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2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 4-6正弦定理、余弦定理及解三角形


第6讲
最新考纲

正弦定理、余弦定理及解三角形

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单

的三角形度量问题;2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

课堂总结

知 识 梳 理
1.正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则

定 理

正弦定理

余弦定理

2+c2-2bccos A ; 2=________________ b a b c 内 a 2=________________ 2+a2-2cacos B ; b c sin B =_____ sin C =2R 容 sin A=______ c2=________________ a2+b2-2abcos C

课堂总结

常 见 变 形

(1)a=2Rsin A,b=________ 2Rsin B ,c b2+c2-a2 =________ 2Rsin C ; b cos A=_________ 2bc ; a (2)sin A= ,sin B=_____ 2R , 2R 2 2 2 c + a - b c sin C= ; 2ac ; cos B=_________ 2R sin A∶sin B∶ (3)a∶b∶c=_________________ a2+b2-c2 sin C ; ______ cos C=__________ 2ab (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A

课堂总结

1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 2 2 2 4R 2 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.
3.实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平

上方 视线_____叫仰角,目标视线在水平视线 ____叫俯角(如图1). 下方

课堂总结

(2)方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做
方位角.如B点的方位角为α(如图2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 如南偏东30°,北偏西45°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

课堂总结

诊 断 自 测
1. 判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)在△ABC 中,A>B 必有 sin A>sin B. (√ ) (2)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,则 A=60°或 120°. ( √ ) (3)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β, 则 α,β 的关系为 α+β=180°. (× ) (4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目 ? π? ? 标点之间的位置关系,其范围均是?0, ? . (× ) 2? ? ?

课堂总结

2.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 2sin2B-sin2A a,b,c.若 3a=2b,则 的值为 ( ) sin2A 1 1 7 A. B. C.1 D. 9 3 2 2sin2B-sin2A 2b2-a2 解析 由正弦定理知, = = sin2A a2 ?b?2 b 3 ? ? 2 a -1,又知 3a=2b,所以 = , a 2 ? ? ?3?2 2sin2B-sin2A 7 ? ? =2× 2 -1= ,故选 D. sin2A 2 ? ?

答案

D

课堂总结

3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一

座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,
在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两 点间的距离是
A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里

(

)

课堂总结

解析 如图所示,易知,在△ABC 中, AB=20 海里,∠CAB=30°,∠ACB= BC 45 ° , 根 据 正 弦 定 理 得 = sin 30° AB ,解得 BC=10 2(海里). sin 45°

答案

A

课堂总结

4.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3, 则△ABC 的面积等于________.
解析 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A, 所以 12=AB2+16-2×AB×4×cos 60°,解得 AB=2, 1 1 所以 S△ABC= ·AB·AC·sin A= ×2×4×sin 60°=2 3. 2 2

答案

2 3

课堂总结

5.(人教A必修5P10B2改编)在△ABC中,acos A=bcos B, 则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= , 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

答案

等腰三角形或直角三角形

课堂总结

考点一

正、余弦定理的简单运用

【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若 a=2 3,b= 6,A=45°,则 c=________. (2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则 B=________.

解析

在△ABC 中, bsin A 由正弦定理得 sin B= = a 2 6× 2 1 = ,因为 b<a, 2 2 3 所以 B<A,所以 B=30°,

(1)法一

深度思考

已知两边及

其中一边所对的角求另 一边可采用正弦定理也 可用余弦定理来解决, 不妨两种方法你都体验

一下吧!
课堂总结

C=180°-A-B=105°,sin C=sin 105°= sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°= 6+ 2 . 4 6+ 2 2 3× 4 asin C 故 c= = = 3+3. sin A 2 2

课堂总结

法二

在△ABC 中, 根据余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,

即 c2-2 3c-6=0,所以 c= 3±3.因为 c>0,所以 c= 3+ 3. (2)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理的推论得 cos B= =- , 2ac 2 2π 所以 B= . 3

答案

2π (1)3+ 3 (2) 3

课堂总结

规律方法

(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑

用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用 某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的 二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正 弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显

时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角
形内角和定理的应用及角的范围限制.

课堂总结

【训练1】 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 ( )

C.锐角三角形

D.等边三角形

(2)(2014· 绍兴模拟)在△ABC 中, A=60°, b=1, S△ABC= 3, a+b+c 则 =________. sin A+sin B+sin C

1 解析 (1)由 2c =2a +2b +ab,得 a +b -c =- ab,所 2 1 a2+b2-c2 -2ab 1 以 cos C = = =- < 0 ,所以 90 °< C < 2ab 2ab 4 180°,即△ABC 为钝角三角形.
2 2 2 2 2 2
课堂总结

1 c 3 (2)∵S△ABC= bcsin A= × = 3,c=4, 2 2 2 1 ∴a =b +c -2bccos A=1 +4 -2×4×1× =13, 2
2 2 2 2 2

∴a= 13, a b c ∵ = = =2R(R 是△ABC 的外接圆的半径.) sin A sin B sin C a+b+c ∴ = 2R sin A+sin B+sin C a 13 2 39 = = = . sin A sin 60° 3

答案

2 39 (1)A (2) 3
课堂总结

考点二 正、余弦定理的综合运用 【例 2】 (2014· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 π 6 别是 a,b,c.已知 a=3,cos A= ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.
解 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos2A π 3 = ,因为 B=A+ , 3 2 ? π? 6 ? ? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 3 2? ? 6 3× 3 asin B 由正弦定理,得 b= = =3 2. sin A 3 3
课堂总结

? π π? 3 ? ? (2)由 B=A+ ,得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 2? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B) 3 ? 6 6 1 3? ? ? =sin Acos B+cos Asin B= × - + × = . 3 ? 3? 3 3 3 1 1 1 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× 2 2 3 3 2 = . 2

课堂总结

规律方法

有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用

正、余弦定理实现边角转化;(2)合理运用三角函数公式, 如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、

二倍角公式等.

课堂总结

【训练2】 (2014· 重庆卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 2B 2A (2)若 sin Acos +sin Bcos =2sin C, 且△ABC 的面积 S 2 2 9 = sin C,求 a 和 b 的值. 2 7 解 (1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2
a2+b2-c2 2 由余弦定理得 cos C= = 2ab
2

?5?2 ?7?2 +?2? -?2? ? ? ? ?

5 2×2× 2

1 =- . 5

课堂总结

(2)由 sin Acos +sin Bcos =2sin C 可得: 2 2 1+cos B 1+cos A sin A· +sin B· =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9, 2 2 从而 a2-6a+9=0, 解得 a=3,b=3.

2B

2A

课堂总结

考点三

正、余弦定理在实际问题中的应用

【例 3】 如图, 在海岸 A 处, 发现北偏东 45°方向距 A 为( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向, 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度 追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向 北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船?并求出所需要的时间(注: 6≈2.449).

课堂总结



设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)

走私船,则有 CD=10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中, ∵AB=( 3-1)海里, AC=2 海里, ∠BAC=45° +75°=120°,根据余弦定理,可得 BC= ( 3-1)2+22-2×2×( 3-1)cos 120°= 6(海里). 根据正弦定理,可得 3 ACsin 120° 2× 2 2 sin∠ABC= = = . BC 2 6

课堂总结

∴∠ABC=45°,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 BDsin∠CBD 10t·sin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= 6(海里), 6 则有 10t= 6,t= ≈0.245 小时=14.7 分钟. 10 故缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

课堂总结

规律方法

解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽

象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用 正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已

知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出
这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角 形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解

方程(组)得出所要求的解.

课堂总结

【训练3】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)如图,为测量山高MN, 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M 点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及

∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=
100 m,则山高MN=________m.

课堂总结

解析

在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AC

=100 2(m). 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC= AC AM 45°, 由正弦定理, 得 = , 因此 AM=100 3(m). sin 45° sin 60° MN 在 Rt△MNA 中,AM=100 3 m,∠MAN=60°,由AM = 3 sin 60°,得 MN=100 3× =150(m). 2

答案

150

课堂总结

微型专题

解三角形中的向量法

解三角形问题是历年高考的必考内容,其实质是将几何 问题转化为代数问题及方程问题.解答这类问题的关键是正 确分析边角关系,依据题设条件合理地设计解题程序,将三 角形中的边角关系进行互化.解三角形问题的一般解题策略 有:公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论 法等.

课堂总结

【例4】 已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),

C(5,0),则sin A的值为________.
点拨 先把坐标用向量来表示,再利用向量的数量积求 解即可.
解析 → → 因为AB=(-3,-4),AC=(2,-4),

→ → 所以AB·AC=-6+16=10, → |AB|= (-3)2+(-4)2=5, → |AC|= 22+(-4)2=2 5.

课堂总结

→ → → → AB· AC 10 5 所以 cos〈AB,AC〉= = = . → → 10 5 5 |AB|· |AC| 5 即 cos A= ,因为 0<A<π, 5 2 5 所以 sin A= . 5 2 5 答案 5

课堂总结

点评

本题的求解如果不采用向量法,难度就加大了,需要

先作出图形,求得角A一邻边上的高,不仅计算量加大,题 目也变得复杂.而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数

化,计算量大大降低,很容易求得结果.

课堂总结

[思想方法] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要 工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的 关系或边的关系. 一般地, 利用公式 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径), 可将边转化为角的三角 函数关系,然后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到 三 角 形 内 角 和 定 理 A + B + C = π . 利 用 公 式 cos A = b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 ,cos B= ,cos C= ,可将有 2bc 2ac 2ab 关三角形中的角的余弦化为边的关系,然后充分利用代数知 识求边.

课堂总结

[易错防范]
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角 解三角形有时出现一解、两解,所以要进行分类讨论(此

类类型也可利用余弦定理求解).
2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制. 3.解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把 需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把

角的含义弄错,把这些角与要求解的三角形的内角之间
的关系弄错.

课堂总结


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