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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时训练理


第3节

三角函数的图象与性质

【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的定义域、值域、最值 三角函数的单调性、单调区间 奇偶性、周期性、对称性 综合应用 题号 3,9,14 2 1,4,7,8,12 5,6,10,11,13,15,16

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 高考四川卷)下列函数中,最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是( (A)y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+) (C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x 解析:选项 A,y=cos(2x+)=-sin 2x,符合题意. 2.(2016 合肥质检)下列关系式中正确的是( C ) (A)sin 11°<cos 10°<sin 168° (B)sin 168°<sin 11°<cos 10° (C)sin 11°<sin 168°<cos 10° (D)sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析:根据诱导公式 sin 168°=sin 12°, cos 10°=sin 80°,由正弦函数的单调性可知, sin 11°<sin 12°<sin 80°, 所以 sin 11°<sin 168°<cos 10°. 3.函数 f(x)=-2tan(2x+)的定义域是( D ) (A){xx≠} (B){xx≠- } (C){xx≠kπ +(k∈Z)} (D){xx≠ +(k∈Z)} 解析:由正切函数的定义域,得 2x+≠kπ +(k∈Z), 即 x≠ +(k∈Z).

A )

4.(2016 西安八校联考)若函数 y=cos(ω x+) (ω ∈N )图象的一个对称中心是(,0),则ω 的最 小值为( B ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:由题意知 +=kπ +(k∈Z)? ω =6k+2(k∈Z),又ω ∈N ,所以ω min=2,故选 B.
*

*

1

5.(2015 高考安徽卷)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π ,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( (A)f(2)<f(-2)<f(0) (B)f(0)<f(2)<f(-2) (C)f(-2)<f(0)<f(2) (D)f(2)<f(0)<f(-2) 解析:因为 f(x)=Asin(ω x+φ )的最小正周期为π , 且 x= ,x=分别是经过最小值点,最大值点的对称轴. A )

即 f(x)在(, )上为减函数,又 f(-2)=f(π -2), f(0)=f(), <<π -2<2< . 所以 f()>f(π -2)>f(2). 即 f(0)>f(-2)>f(2). 故选 A. 6.(2016 济南调研)关于函数 f(x)=sin(2x+)与函数 g(x)=cos(2x- ),下列说法正确的是 ( D ) (A)函数 f(x)和 g(x)的图象有一个交点在 y 轴上 (B)函数 f(x)和 g(x)的图象在区间(0,π )内有 3 个交点 (C)函数 f(x)和 g(x)的图象关于直线 x=对称 (D)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点(0,0)对称 解析:g(x)=cos(2x- ) =cos(2x--) =cos[-(2x-)] =sin(2x-), 由 f(0)= ,g(0)=- ,故 A 错; 易知 f(x)和 g(x)的图象在(0,π )内有 2 个交点,B 错; 由 f(π -x)=sin[2(π -x)+]=-sin(2x-)≠g(x). f(x)和 g(x)的图象不关于直线 x=对称,C 错; 由 f(-x)=sin[2(-x)+]=-sin(2x-)=-g(x),f(x)和 g(x)的图象关于原点(0,0)对称,选 D. 7.(2016 合肥质检)设 y=sin(ω x+ ? ) (ω >0, ? ∈(-,))的最小正周期为π ,且其图象关于直 线 x= 对称,则在下面四个结论中:

2

①图象关于点(,0)对称;②图象关于点(,0)对称; ③在[0,]上是增函数;④在[-,0]上是增函数. 正确结论的编号为 . 解析:因为 T=π ,所以ω =2, 所以 y=sin(2x+ ? ). 因为图象关于直线 x= 对称, 所以+ ? =+kπ (k∈Z), 所以 ? =+kπ (k∈Z). 又因为 ? ∈(-,), 所以 ? =. 所以 y=sin(2x+). 当 x=时,y=sin(+)=,故①不正确; 当 x=时,y=0,故②正确; 当 x∈[0,]时,2x+∈[, ],y=sin(2x+)不是增函数,即③不正确; 当 x∈[-,0]时, 2x+∈[0,]? [0,],故④正确. 答案:②④ 8.若 f(x)=sin(x+),x∈[0,2π ],关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不相等实数根 x1,x2,则 x1+x2 等于 . 解析:对称轴 x=+kπ ∈[0,2π ], 得对称轴 x=或 x= ,

所以 x1+x2=2×=或 x1+x2=2× = ,

答案:或

9.若 f(x)=2sin ω x(0<ω <1)在区间[0,]上的最大值是 解析:由 0≤x≤, 得 0≤ω x≤ <, 则 f(x)在[0,]上单调递增, 又在这个区间上的最大值是 所以 2sin = , ,

,则ω =

.

3

又 0< <,

所以 =, 解得ω =. 答案: 10.(2015 高考北京卷)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 解:(1)因为 f(x)= sin x- (1-cos x) sincossin .
2

=sin(x+)- , 所以 f(x)的最小正周期为 2π . (2)因为-π ≤x≤0, 所以- ≤x+≤. 当 x+=-, 即 x=- 时,f(x)取得最小值. 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 f(- )=-1- .

11.(2015 高考重庆卷)已知函数 f(x)=sin (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在 上的单调性.

sin x-

cos x.

2

解:(1)f(x)=sin(-x)sin x-

cos x

2

=cos xsin x- (1+cos 2x)

4

=sin 2x- cos 2x-

=sin(2x-)- ,

因此 f(x)的最小正周期为π ,最大值为

.

(2)当 x∈[, ]时,0≤2x-≤π , 从而当 0≤2x-≤, 即≤x≤ 时,f(x)单调递增, 当≤2x-≤π , 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减.

综上可知,f(x)在[, ]上单调递增;

在[ , ]上单调递减. 能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2016 黄山质检)已知 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则( D (A)f(x-1)一定是奇函数 (B) f(x-1)一定是偶函数 (C)f(x+1)一定是奇函数 (D)f(x+1)一定是偶函数 解析:由 f(x)=Asin(ω x+ ? ), 且 f(x)在 x=1 处取得最大值, 得 f(x)关于 x=1 对称, 则 f(x+1)关于 y 轴对称, 即 f(x+1)一定是偶函数. 13.(2016 赤峰质检)函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )的图象如图所示,其中 A>0,ω >0, | ? |<,则关于 f(x)的说法正确的是( D )

)

(A)对称轴方程是 x=+2kπ (k∈Z)
5

(B) ? =(C)最小正周期为π (D)在区间(- ,- )上单调递减

解析 : -(- )= π =× , 故 ω =1, 由题图知 -+ φ =k π ,k ∈ Z,A=1, 又 | φ |<, 故 φ =, 所以函数 f(x)=sin(x+).函数 f(x)图象的对称轴方程为 x+=kπ +,即 x=+kπ (k∈Z),选项 A 中的说法不 正确;选项 B 中的说法不正确;函数 f(x)的最小正周期为 2π ,选项 C 中的说法不正确;由 2k π +≤x+≤2kπ + ,得 2kπ +≤x≤2kπ + (k∈Z),所以函数 f(x)的单调递减区间是 [2kπ

+,2kπ + ](k∈Z),令 k=-1,得函数 f(x)的一个单调递减区间为[- ,- ],即[-

,- ],

由于(- ,- ),

即(- ,- )? [-

,- ],

所以函数 f(x)在(- ,- )上单调递减.故选 D. 14.函数 y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π ]的最小值是 解析:设 sin x-cos x=t,t= 因为 x∈[0,π ], 所以 x-∈[-,π ], 所以 t∈[-1, ],sin xcos x= , sin(x-), .

所以 y=t+

=-(t-1) +1,

2

当 t=-1 时,ymin=-1. 答案:-1 15.(2015 金华模拟)已知 f(x)=2sin (2x+)+a+1. (1)若 x∈R,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 x∈[0,]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,求满足 f(x) =1 且 x∈[-π ,π ]的 x 的取值集合. 解:(1)f(x)=2sin (2x+)+a+1, 由 2kπ -≤2x+≤2kπ +,k∈Z,
6

可得 x∈[kπ -,kπ +](k∈Z), 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ -,kπ +](k∈Z). (2)当 x=时,f(x)取最大值 f()=2sin +a+1=a+3=4, 所以 a=1. (3)由 f(x)=2sin (2x+)+2=1 可得 sin(2x+)=-, 则 2x+= +2kπ ,k∈Z 或 2x+= π +2kπ ,k∈Z,

即 x=+kπ ,k∈Z 或 x= +kπ ,k∈Z, 又 x∈[-π ,π ], 可解得 x=-,-,, ,

所以 x 的取值集合为(-,-,, ]. 16.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当 x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f(x+)且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解:(1)因为 x∈[0,], 所以 2x+∈[, ]. 所以 sin(2x+)∈[-,1], 所以-2asin(2x+)∈[-2a,a]. 所以 f(x)∈[b,3a+b]. 又因为-5≤f(x)≤1, 所以 b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, 所以 f(x)=-4sin(2x+)-1, g(x)=f(x+)=-4sin(2x+ )-1 =4sin(2x+)-1, 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, 所以 4sin(2x+)-1>1, 所以 sin(2x+)>, 所以 2kπ +<2x+<2kπ + ,k∈Z,
7

其中当 2kπ +<2x+≤2kπ +,k∈Z 时, g(x)单调递增, 即 kπ <x≤kπ +,k∈Z. 所以 g(x)的单调增区间为(kπ ,kπ +],k∈Z. 又因为当 2kπ +<2x+<2kπ + ,k∈Z 时, g(x)单调递减, 即 kπ +<x<kπ +,k∈Z. 所以 g(x)的单调减区间为(kπ +,kπ +),k∈Z. 精彩 5 分钟 1.(2015 邯郸模拟)已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间[-,]上的最小值是-2,则ω 的最小 值为( B ) (A) (B) (C)2 (D)3 解题关键:利用数形结合分析[-,]上的最值. 解析:因为ω >0, 所以-ω ≤ω x≤ω , 由题意,结合正弦曲线易知, -ω ≤-,即ω ≥. 故ω 的最小值是. 2.(2015 大连模拟)已知函数 f(x)=2sin(ω x+ ? ),x∈R,其中ω >0,-π < ? ≤π .若 f(x)的最 小正周期为 6π ,且当 x=时,f(x)取得最大值,则( A ) (A)f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 (B)f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 (C)f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 (D)f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 解题关键:先由题中条件确定ω 与 ? 的值,再验证各选项即可. 解析:因为 f(x)的最小正周期为 6π ,所以ω =, 因为当 x=时,f(x)有最大值, 所以×+ ? =+2kπ (k∈Z), ? =+2kπ (k∈Z), 因为-π < ? ≤π ,所以 ? =. 所以 f(x)=2sin(+), 由此函数验证易得, 在区间[-2π ,0]上是增函数, 而在区间[-3π ,-π ]或[3π ,5π ]上不是单调函数, 在区间[4π ,6π ]上是增函数.

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