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高一数学数列求和1


数列求和的技巧专题

n

基本公式: 基本公式: 等差数列的前项和公式: 1.等差数列的前项和公式: n(n ?1)d n(a1 + an ) Sn = na1 + Sn = 2 2 等比数列的前n项和公式: 2.等比数列的前n项和公式: 当 q ≠ 1 时, n a1 (1? q ) ① Sn = 1? q a1 ? an q 或 Sn = ②

1? q

S q=1 当 q=1 时, n

= na1

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方法1-------分组转化法( 方法1-------分组转化法(第1张) 分组转化法
把数列的每一项分成2项,或把数列的项“集”在一起重新组合,或 把整个数列分成2部分,使其转化为等差或等比数列. 例1 (1).见教材127页例3 (2)数列{an} 的通项公式为an=2n+3n,求数列前n项的和Sn 这里千万不能把每一项的结果算出来, 提示: 否则就找不到规律了 Sn= a1+a2+ a3+……….+ an =(21+3×1)+ (22+3×2)+ (23+3×3)+……..+ (2n+3×n) = (21+22+ 23+……..+2n) +( 3×1 +3×2 +3×3 +……. +3×n) 练习:教材129页3(2) 反思与小结: 要善于从通项公式中看本质:一个等差{3n} +一个等比{2n} ,另 外要特别观察通项公式,如果通项公式没给出,则有时我们需求出通 项公式,这样才能找规律解题。(请见下一张相应的例题)

n

方法1-------分组转化法 ( 方法1-------分组转化法 第2张)
(2)数列{an} 的通项公式为an=2n+3n,求数列前n项的和Sn Sn =(21+3×1)+ (22+3×2)+ (23+3×3)+……..+ (2n+3×n) = (21+22+ 23+……..+2n) +( 3×1 +3×2 +3×3 +……. +3×n) 反思与小结: 要善于从通项公式中看本质:一个等差{3n} +一个等比{2n} ,另 外要特别观察通项公式,如果通项公式没给出,则有时我们需求出通 项公式,这样才能找规律解题。 例2:求数列{an} 的前n项的和: 1,1+21,1 +21 +22,…….., 1 +21 +22 +22……+2n,…….. 分析:数列{an}的通项公式为an= 练习与提高:5,55,555,…….求前n项的和Sn

n

方法2 错位法: 方法2:错位法:
如果一个数列的各项是由一个等比数列和一个等差数列的 各项的乘积得到的,则我们可用该方法。
教材126页等比数列的前n项的和公式Sn就是用这种方法得到的!

例3 :求数列 {n2n} 前n项和

方法3 裂项法: 方法3:裂项法:
把数列的通项拆成2 项的差, 即每一项拆成2 把数列的通项拆成 2 项的差 , 即每一项拆成 2 项 的差。 在求和时,一些正负项相抵消, 于是前n 的差 。 在求和时 , 一些正负项相抵消 , 于是前 n 项的和就 变为首尾若干少数项的和了。或者在求和时, 变为首尾若干少数项的和了。或者在求和时,转化为熟悉 问题
例4:求数列{an} 的前n项的和Sn: 1 1 , , 1 , 1× 2× 1× 2 2×3 3× 4 ×

..............

1 1 , 2 1 ,3 1 , 求数列 2 4 8

......

1 , n×(n +1)

1 n n ,的前n项和Sn 2
7 , n×(n +1) 1 , n×(n + 2)

练习: 7 , 7 , 7 , 1× 2 2×3 3× 4 1 1 1 , , , 1×3 2×4 3×5

.............. ..............

方法4 方法4:倒序相加法
如果一个数列满足: 如果一个数列满足:与首尾两项等距的两项之和等于首 尾两项之和,则可以把s 顺着写,在由把s 到着写, 尾两项之和,则可以把sn顺着写,在由把sn到着写,在把 两个s 相加。 两个sn相加。
例如教材115页等差数列前n项的和公式推倒就是用这种方法! 又如《作业本》 已知lg(xy)=a,求S=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…….+lgyn lg(xy)=a, lgx

五、作业: 作业:

1. 求数列前n项和

?1, 4 , ? 7 , 10 ,??, (?1) (3n ? 2) ,?? 2. 求数列 2n ? 3 前n项和 { n?3 } 2 求和: 3. 求和:
n

求和: 4. 求和:1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 3) + 求数列1 5. 求数列1,(1+a),(1+a+a2),……, , 前 项和. (1+a+a2+……+an?1),……前n项和. +

1 1 1 , ,? , ? ,? ? 1 + 2 1+ 2 + 3 1+ 2 +? + (n +1) ?

(100 ? 99 ) + (98 ? 97 ) +??+ (2 ?1 )
2 2 2 2 2 2


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