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二面角的一题多解


二 面 角 的 一 题 多 解
重庆市开县临江中学校 柳琼
例题:△ABC 是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB= 2 ,点 P 是平面 ABC 外 一点,PA⊥平面 ABC,PA=AC,求二面角 B―PC―A 的平面角。
分析 1:根据平面角定义找出二面角的平面角。此题解法困难在于求△AMN 中三边长。
M P

解:PA=AC=2,BC=AB= 2 ,PC=2 2 ,PB= 6 ∴ BC ? PB ? PC
2 2 2

N C A

∴ ?PBC ? 90

?

B

过 A 作 AM⊥PC 交 PC 于 M,在平面 PBC 中过点 M 作 MN⊥PC 交 PB 于 N,连接 AN。 ∴∠AMN 是二面角 B—PC—A 的平面角 Rt△PAC 中, AM ? ∴ MN ?

1 PC ? 2 ……① ?PMN ∽ ?PBC 2



MN PM ? BC PB

2? 2 6

?

6 2 6 6 ……②∴Rt△PMN 中, PN ? 2 ? ? 9 3 3
2 6
∴△PNA 中, AN ?

Rt△PAB 中, cos ?APB ?

24 2 60 48 2 3 ? 4 ? 2? 2? ? 2 ? ? ? …③ 9 3 9 9 3

∴△AMN 中, cos ?AMN ?

6 12 12 ? 3 ∴ ?AMN ? arccos 3 9 9 ? 9 ? 3 3 6 3 2? 2 ? 4? 3 3 2?

分析二:利用三垂线定理找出二面角的平面角
P

K C O A

B

解:过 B 作 BO⊥AC 交 AC 于 O 点,过 O 作 OK⊥PC 于 K,连接 BK



PA ? 平面ABC OB ? 平面ABC
∵PC⊥KO ∴PC⊥KB

OB ? PA
? OB ? AC ?OB⊥平面 PAC,OK 是 BK 在平面 PAC 中射影

PA ? AC ? A

?∠BKO 是所求的角

1

Rt△ABC 中, BO ? ∴ BK ?

1 AC ? 1 ,Rt△PBC 中,利用等面积法求出 BK 2

2? 6 2 2

?

BO 1 2 6 6 ∴Rt△KOB 中, sin ?BKO ? ? ? ? BK 3 2 6 6 2
6 3

∴ ?BKO ? arcsin

(说明:类似解法还有一种,过 A 作 AN⊥PB 交 PB 于 N,过 A 作 AM⊥PC 交 PC 于 M,连 接 MN,同理可证∠AMN 是所求的角,找角的位置与解 1 相同,但解题过程要简约得多。 ) 分析三:根据射影定理,令二面角的平角角为 ? ,则 cos? ?

S 射影 S斜



P

C

O A

B

解:过 B 作 BO⊥AC,连接 OP,如解(2)中证明:BO⊥平面 PAC∴△POC 是△PBC 在平面 PAC 中的射影, S ?pco ?

1 1 1 ? CO ? PA ? ? 1 ? 2 ? 1 ,Rt△PBC 中, S ?PBC ? ? 2 ? 6 ? 3 2 2 2

令二面角 B—PC—A 平面角 ? ,∴ cos ?

S ?pco S ?pbc

?

1 3

?

3 3 ∴ ? ? arcsoc 3 3

(说明:此解法是所有解法中最简单的) 分析四:利用结论 cos ? ?

l 2 ? d 2 ? m2 ? n2 2mn

M N

P

C

A

B

解:过 A 作 AM⊥PC 过 B 作 BN⊥PC

∴AM 与 BN 所成的角与二面 B—PC—A 的平面角相等.

2

Rt△PAC 中,AM=PM= 2 =m,Rt△PBC 中,利用等面积法, BN ? PC ? BC ? PB, ∴ BN ?

6 2 2 ,∴ MN ? d ? , AB ? l ? 2 ? n ∴ CN ? 2 2 2

l 2 ? m2 ? n2 ? d 2 ? ∴ cos? ? 2m n

? 2? ? ? ?
2

? 6? ? 2? ? ? ? 2 ?? ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 3 6 2 3 2? 2 ? 2
2

2

2

? ? arccos

3 3
Z Z C P

A

分析五:利用空间向量知识求解

B X Y

解: 以点 B 为坐标原点,AB 所在直线为 X 轴, CB 所在直线为 y 轴, 过 B 作 BB1 ⊥平面 ABC,

BB1 所在直线为 Z 轴,建立空间直角坐标系。

? 令 n ? 平面 PBC, n ? ( x, y, z), BC ? ?0,?
A ? 2,0,0 , C 0,? 2,0 , P ? 2,0,2
∴n ?

?

? ?

? ?

2,0 , BP ? ? 2,0,2

?

?

?
? ? ? 2 2 ? ,? ,0 ? 2 2 ? ?

n ? BC ? 0 ? 2 y ? 0 ? 0 ? y ? 0 , n ? BP ? ? 2x ? 2Z ? 0 ? 令Z ? 1, x ? 2

?

BO⊥平面 PAC 2,0,1 如解 2:

?

∴平面 PAC 的法向量为 BO ? ? ?

∴ cos?n, BO ??

?1 3 ?1

??

3 3
3 。 3

∴二面角 B—PC—A 的平面角观察是锐角,∴平面角是 arccos

(说明: 此解法思路就是利用二面角棱的垂面, 即二面角的两个平面的两条垂线所成的 角与二面角的平面角相等或互补。 )

3

重庆市开县临江中学校 电话号码:15923443205 Email:liuqiong1214@sohu.com

柳琼

405406

4



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