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函数的零点问题(讲解)


函数零点问题
【教学目标】
知识与技能:
1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系, 掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点 所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.

【教学重点】 【教学难点】 【教学方法】

理解函数的零点与方程根的关系,形成用 函数观点处理问题的意识. 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 发现、合作、讲解、演练相结合.

1

一、引例 (1) .函数 f ? x ? ? e A. ? ?2, ?1? 解法一:代数解法 解:(1).因为 f ? 0 ? ? e 所以函数 f ? x ? ? e
x 0 x

? x ? 2 的零点所在的一个区间是(

) . D. ?1, 2?

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , f ?1? ? e1 ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 0 ,

? x ? 2 的零点所在的一个区间是 ? 0,1? . 故选

C.

二、 基础知识回顾
1.函数零点概念 对函数 y ? f ? x ? , 把使 f ? x ? ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ? x ? 的零点. 2.零点存在性定理:如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a,b? 上的图象是 连续不断一条曲线,并且有 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么,函数 y ? f ? x? 在 区间 ? a,b ? 内有零点.即存在 c ? ? a,b ? ,使得 f ? c ? ? 0 ,这个 c 也就是 方程 f ? x ? ? 0 的根.

问题 1:函数 f ? x ? ? x ,有 f ? ?2? ? ? 2 ? 0, f ? 2? ? 2 ? 0 ,那
1

1

1

么在 ? ?2, 2? 上函数 f ? x ? ? x 有零点吗?
1

问题 2:函数 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 8 在区间 ?1,3? , ?0,1? , ?1,5? 有零点吗?
2

引例除了用零点基本定理,还有其他方法可 以确定函数零点所在的区间吗?

解法二:几何解法
x x (1). f ? x ? ? e ? x ? 2 可化为 e

? ?x ? 2 .
正确.

画出函数 y ? e 和
x

y ? ? x ? 2 的图象,可观察得出 C
4 3 2 1

y

y = ex y= x+2
0
2 4

6

4

2 1

x

3

函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记) 函数 y ? F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 有零点 方程
F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 有实数根

函数 y1 ? f ? x ? , y2 ? g ? x ? 图像有交点. 三、能力提升 1.利用函数图像求函数零点问题 例 1: 6 (1)函数 f ? x ? ? lg x ? cos x 的零点有
6 8 8 10 10



) D.1 个

A.44 个
4 2 2

y

B.3 个

C.2 个
y=lgx y=lgx

o o
2 2 4 4

5 5

10 10

y=cosx y=cosx
15 15

x

20 20

25 25

变式 1:若函数为 f ? x ? ? lg x ? cos x ,则有 变式 2:若函数为 f ? x ? ? lg x ? cos x ,则有

个零点. 个零点.

解:由 f ? x ? ? lg x ? cos x ? 0 ,可化为 lg x ? cosx ,画出 y ? lg x 和 y ? cos x 的图像,可得出 B 正确.
f ? x ? ? lg x ? cos x 有 f ? x ? ? lg x ? cos x

有 4 个零点,

6 个零点.

4

(2)函数 y ? x ? 1 与 y ? 2sin ? x 的图像在 ? ?2, 4? 有
1
5 4 3

个交点,

交点的横坐标之和为

y
2 1
y= 1 x 1 y = sin?2?π?x?

y = g(x)
4 2

o
1 2 3 4

2

4

x 6

8

10

解:函数 y ? x ? 1 与 y ? 2sin ? x 的图像在 ? ?2, 4? 有 8 个交点,因为图
1

像都关于 ?1, 0 ? 点对称,故交点的横坐标之和为 4.

(3):若关于 x 的方程 a 求 a 的取值范围.

2

x ? x ? a ?a ? 0? 有两个不同的实数根,

5

解 1:设 y ? a

2

x , y ? x ? a ,分别画两函数的图像,两图像有两个
2

不同的交点即方程 a

x ? x ? a 有两个不同的实数根. y ? a 2 x



y ? x ? a 的图像,当 a ? 1 时,在第一象限平行,第二象限有一

个交点,当 a ? 1时只有一个交点在第二象限,当 a ? 1 时有两个 交点,故 a ? 1 . 解 2:设 y ? x , y ?
1 1 x ? ,分别画两函数的图像,,两图像有两 2 a a
2

个不同的交点即方程 a
1 1 y ? 2 x ? 的斜率小于 a a
5

x ? x ? a 有两个不同的实数根.只有当

1

1 时有两个交点,即 a52 ? 1 , a ? 1 . y
4 3

6

y

4
2

3
1

2
6 4 2 1

O
2

2

4

1

x

6

8

8

6

4

2 1

O
2

2

x

4

2.利用零点性质求参数的取值范围 探究: f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? a 在 x ? R 上有三个零点,求a的取值范 围.

6

解:由 f ?( x) ? 3x2 ?12 x ? 9 ? 3( x2 ? 4 x ? 3) ? 3( x ? 3)( x ?1) 得 4.5 令
f ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 或 x ? 1,
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

y

f ? ? x ? ? 0 ,得 1 ? x ? 3

? f ( x) 在 (??,1) , (3, ??) 上单调递

增,在 (1,3) 上单调递减 6

5

4

3

2

1 0.5 1 1.5 2 2.5
6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5

o

1

2

3

4

5

x

6

7

? f ( x)极大值 =f (1) ? 4 ? a ? 0 ,

a ? ?4
f ( x)极小值 =f (3) ? a ? 0

??4 ? a ? 0 .
变式1:方程 x3 ? 6 x2 ? 9 x ? a ? 0 在 ? 2, 4? 上有实数解,求a的取值范围. 解: 由方程 x3 ? 6 x2 ? 9 x ? a ? 0 在 ? 2, 4? 上
5 4 3 2 1

y

2 1.5 1 0.5

A
0.5

有实数解,即 x3 ? 6x2 ? 9x ? ?a 由 f ? x? ? x
3

o

1

2

3

4

5

x

6

7

8

1

? 6 x 2 ? 9 x 的图像可得:? 0 ? a ? 4

变式2: x3 ? ax2 ? 9x ? 0 在 ? 2, 4? 上有实数解,求a的取值范围. 解1:由 a ?
13 x3 ? 9 x 9 ? x ? , x ? [2, 4] , a ? [6, ] . 2 2 x x

变式3:若不等式 x3 ? ax2 ? 9x ? 0 在 ? 2, 4? 上恒成立,求a的取值范 围. 解:转化为 a ? ( x ? x ), x ? ?1,3? 恒成立问题,即 a ? ( x ? x )min , x ? ?1,3? 得
a ? ? ??, 6 ? .

9

9

7

四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问 题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根 据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数 形结合、等价转换等方法,注重导数求出函数的单调区间和 画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.

8



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