2? (x?3x2)在x = 0处展为幂级数.

解: f( x )? l1 n ? x )? (l2 n ? l1 n ? 2 3 x ( ) 2?x?3x2

ln1(?x)??

?
?
n ?1

xn n

?(1?x)(2?3x) (?1?x?1)

? ln1(?23x)?

?

(?1)n?1 n

(23x)n

(?32?x?32)

n?1

因此

? f(x)?ln2? ? x n
n?1 n

?n???1(?1n)n?1(23x)n

? ln (1?x)??xl?n221?xn? 2? ??11 n13 [x13??(14?x2 34)n?]? xn?((n??x?132? )1?n(? xx1 n?,?1? 32?1 )? ]

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