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山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编18:数列 Word版含答案


山东省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 18:数列
一、选择题 1 . (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)观察下列等式:

12 ? 1
12 ? 22 ? ?3

12 ? 22 ? 32 ? 6
12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10
照此规律, 第 n 个等式可为__________________________
【答案】 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1)
2 2 2 n ?1

n2 ?

(?1) n ?1 n(n ? 1) 2

2 . 山 东 省 临 沂 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 差 数 列 (

2 ?an ?中,? a1 ? a3 ? a5 ? ? 3 ? a7 ? a9 ? ? 54 ,则此数列前 10 项的和 S10 ?
A.45
【答案】A 3 . 山 东 省 枣 庄 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 差 数 列 ? an ? (





B.60

C.75

D.90

中, a1 ? ?1, a4 ? 5 ,则 ? an ? 的前 5 项和 S 5 ? A.15
【答案】A 4 . (山东省单县第五中学 2014 届高三第二次阶段性检测试题(数理))已知数列{ an }的前 n

( D.25



B.7

C.20

项和为 Sn,且 Sn=2(an—1),则 a2 等于 A.4
【答案】A 5 . (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知{an}是由正数组成

( C.1 D.-2



B.2

的等比数列,Sn 表示数列{an}的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144,则 S5 的值为 69 A. B.69 C.93 D.189 2 【答案】C
6 . (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)设 Sn是等差数列





{an}的前 n 项和,若 A.

S8 S4 1 ? ,则 等于 S16 S8 3
B.

( C.



1 9

1 3

3 10

D.

1 8

【答案】C 7 . (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)在各项均为正数

的等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2++log3a10= A.12
【答案】D 8 (山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学 . (理) 试题) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d

( D.10



B.2+log35

C.8

?0,
( )

若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 2013at ( t ? N ),则 t ?
*

A. 2014 【答案】C

B. 2013

C. 1007

D. 1006

9 . (山东省济南外国语学校 2014 届高三上学期质量检测数学(理)试题)各项都是正数的等

比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , 的值为 A.

a ?a ?a 1 a3 , a1 成等差数列,则 2 3 4 a3 ? a4 ? a5 2
( )

1? 5 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

【答案】C 10. (山东省济南一中等四校 2014 届高三上学期期中联考数学(理)试题)已知数列 ?an ? 的前

n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 则 a2 等于 A.4
【答案】A 11. (山东省文登市 2014 届高三上学期期中统考数学(理)试题) 若数列 ?an ? 的前 n 项和

( C.1 D.-2



B.2

2 1 S n ? an ? ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3 3 1 1 n? 2 n?1 n A. ( )(?2) B. ( )(?2) C. (?2) 2 2
【答案】D

( D. (?2)
n?1



12. (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

若数列 ?a n ? 的通项为 an ?

2 ,则其前 n 项和 S n 为 n(n ? 2)





1 n?2 3 1 1 C. ? ? 2 n n?2
A. 1 ?

3 1 1 ? ? 2 n n ?1 3 1 1 D. ? ? 2 n ?1 n ? 2
B.

【 答 案 】 D 根 据 题 意 , 由 于 数 列 ?a n ? 的 通 项 为 an ?

2 n(n ? 2) 可 以 变 形 为
前 n 项 和 为 为

1 1 an ? 2( ? ) n n?2 Sn ? +1 a ?2 + a

,















?+

1 1 1 1 a? 2 [ ? ( ? ? ) ? ( ? n 1 3 2 4n n ?

1

可 )

1 2

知 +结 ( 论

)

]

3 1 1 ? ? 2 n ? 1 n ? 2 ,故选 D
13. (山东省潍坊市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)等差数列{ a n }的前 20 项和

为 300,则 a 4 + a 6 + a 8 + a13 + a15 + a17 等于 A.60
【答案】C 14. (山东省威海市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知等差数列 ? a
n

( C.90 D.120



B.80

? 的前 n 项

和为 S n , a1 ? ?11 , a5 ? a6 ? ?4 , S n 取得最小值时 n
的值为 A. 6 ( )

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】A 15. (山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题) 已知 an

1 ? ( ) n ,把数列 ?a n ? 的各项 3

排列成如下的三角形状,

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12) = 10 A. ) (

( D. ) (



1 3

93

B. ) (

1 3

92

C. ) (

1 3

94

1 3

112

【答案】A 16. (山东省德州市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 ? an ? 是首项为 1 的等差

数列, S n 是 ? an ? 的前 n 项和,且 S5 ? a13 ,则数列 ?

?

1 ? ? 的前五项和为 ? an an ?1 ?
D.





A.

10 11

B.

5 11

C.

4 5

2 5

【答案】B 17. (山东省潍坊市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知数列{ a n }的前 n 项和为

s n ,且 s n + a n =2 n ( n ∈N*),则下列数列中一定是等比数列的是
A.{ a n }
【答案】C 18. (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题) 等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则

( D.{ a n +2}



B.{ a n -1}

C.{ a n -2}

log 2 (2a1 ? 2a2 ? 2a3 ?…? 2a10 ) ?
A. 10
【答案】B 19.山东省淄博第五中学 2014 届高三 10 月份第一次质检数学 ( (理) 试题) S n 是等差数列 {an } 设

( C. 40 D. 2+ log 2 5



B. 20

的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 = a3 9 S5
B.-1 C.2 D.





A.1
【答案】A

1 2

20.山东省淄博一中 2014 届高三上学期 10 月阶段检测理科数学) ( 数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,

且 a1

? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) n

, ( )

则 S100 = A.2600
【答案】A 21. 山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题) ( 设等比数列 ?a n ? 中,前 n 项和为 S n ,

B.2601

C.2602

D.2603

已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

( C.



1 8

B. ?

1 8

57 8

D.

55 8

【答案】A 22. (山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题) 在正项等比数列 {a n }

中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 A. 10000 【答案】A B. 1000 C. 100 D. 10





23. (山东省济南一中等四校 2014 届高三上学期期中联考数学(理)试题)已知各项均为正数

的等比数列 ?an ? 中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8 a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? A. 5 2
【答案】A 24. 山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学 ( (理) 试题) 如果等差数列 {a n }

( D. 4 2



B.7

C.6

中, a3 A.18

? a5 ? a7 ? 12 ,那么 a1+a2++a9的值为
B.27 C.54 D.36





【答案】D 二、填空题 25. (山东省威海市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)公比为 2 的等比数列前 4 项

和为 15,前 8 项和为________________.
【答案】 255 26. (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题) 已知递增的等差数列 {an } 满足

a1 ? 1, a3 ? a22 ? 4 ,则 an ? _________ .
【答案】 2n ? 1 27. (山东省济南一中等四校 2014 届高三上学期期中联考数学(理)试题)在等比数列 ?an ? 中,

若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ? __________.
【答案】 4
n?1

28. (山东省临沂市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)正项数列 ? an ? 的前 n 项和 S n

满足 S n ? n ? n ? 1 S n ? n ? n ? 0 ,则数列 ? an ? 的通项公式 an =_________.
2 2 2

?

?

?

?

【答案】 an ? 2n 29 .( 山 东 省 文 登 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 统 考 数 学 ( 理 ) 试 题 )

3n ? 3n?1 ? 4 ? 3n?2 ? 42 ? ? ? 3 ? 4n?1 ? 4n ? ______.
【答案】 4 三、解答题 30. (山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题)已知各项均为正数的数列 ?a n ? 前 n
n ?1

? 3n?1

项和为 S n ,首项为 a1 ,且

1 , an , S n 等差数列. 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;

(Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2 b

1 2

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

1 ? S n ? , an ? 0 2 1 1 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n?1 ? 2an?1 ? 2 2
【答案】解(1)由题意知 2an

两式相减得 an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 整理得:

an ?2 an ?1

∴数列 ?a n ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2n?1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 2
2 ? bn

(2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,

Cn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ① ? 2 ? 3 ? ? n?1 ? 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2 2 2 2 2n?1 1 1 ( ? n?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? ( ? n ?1 ) ? n?1 41 2 2 4n ? n 2 8n ? Tn ? n . 2 Tn ?
31. (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)已知数列{an}的

首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5,

且 n∈N*.

(I)证明数列{an+1}是等比数列; (II) 令 f(x)=a1x+a2x2++anxn,求函数

f(x)在点 x=1 处的导数 f?(1),并比较 2f?(1)与 23n2―13n 的大小.
【答案】

(II)由(I)知 an ? 3 ? 2 ? 1
n

因为 f ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan x
2 n

n?1

从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 3 ? 2 ? 1 ? ? ? n(3 ? 2 ? 1)
2 n

?

?

32. (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学(理)试题)下面四

个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为

f (n) .

图1

图2

图3

图4

(1)求出 f (2) , f (3) , f (4) , f (5) ; (2)找出 f (n) 与 f (n ? 1) 的关系,并求出 f (n) 的表达式; (3)求证:

1 1 f (1) ? 3 3

?

1 1 f (2) ? 5 3

?

1 1 f (3) ? 7 3

?? ?

1 1 f ( n) ? 2n ? 1 3

?

25 ( n? N* ) 36

【答案】(1)由题意有

f (1) ? 3 ,

f (2) ? f (1) ? 3 ? 3 ? 2 ? 12 , f (3) ? f (2) ? 3 ? 3 ? 4 ? 27 ,
f (4) ? f (3) ? 3 ? 3 ? 6 ? 48 , f (5) ? f (4) ? 3 ? 3 ? 8 ? 75
(2)由题意及(1)知, f (n ? 1) ? f (n) ? 3 ? 3 ? 2n ? f (n) ? 6n ? 3 , 即 f (n ? 1) ? f (n) ? 6n ? 3 , 所以 f (2) ? f (1) ? 6 ?1 ? 3 ,

f (3) ? f (2) ? 6 ? 2 ? 3 , f (4) ? f (3) ? 6 ? 3 ? 3 ,

f (n) ? f (n ? 1) ? 6(n ? 1) ? 3 ,
将上面 (n ? 1) 个式子相加,得:

f (n) ? f (1) ? 6[1 ? 2 ? 3 ? ??? ? (n ? 1)] ? 3(n ? 1)

? 6?

(1 ? n ? 1)(n ? 1) ? 3(n ? 1) 2

? 3n2 ? 3
又 f ?1? ? 3 ,所以 f (n) ? 3n (3)? f (n) ? 3n ∴
2
2

1

1 f ( n) ? 2n ? 1 3 1 当 n ? 1 时,

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ? 2n ? 1 (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1
2

1 f (1)+3 3 1 1 1 1 13 25 当 n ? 2 时, ,原不等式成立 ? ? ? ? ? 1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 4 9 36 36 3 3 当 n ? 3 时, 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1 1 1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 f (3) ? 7 f ( n) ? 2n ? 1 3 3 3 3
? 1 1 ?3? 3 3 ? 1 1 ? 12 ? 5 3 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 3 4 4 5 n n ?1

?

1 25 ,原不等式成立 ? 4 36

1 1 1 1 ? ? ? 4 9 3 n ?1 25 1 25 , 原不等式成立 ? ? ? 36 n ? 1 36 综上所述,对于任意 n ? N * ,原不等式成立 ?
33. (山东省文登市 2014 届高三上学期期中统考数学(理)试题)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d

的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和. (Ⅰ) 若 a2 ? a9 ? 130, a4 ? a7 ? 31 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ?

Sn 2 * * , n ? N ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N ). n

【答案】解(Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,由性质知 a2 ? a9 ? a4 ? a7 ? 31 ,

所以 a2 , a9 是方程 x ? 31x ? 130 ? 0 的两个实数根,解得 x1 ? 5, x2 ? 26 ,
2

∴ a2 ? 5, a9 ? 26,? d ? 3,? an ? 3n ? 1 或 a2 ? 26, a9 ? 5, d ? ?3, an ? ?3n ? 32 即 an ? 3n ? 1 或 an ? ?3n ? 32 (Ⅱ)证明:由题意知∴ S n ? na ? ∴ bn ?

n(n ? 1) d 2

Sn n ?1 ?a? d n 2
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列,∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ? ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴左边= S nk ? (nk ) a ? n k a
2 2 2 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n S k ? n k a
2 2

∴左边=右边∴ Snk ? n Sk ( k , n ? N )成立
*

34.(山东省威海市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 ? a

n

? 为等差数列,且

a3 ? 5, a7 ? 2a4 ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及其前 n 项和 S n ; (Ⅱ)若数列

?bn ? 满足 b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n2bn ? an 求数列 ?bn ? 的通项公式.

【答案】解(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为 a1 , d ,

则?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? ?d ? 2 ? a1 ? 6d ? 2(a1 ? 3d ) ? 1

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,

Sn ?

n(a1 ? an ) ? n2 2
2

(Ⅱ) b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n bn ? an ①

b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n ? 1 2bn?1 ? an?1 , n ? 2 ② ( )
①-②得 n bn ? an ? an ?1 ? 2, n ? 2
2

∴ bn ?

2 , n ? 2, n2

b1 ? a1 ? 1

?1, n ? 1 ? ∴ bn ? ? 2 ? n2 , n ? 2 ?
35. (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知等差数列{an}满

足:an+1>an(n ? N ),a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列{bn}的前三
*

项. (Ⅰ)求数列{an}.{bn}的通项公式 an.bn; (Ⅱ)设 cn ?

an ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn . bn

【答案】解(Ⅰ)设 d.q 分别为数列{an}.{bn}的公差与公比.

由题知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2+d,4+2d 是等比数列{bn}的前三 项, 2 ∴(2+d) =2(4+2 d) 得:d=±2.

? an?1 ? an ,? d ? 0,? d ? 2,
? an ? 2n ? 1(n ? N* ).
由此可得 b1=2, b2=4,q=2,

? bn ? 2n (n ? N* ).
36. (山东省潍坊市 2014 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 已知公比为 q 的等比数列{ a n }

是递减数列,且满足 a1 + a 2 + a 3 = (I)求数列{ a n }的通项公式;

13 1 , a1 a 2 a 3 = 9 27

(II)求数列{ (2n ? 1) ? a n }的前 n 项和为 Tn ; (Ⅲ)若 bn ?

n 3 1 1 1 4 ? (n ? N *) ,证明: ? ??? ≥ . b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35 3 ? an 2
n ?1

1 1 1 3 ,及等比数列性质得 a 2 = ,即 a 2 = , 27 27 3 13 10 由 a1 + a 2 + a 3 = 得 a1 + a 3 = 9 9
【答案】解:由 a1 a 2 a 3 =

1 1 ? ? ?a 2 ? 3 ?a1 q ? 3 1 ? q 2 10 ? ? 2 由? 得? 所以 ,即 3 q -10 q +3=0 ? 10 ? 10 q 3 ?a ? a ? a ? a1 q 2 ? 3 ? 1 ? 1 9 ? 9 ?
解得 q =3,或 q =

1 3
1 1 ,由 a 2 = ,得 a1 =1 3 3
*

因为{ a n }是递减数列,故 q =3 舍去,∴ q = 故数列{ a n }的通项公式为 a n =

1
n ?1

3 2n ? 1 3 5 2n ? 1 (II)由(I)知 (2n ? 1) ? a n = n ?1 ,所以 Tn =1+ + 2 ++ n ?1 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 Tn = + 2 + 3 ++ n?1 + n ② 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2n ? 1 ①-② 得: Tn =1+ + 2 + 3 ++ n ?1 3 3 3 3 3n 3 1 1 1 2n ? 1 1 =1+2( + 2 + 3 ++ n ?1 )3 3 3 3n 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 1 2n ? 1 3 =1+2 ? 3 =2- n ?1 n 1 3 3n 3 1? 3 n ?1 所以 Tn =3- n ?1 3
(Ⅲ)因为 bn ?

( n ∈N )



n 3 3 2n ? 3 ? (n ? N *) = n + = , 2 2 3 ? an 2
n ?1

所以

1 1 1 2 2 2 2 2 2 ? ??? = ? + ? ++ ? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 5 7 7 9 2n ? 3 2n ? 5

1 1 1 1 1 1 )] ? )+( ? )++( ? 5 7 7 9 2n ? 3 2 n ? 5 1 1 =2( ) 5 2n ? 5 1 1 1 1 2 因为 n ≥1, ≥ ? = , 5 2n ? 5 5 7 35
=2[( 所以

1 1 1 4 ? ??? ≥ b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35

37. (山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知数列 {d n } 满足 d n ? n ,
2 等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 , n ? N .

?

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 cn ? 1 ? (?1) an ,不等式 ck ? 2014(1 ? k ? 100, k ? N ) 的解集为 M ,求所有
n ?

d k ? ak (k ? M ) 的和.
【答案】解:(Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,

所以 (a1q 4 ) 2 ? a1q 9 ,解得 a1 ? q 又因为 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,所以 2(an ? an q 2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2 2

1 (舍)或 q ? 2 2

所以 an ? 2 ? 2

n ?1

? 2n
n n

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) an ? 1 ? ( ?2) , d n ? n
n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2 ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立
n

n 当 n 为奇数, cn ? 1+2 ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

因为 2 =1024, =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 2
10 11

则 {d k } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列

{ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等比数列
则所有 d k ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3
38 . 山 东 省 枣 庄 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 (

? an ? 满

足:

1 n ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 nbn ? an (n ? N * ) . a1 ? , an ?1 ? an 2 2n

(1)证明数列

?bn ? 是等比数列,并求其通项公式:
? ?

(2)求数列

?an ? 的前 n 项和 S n ;

(3)在(2)的条件下,若集合 ? n | 围.

? (n 2 ? n)(2 ? S n ) ? ? , n ? N * ? ? ? ,求实数 ? 的取值范 n?2 ?

【答案】

39. (山东省济南一中等四校 2014 届高三上学期期中联考数学(理)试题)(本小题满分 12 分)

设递增等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 1 , a4 是 a3 和 a7 的等比中项. (l)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .
【 答 案 】 解 :(1) 在 递 增 等 差 数 列

?an ?

中 , 设 公 差 为

?a 4 2 ? a 3 ? a 7 ?(a1 ? 3d ) 2 ? 1 ? (a1 ? 6d ) ?? 解得 d ? 0 ,? ? ? a1 ? 2d ? 1 ? a3 ? 1

?a1 ? ?3 ? ? d ?2

? a n ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5 ,
(2) S n ?

-------------

n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2

? 所求 a n ? 2n ? 5 , S n ? n 2 ? 4n
40. (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题) 已知递增的等比数列 {an } 满

足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,求 S n .
【答案】解:(1)设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q .

由已知得 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a3 ? 8 于是 a2 ? a4 ? 20 .

1 ? ?a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? q ? ? 故? ,解得 ? 或? 2 2 ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 2 ? a ? 32 ? ? 1
又数列 {an } 为递增数列,故 ? (2)∵ bn ? an log 2 an ? n ? 2
2 n

?q ? 2 n ,∴ an ? 2 ?a1 ? 2

∴ S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? … ? n ? 2
3

n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? … ? n ? 2n +1
两式相减得 ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

?

2 ? (1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2
n ?1

∴ Sn ? (n ? 1) ? 2

?2

41. (山东省临沂市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为

1 n ?1 S n ,且 a1 ? , an ?1 ? an . 2 2n
(I)求 ? an ? 的通项公式; (II)设 bn ? n ? 2 ? S n ? , n ? N ,若集合M ? n bn ? ? , n ? N
*

?

*

? 恰有 4 个元素,求实数

? 的取值范围.
【答案】

42. (山东省德州市 2014 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题)已知 ? an ? 是等差数列,其前 n

项和为 S n , ?bn ? 是等比数列( bn ? 0 ),且 a1 ? b1 ? 2, a3 ? b3 ? 16 , S4 ? b3 ? 34 . (1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 Tn 为数列 ?an bn ? 的前 n 项和,求 Tn .

【答案】解:(1)设数列 ? an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ,由已知 q ? 0 ,由已知可



?2 ? 2d ? 2q ? 16 ?d ? 3 ?? ? ?8 ? 6d ? 2q ? 34 ?q ? 2
因此 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1, bn ? b1q (2) Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (3n ? 1) ? 2
2 n n ?1

? 2n

2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (3n ? 1) ? 2n ?1
两式相减得 ?Tn ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? (3n ? 1) ? 2
2 n n ?1

? 4?

12(1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ? ?8 ? (3n ? 4)2n ?1 1? 2
n ?1

故 Tn ? (3n ? 4)2

?8
n ?1

43. (山东省烟台二中 2014 届高三 10 月月考理科数学试题) 设曲线 y ? x

(n ? N ? ) 在点 (1,1)

处的切线与 x 轴的定点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn . (1)当 n ? 1 时,求曲线在点(1,1) 处的切线方程; (2)求 a1 ? a2 ? … ? a99 的值.
【答案】

44. (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学 (理) 试题) 已知数列{an}中,a1

=1,an+1=an+2n+1,且 n∈N*. 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.如果对于任意 anan+1 的 n∈N*,都有 Tn>m,求实数 m 的取值范围.
【答案】解:(1)∵ an+1=an+2n+1, ∴ an―an-1=2n―1, 而 a1=1,∴ an=a1+(a2―a1)+

(a3―a2)++(an―an-1)=1+3+5++(2n―1)=

n(1+2n-1) 2 =n 2 1 1 1 1 ∴ Tn=( ― )+ ( ― )+......+ 2 22 1 22 32

2n+1 2n+1 1 1 (2) 由(1)知:bn= = = ― anan+1 n2(n+1)2 n2 (n+1)2 1 1 1 ― )=1― 2 (n+1)2 n (n+1)2

(

1 3 ∴数列{bn}是递增数列,∴最小值为 1― = 只需要 2 4 (1+1)

3 >m 4 3 ∴ m 的取值范围是( ,+∞) 4
45. (山东省济南外国语学校 2014 届高三上学期质量检测数学(理)试题)设数列 {an } 的前 n

项 和为 S n , 已知 a1 ? a2 ? 1 , bn ? nSn ? (n ? 2)an , 数列 {bn } 是公 差为 d 的 等差数 列, n ? N * . (1) 求 d 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 求证: (a1a2 ??? an ) ? ( S1S 2 ??? S n ) ?
【答案】

22 n ?1 . (n ? 1)(n ? 2)

20.解: a1 ? a2 ? 1,bn ? nS n ? (n ? 2) an ? ? b1 ? S1 ? (1 ? 2)a1 ? 4a1 ? 4 b2 ? 2 S 2 ? (2 ? 2)a2 ? 2a1 ? 6a2 ? 8 ? d ? b2 ? b1 ? 4

46. (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知数列{an}的前 n 项

和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),

a1= .
(Ⅰ) 求证:{ 1

1 2

Sn

}是等差数列;

(Ⅱ)求 an 表达式; 2 2 2 (Ⅲ)若 bn=2(1-n)an (n≥2),求证:b2 +b3 ++bn <1.

【答案】(Ⅰ)

1 1 ? ?2 Sn Sn ?1

? 1 (n ? 1) ? 2 , ? (Ⅱ) an ? ? 1 ?? , (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ?
(Ⅲ) bn ?
n

1 1 1 1 1 ? ? (n ? 2) , bn 2 ? 2 ? n n(n ? 1) n ? 1 n n
1 1 1 1 1 1

(n ? 2)

? b ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1
i ?2 i

47. (山东省淄博第五中学 2014 届高三 10 月份第一次质检数学 (理) 试题) (本小题满分 12 分)

设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ? 数, n ? N * ), a2 = 6 . (Ⅰ)求 c 的值及数列 {an } 的通项公式;

1 nan ? an ? c ( c 是 常 2

(Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 8
1 nan ? an ? c , 2

【答案】(Ⅰ)解:因为 S n ?

所以当 n = 1 时, S1 ?

1 a1 ? a1 ? c ,解得 a1 = 2c , 2

当 n = 2 时, S 2 ? a2 ? a2 ? c ,即 a1 ? a2 ? 2a2 ? c ,解得 a2 = 3c , 所以 3c ? 6 ,解得 c ? 2 ; 则 a1 ? 4 ,数列 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2 . (Ⅱ)因为 ---

1 1 1 + +L + a1a2 a2a3 an an+ 1

1 1 ( 2 4 1 1 = [( 2 4 =
=

1 1 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( ) 6 2 6 8 2 2n + 2 2n + 4 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( )] 6 6 8 2n + 2 2n + 4
因为 n ? N *

1 1 1 1 1 . ( )= 2 4 2n + 4 8 4( n + 2)

所以

1 1 1 1 + +L + < a1a2 a2 a3 an an+ 1 8

48. (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) .
(1)证明:数列 {an } 为等比数列; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?1 ? an ? bn (n ? N ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 {bn } 的通项公式.
*

【答案】解:(1)由已知 S n ? 4an ? 3(n ? N )
*

当 n ? 2 时,有 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 两式相减得 an ? 4an ? 4an ?1 整理得 an ?

4 an ?1 3

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0

4 等比数列 3 4 n ?1 4 n ?1 (2)由(1)可知 an ? ( ) , Sn ? 4 ? ( ) ? 3 3 3
故数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 由 bn ?1 ? an ? bn (n ? N ) 可得
*

b2 ? a1 ? b1
b3 ? a2 ? b2 bn ? an ?1 ? bn ?1
累加得 bn ? a1 ? a2 ? … ? an ?1 ? b1 ? Sn ?1 ? b1
n?2 又 b1 ? 2 ,于是 bn ? 4 ? ( ) ? 1

4 3


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