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山东师范大学附属中学2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理


2013 级高三第二次模拟考试试题 数学(理工类)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、科类填写在答题 卡规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选途其他答案标号,答案不能答在试卷上. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(每题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x log 2 x ? x ? 1 , 则A ? B =
2 2

?

?

?

?

? ?

A.

3? ? 2,

B.

3? ? 2,

C.

? 2? ? ?3,

D.

? 2? ??3,

2.若 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,则“ f ? x ? 的图象关于 x ? A.充分不必要条件 C.充要条件
x

?
3

对称”是“ ? ? ?

?
6

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知 f ? x ? ? e ? x, g ? x ? ? ln x ? x ?1 , 命题 p : ?x ? R, f ? x ? ? 0 , 命题 q : ?x0 ? ? 0, ??? , 使得 g ? x0 ? ? 0 ,则下列说法正确的是 A.p 是真命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 B. p 是假命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 C. q 是真命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0 D. q 是假命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0 4.若 ? ? ? 0, A.

? ?

??

?? ? 3 2 ? ,且 cos ? ? cos ? ? 2? ? ? ,则 tan ? ? 2? ?2 ? 10
B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

1 5

?x ? 2 ? 5.设 x , y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1, 则下列不等式恒成立的是 ? y ? x ?1 ?
A. x ? 3 B. y ? 4 C. x ? 2 y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0
-1-

6.将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得 6?

函数 g ? x ? 图象的一个对称中心可以是 A. ? ?

? ? ? ,0? ? 12 ?

B. ?

? 5? ? ,0? ? 12 ?

C. ? ?

? ? ? ,0? ? 3 ?

D. ?

? 2? ? ,0? ? 3 ?

7.设函数 f ? x ? ? ex ? e? x ? 2x 下列结论正确的是 A. f ? 2x ?min ? f ? 0? B. f ? 2x ?max ? f ? 0?

C. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递减,无极值 D. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递增,无极值 8. y ? A.2

1 的图象与 y ? 2sin ? x ? ?2 ? x ? 4? 的图象所有交点的横坐标之和为 1? x
B.4 C.6 D.8

?? x ? a ?2 ? 9.若函数 f ? x ? ? ? 1 ?x ? ? a x ?
A.

? x ? 0? ? x ? 0?

的最小值为 f ? 0 ? ,则实数 a 的取值范围

??1, 2?

B.

??1,0?

C. ?1, 2?

D.

?0, 2?
? 1? x? 1? ? ? f ?? x, 当 x ? ? 0, ? 时 , ? 2?

10. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f

?

? 3? f? x x ? ,则 1 f ? x ? 在区间 ?1, ? 内是 ? ? l o 2g? ? ? 2?
A.减函数且 f ? x ? ? 0 C.增函数且 f ? x ? ? 0 B. 减函数且 f ? x ? ? 0 D. 增函数且 f ? x ? ? 0

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分) 11.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ?

? ?

a? ?1 ? 的定义域是 ? , ?? ? ,则实数 a 的值为________. x ? 2 ? ?2 ?

12.直线 y ? m ? m ? 0? 与函数 y ? log2 x 的图象交于 A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ?? x1 ? x2 ? ,下列 结论正确的是_________(填序号) ① 0 ? x1 ? 1 ? x2 ;② x1 x2 ? 1 ;③ 2 1 ? 2
x x2

? 4 ;④ 2 x1 ? 2 x2 ? 4

-2-

? x 2 , x ? ? 0,1? e ? 13.设 f ? x ? ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) ,则 ? f ? x ?dx 的值为_______. 0 ? , x ? ?1, e? ?x
14.若对于任意的 x ??0,1? ,不等式 1 ? ax ? 的最大值为________. 15. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ?1? ? 1 ,且 2 f ? ? x? ? 1, 当 x ??0, 2 ?? 时,不等式

1 ? 1 ? bx 恒成立,则 a 的最小值为______b x ?1

f ? 2 cos x ? ? 2 cos 2

x 1 ? 的解集为_______________ 2 2

三、解答题(本题满分 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知 x ?

?
6

是函数 f ? x ? ? ? a sin x ? cos x ? cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (3)作出函数 f ? x ? 在 x ??0, ? ? 上的图象简图(列表,画图).

17. (本题满分 12 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象做怎样的平移变 得到函数 f ? x ? 的图象; ( 3 )若方程 f ? x ? ? m在 ? ? 的取值范围.

分)

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

换 可 以

? ? ? , 0 上有两个不相等的实数 ? 2 ? ?

根,求 m

-3-

18. (本题满分 12 分) 设函数 f ? x ? =cos2 x ? a sin x ? 2 ,若对于任意的实数 x,都有 f ? x ? ? 5 ,求实数 a 的范围. 19. (本题满分 12 分)
2 x 设函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 e ? a ? 0 ?

?

?

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? ?1 时,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ? 数 m 的范围. 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x
2

1 3 1 2 x ? x ? m 的图像有三个不同的交点,求实 3 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若对于任意的 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 的恒成立,求整数 a 的最小值. ?2 ?

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 2x ? a ln x
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处切的切线方程; ( 2 ) 若 函 数 f ? x ? 存 在 两 个 极 值 点 x1、x2 ? x1 ? x2 ? , ① 求 实 数 a 的 范 围 ; ② 证 明 :

?

?

f ? x1 ? 3 ? ? ? ln 2 x2 2
山师大附中 2013 级高三第二次模拟考试 一 、选择题 : (每题 5 分 ,满分 50 分) 1. 【答案】B 解析: x ? 2x ? 3 ? 0??1 ? x ? 3? A ? [?1,3]
2

log 2 ? x 2 ? x ? ? 1, x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?1, 或x ? 2 B ? ? ??, ?1? ? ? 2, ???

A ? B ? ? 2,3?
2. 【答案】B

-4-

解析: f ? x ? 的图象关于 x ?

?
3

对称, f ' ?

?? ? ??0 ?3?

2? ? ? ? 2? ? ? cos ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? k? , k ? z,? ? ? ? k? , 3 2 6 ? 3 ?
k ? 0, ? ? ?

?
6

; k ? 1, ? ?

5? ; 6

3. 【答案】C 4. 【答案】B 解析: cos ? ? cos(
2

3 3 2 , cos ? ? 2sin ? cos ? ? 2 10 10 1 ? 2 tan ? 3 1 ? ? 3 tan 2 ? ? 20 tan ? ? 7 ? 0 所以 tan ? ? , tan ? ? ?7 ? 舍 ? 1 ? tan 2 ? 10 3 ? 2? ) ?
f(x) = x + 1 h(x) = 3?x 1 q(x) = 0.5?x + 4
9 8

?

5. 【答案】C

7

6

5

4

3

2

1

6

4

2

2

4

6

8

10

6. 【答案】C 解析: g ? x ? ? sin ? 令 k ? 0, x ? ? 7. 【答案】D 解析: f ' ? 2 x ? ? 2e 8. 【答案】D
2x

? ?? x ? ?1 x ? ? , ? ? k? ? x ? 2 k ? ? , k ? Z 3 6? 2 6 ?2

?
3
? 2e ?2 x ? 4 ? 4 e x ? e ? x ? 4 ? 0 , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上递增,无极值
1 1 x
2

r(x ) =

s(x) = 2?sin(π?x)

D

1.5

C
1

0.5

B A
3 2 1

M
0.5

1

2

3

4

5

I H

1

G
1.5

2

9. 【答案】D

F

解析 : 当a ? 0时,f ? x ?min ? f ? a ? ? f ? 0? ,所以 a ? 0 ;

-5-

1 ? a ? 2 ? a ? f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 2 ? a ? f ? 0 ? ? a 2 x 解得 ?1 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x ? 0, f ? x ? ? x ?
10. 【答案】A 解析:

f ? ?x ? ? ? f ? x ? , 又f ? x ?1? ? f ? ?x ?? f ? x ? 1? ? ? f ? x ?
1 是它的一条对称轴 2

所以 f ? x ? 是周期为 2 的周期函数,且 ? 0, 0 ? 是一个对称中心, x ? 作出图像可知, f ( x ) 在区间 (1, ) 内是减函数,且 f ? x ? ? 0 二.填空题(每题 5 分,满分 25 分 ) 11.【答案】 2 解析: 1 ?

3 2

a 2
x

? 0,? 2 x ? a, 当a ? 0, 定义域为(-?,+?),与题设矛盾

1 ? a ? 0, ? x ? log 2 a ? log 2 a ? ? a ? 2 2
12.【答案 】①②④ 解析: 显然①正确. | log2 x1 |?| log2 x2 |? ? log2 x1 ? log2 x2 ? log2 ? x1x2 ? ? 0 ? x1x2 ? 1 所以②正确; 2x1 ? 2x2 ? 2 2x1 ? 2x2 ? 2 2x1 ? x2 ? 2 2 13.【答案】 ?
e

2 x1x2

? 2 22 ? 4 ④正确

2 3
1 0

解析:

? f ? x ?dx ? ?
0

x dx ? ?
2

e

1

1 1 2 e ?1 ? dx ? ? x 3 ? ? ? ln x ?1 ? ? 1 ? ? x 3 3 ? 3 ?0

1

14. 【答案】 a ?

1 1 ,b ? 2 2? 2

1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? a ? ?1 ? , b ? ?1 ? , 设f ? x ? ? ?1 ? ? ? ? x? x? x? x ?1 ? x ?1 ? x ?1 ?
令 x ? 1 ? t ?[1, 2] , f ? x ? ? y ?

1 1? ? 1 ?? , ? t ? t ? 1? ? 2 ? 2 2 ?

1 1 a ? f ? x ?max ? , b ? f ? x ?min ? 2 2? 2
15.【答案】 ?0,

? ? ? ? 5? ? ? ? ? , 2? ? ? 3? ? 3 ?
1 1 1 1 x, g ' ? x ? ? f ' ? x ? ? ? 0 , g ?1? ? f ?1? ? ? 2 2 2 2
-6-

解:设 g ? x ? ? f ? x ? ?

不等式 f ? 2 cos x ? ? 2 cos

2

x 1 1 ? 可化为 f ? 2 cos x ? ? cos x ? , 即g ? 2 cos x ? ? g ?1? 2 2 2 1 ? ? ? ? 5? ? ,? x ? ?0, ? ? ? , 2? ? 2 ? 3? ? 3 ?

2 cos x ? 1, 即 cos x ? 所以 g ? x ? 单调递减,
三解答题(75 分) 16.(本题满分 12 分) 解析: (1) A ? 2, -------1 分

2? ?? ? ? T ? 4? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? 2 ---------------------3 分 ? ? 3 12 ? 2? ?? ? ? 2? ? ? f ? ? ? 0 ? sin ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? k? , k ? Z 因为 | ? |? 2 3 ?3? ? 3 ?

??

? -------------------------------------------------------5 分 3

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ---------------6 分 3? ?
(2) y ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? ?? ?? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? 6? 4 ? 3? ? ?

将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2 x 的图像向左平移 (3) ?

?
2

? x ? 0, ?

2? ? ? ? 2 x ? ? , ?2 ? f ? x ? ? 3 -------------11 分 3 3 3

? 个单位就得到函数 f ( x) 的图象----9 分 3

? 若 方程 f ( x) ? m 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根, ?2 ? m ? ? 3 --------12 分 2 17(本题满分 12 分 1 1 解: (I)方法 1: f ( x) ? a sin 2 x ? cos 2 x , ??????2 分 2 2
∵x? 即

?

是函数 f ( x) 图象一条对称轴,∴ f (0) ? f ( ) , 6 3 ??????4 分

?

1 a ? 1 ? ? sin 2( ) ? cos 2( ) ,∴ a ? 3 ; 2 2 3 2 3

方法 2: f ( x) ?

1 1 a sin 2 x ? cos 2 x ---------------------------2 分 2 2

∵ f '( x) ? a cos 2 x ? sin 2 x, f ' ?

3 ?? ? a ? 0 ? a ? 3 ,??????4 分 ?? ? ?6? 2 2
------------6 分

f ? x? ?

3 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 2 6? ?

-7-

2 k? ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? 2 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

2? ? ? 2 x ? 2k? ? 3 3

,k ?Z

函数 f ? x ? 的增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z -----------------------8 分 3 6

?

(2)列表 ---------------------------------------------10 分

x
2x ?

0

? 6

f ( x)

? 6 1 2

? 6 ? 2
1

5? 12

?
0

2? 3 3? 2
-1

11? 12
2?
0

?
13? 6 1 2

f ?x ? 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图如下图所示.

??????12 分

18.(本题满分 12 分) 解析: f ? x ? ? 5 ? sin2 x ? a sin x ? 2 ? 0 -----------------------2 分 设 t ? sin x, h ?t ? ? t 2 ? at ? 2, 则 ?t ?[?1,1], h ? t ? ? 0

a a2 ? a? (1) ?1 ? ? ? 1, 即 ? 2 ? a ? 2 , h ? t ?min ? h ? ? ? ? 2 ? ?0 2 4 ? 2?

?2 2 ? a ? 2 2 ??2 ? a ? 2 -------------------------------------5 分
a ? ?1,即a ? 2 , h ?t ? ? h ? ?1? ? 3 ? a ? 0,?a ? 3, 于是2 ? a ? 3 -----8 分 2 a (3) ? ? 1, 即a ? ?2 , h ?t ? ? h ?1? ? 3 ? a ? 0,?a ? ?3, 于是-3 ? a ? ?2 -----11 分 2 综上所述 : ?3 ? a ? 3 ----------------------12 分
(2) ? 解法二: f ? x ? ? 5 ? sin2 x ? a sin x ? 2 ? 0
-8-

设 t ? sin x ? x ? R,?t ?[?1,1]

2 2 t ? 0 时不等式成立; 0 ? t ? 1, a ? ?t ? ;?1 ? t ?, a ? ?t ? t t
设 g ?t ? ? ?t ?

2 2 2 ? t2 , g ' ?t ? ? ?1 ? 2 ? 2 t t t

g ?t ?在 ? ?,? 2 ?, ? 2,0 ?, 0, 2 ?,

?

? ?

? ?

? ?

2,?? ?

?

0 ? t ? 1, a ? g ?t ?max ? g ?1? ? ?3;?1 ? t ?, a ? g ?t ?min ? g ?? 1? ? 3
综上所述 : ?3 ? a ? 3 19(本题满分 12 分) 解析: (1) f ' ? x ? ? [ax2 ? ? 2a ?1? x]ex ? x ? ax ? 2a ? 1? e x ? a ? 0?

f ' ? x ? ? 0, x1 ? 0, x2 ? ?2 ?
① a ? ? , f '? x? ? ? ②?

1 -----------------------------2 分 a

1 2

1 2 x x e ? 0 , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上递减;---------4 分 2

1 1? 1 ? ? ? ? a ? 0, x1 ? x2 , f ? x ? 在 ? ??,0? 上递减;在 ? 0, ?2 ? ? 上递增,在 ? ?2 ? , ?? ? 上 2 a? a ? ? ? 1 1 ? 1? ? ? , x2 ? x1 , f ? x ? 在 ? ??, ?2 ? ? 上递减;在 ? ?2 ? , 0 ? 上递增,在 ? 0, ??? 上递 2 a ? a? ? ? 1 3 1 2 x ? x ?m 3 2
2

递减-------------------------6 分 ③a ? ?

减---------------------------------------------------7 分 (2) a ? ?1 ,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ?

的图像有三个不同的交点,等价于 ? m ? x ? x ? 1 e ?
x

?

?

1 3 1 2 x ? x 有三个不同的根 3 2

设 h ? x? ? x ? x ?1 e ?
2 x

?

?

1 3 1 2 x ? x -----------------------8 分 3 2

h ' ? x ? ? x ? x ? 1? ? e x ? 1? ,函数 h ? x ? 在? ??, ?1? ?, ? ?1,0? ?, ? 0, ??? ?

3 1 h ? x ?极大 =h ? ?1? ? ? , h ? x ?极小 =h ? 0 ? ? 1 -----------------10 分 e 6
当? ?

3 1 1 1 ? m ? ?1 时方程 ?m ? ? x 2 ? x ? 1? e x ? x3 ? x2 有三个不同的根 e 6 3 2

----------------------------------------------------------12 分

-9-

20(本题满分 13 分) (Ⅰ)解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) , x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x) 的 f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) .------------4 分 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? [( ? 1) x 2 ? ax ? 1] ? ln x ? ax 2 ? (1 ? a) x ? 1, 所以 g ?( x) ?

a 2

1 2

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2
a 2

所以关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ ( ? 1) x 2 ? ax ? 1 不能恒成立.????????6 分 当 a ? 0 时,

?ax2 ? (1 ? a) x ? 1 g ?( x) ? ?? x
1 . a

1 a( x ? )( x ? 1) , a x

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

??????????????????????????8 分 令 h( a ) ?

1 ? ln a , 2a 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

- 10 -

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. 解法二. x ? ?0,???, f ?x ? ? ? 所以 f ?1? ? ??????????????????????12 分

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1恒成立 ?2 ?

3a 4 ? 2? a ? 2 3

又 a ? Z ,? a ? 2 (必要性),----------------------------------------4 分 下面证明充分性,当 a ? 2 时, 设 g ?x ? ? f ?x ? ? ?

a ?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 ? ln x ? x 2 ? ?1 ? a ?x ? 1 2 ?2 ?

1? ? ? a? x ? ?? x ? 1? 1 a? ? g ' ? x ? ? ? ax ? 1 ? a ? x x

? 1? ?1 ? x ? ? 0, ?, g ' ?x ? ? 0, g ?x ?递增; x ? ? ,?? ?, g ' ?x ? ? 0, g ?x ?递减 ------8 分 ? a? ?a ? 1 1 1? a 1 ?1? g ?x ? ? g ?x ?max ? g ? ? ? ln ? ? ?1 ? ? ln a ? 0 ---------13 分 a 2a a 2a ?a?
所以不等式成立 21(本题满分 14 分)

2 , x 则 f (1) ? ?1 , f ?(1) ? 2 ,所以切线方程为 y ? 2 x ? 3 . ··········· 4 分 a 2 x2 ? 2 x ? a (2) f ?( x) ? 2x ? 2 ? ? ( x ? 0 ),令 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 , x x 2 ① 函数 f ? x ? 有两个极值点等价于方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的正根
解析:(1)当 a=2 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2ln x , f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 设 u ?x ? ? 2 x ? 2 x ? a , ?
2

? u?0? ? a ? 0 1 所以 0 ? a ? 2 ?? ? 4 ? 8a ? 0

1 ,----------------8 分 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a ②由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 1 , x1 ? , x2 ? , 2 2
所以函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,则 0 ? a ?

0 ? x1 ?

1 ? x2 ? 1 2 2 f ? x1 ? x12 ? 2 x1 ? a ln x1 ? x1 ? 1? ? 1 ? 2 x1 ?1 ? x1 ? ln x1 1 ? ? ? 1 ? x1 ? ? 2 x1 ln x1 x2 1 ? x1 1 ? x1 x1 ? 1

-------------------------------------------------10 分

- 11 -

h ?t ? ? 1 ? t ?

t ?t ? 2? 1 1 ? 2t ln t , h ' ? t ? ? ?1 ? ? 2 ?1 ? ln t ? ? ? 2 ln t ? 0 2 2 t ?1 ? t ? 1? ? t ? 1?

-----12 分

3 ?1? ? 1? h ? t ? 在区间 ? 0, ? 上递减, h ? t ? ? h ? ? ? ? ? 2ln 2 , 2 ?2? ? 2?
所以

f ? x1 ? 3 ? ? ? ln 2 -----------------------------------------------14 分 x2 2

- 12 -



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