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高三数学复习教案——函数的性质.doc


函 数 的 性 质
复习目标:掌握函数的性质,并灵活运用其解决问题 重点、难点:联想函数的性质来解决问题 知识梳理: 函数与反函数的概念,基本初等函数; 函数的性质:定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性; 注意运用导数研究函数的性质。 训练反馈
一、 1、 2、 3、 二、

1、设函数f ( x)(x ? N )表示x除以3的余数,则对任意的 x、y ? N,都有( A、f ( x ? 3) ? f ( x) B、f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) C、f (3 x) ? 3 f ( x) D、f ( xy) ? f ( x) f ( y )



? ( x ? 1) 2 , x ? 1 2、设函数f ( x) ? ? , 则使得f ( x) ? 1的自变量x的取值范围为( ) ?4 ? x ? 1, x ? 1 A、 (??, ? 2] ? [0,10] B、 (??, ? 2] ? [0,1] C、 (??, ? 2] ? [1,10] 3、若函数f ( x) ? 取值范围是( A、a ? ?1
2

D、 [?2, 0] ? [1,10]

1 1 在区间 [?2, ? ]上单调递增,那么实数 a的 2 x ? ax ? a ) 1 2 C、 ?1 ? a ? 1 2 D、a ? 1 2 1 ? f ( x) , 1 ? f ( x)

B、 ?4? a ?

4、已知定义在 R上的偶函数f ( x), 对任意的实数 x均有f ( x ? 1) ? 且当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 2 x, 求f ( x)在R上的解析式 .
三、典型例题

已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (Ⅲ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

2

四、备选例题

0, x?a ? 2 ? ?? x ? a ? 已知函数f ( x) ? ?? ? , a? x?b ?? a ? b ? 1, x?b ? ?
a?b 1 , 都有 f ( x) ? ; 2 4 a?b ? 若存在,请求出它的取值范围,若不存在,请说明 (2) 是否存在实数 C,使 f (c ) ? 2
(1) 证明:对任意 x ? 理由。

五、综合练习

1、设f ( x)是奇函数,对任意 x、y ? R,有f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ),且当 x ? 0时,f ( x) ? 0, 则f ( x)在区间 [a, b]上( A、有最大值f (a) a?b C、有最大值f ( ) 2
A、f ( x0 ) ? f ?1 ( x0 ) C、f ( x0 ) ? f ?1 ( x0 )

) B、有最小值f (a) a?b D、有最小值f ( ) 2
) B、f ( x0 ) ? f ?1 ( x0 ) D、f ( x0 ) ? f ?1 ( x0 )

2、若f ( x) ? x 3 , 对于x0 ? (0,1),则下列不等式成立的是 (

3、设f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 若f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? 1
2 2 ( xi ? R ? , i ? N ? ),则f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? .... ? f ( xn )的值为(

)

1 A、 2

B、 1

C、 2

D、 2 loga 2

4、已知 x ? 0, y ? 0, 且x ? 2 y ? 1, 则2 x ? 3 y 2的取值范围是

5、若函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? a的单调递增区间为 [0,1], 则a ?

6、定义在R上的函数f ( x)满足 : (1)对任意x ? R, 都有f ( x 3 ) ? ? f ( x)? (2)对于任意的x1、x 2 ? R且x1 ? x 2,都有f ( x1 ) ? f ( x 2 ),则 f (0) ? f (1) ? f (?1) ?

3

7、已知对任意实数 x、y,函数f ( x)均满足f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1 且当x ? 0时,f ( x) ? 1 (1)求证:f ( x)在R上是增函数; (2)解不等式: 2 ? f ( x 2 ? 2 x ? 4) ? f (5 x)

8、已知f ( x)是定义在( 0, ? ?)上的增函数,且 f (2) ? 1, 对任意的x、y ( 1 )设各项均为正数的数 列?a n ? 的前n项和为S n , 且2 ? f ( S n ) ? 2 f (a n ? 1) 求数列?a n ? 的通项公式; (2)在( 1 )的条件下,若不等式 (aSn ? S n ?1 ? 1)(aSn ?1 ? S n ? a) ? 0对 n ? N ? 恒成立,求实数 a的取值范围。 ? (0, ? ?)时,f ( xy) ? f ( x) ? f ( y )恒成立

参考答案: 训练反馈 1、A x+3 与 x 的余数相同

2、A 当x ? 1时,f ( x) ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ? ?2或x ? 0; x ? 1时,f ( x) ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 3 ? 1 ? x ? 10 故为x ? ?2或1 ? x ? 10
1 3、C 设g ( x) ? x 2 ? ax ? a, 则f ( x)在[?2, ? ]上单调递增,等价于 2 a 1 ? ?? ? 1 2 2 ? ?1 ? a ? . ? 1 2 ? g (?2) g (? ) ? 0 2 ?
4、设f
?1

(1) ? a, g ?1 (1) ? b, 则f (a) ? 1, g (b) ? 1,因为y ? f ( x)与y ? g ( x)的图象

关于x ? ?1对称,所以点 (a,1)与(b,1)关于x ? ?1对称,故a ? b ? ?2, 所以f ?1 (1) ? g ?1 (1) ? ?2.

1? 1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? 1) 1? 5、由f ( x ? 1) ? 得f ( x ? 2) ? ? 1? 1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? 1) 1? 1? 1? ? f ( x)为周期为2的周期函数,又? f ( x)为R上的偶函数 ? f (0) ? 0, 又0 ? x ? 1时,f ( x) ? 2 x ?当 ? 1 ? x ? 0时,f ( x) ? f (? x) ? ?2 x, 从而

f ( x) f ( x) ? f ( x) f ( x) f ( x)

若2k ? 1 ? x ? 2k,k ? Z , 时 ? 1 ? x ? 2k ? 0, f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? ?2( x ? 2k ) 若2k ? x ? 2k ? 1,k ? Z , 时0 ? x ? 2k ? 1, f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? 2( x ? 2k ) ?? 2( x ? 2k ),2k ? 1 ? x ? 2k,k ? Z 综上:f ( x) ? ? ? 2( x ? 2k ),2k ? x ? 2k ? 1,k ? Z
典型例题 解:(Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 2 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? ? 2
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x
2 2 2

(Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x ? x ?1 ? 0
2

当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解
2

王新敞
奎屯

新疆

2 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

1 ? 1? 因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 2 ? 2?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅲ)(文 20) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 综上,? ? 0. 1? ? 备选例题

( 1)当x ? 若

a?b 时 2

a?b 1 a?b 1 ? x ? b, 则f ( x) ? ( x ? a) 2 为增函数? f ( x) ? f ( )? 2 2 2 4 ( a ? b) 1 a?b 1 若x ? b, 则f ( x) ? 1 ? ? f ( x) ? 时,f ( x) ? 4 2 4 a?b a?b ( 2) ? 0时, ? f ( x) ? 0 ? 对于任何C ? R,f (c) ? 恒成立; 2 2 a?b a?b 当 ? 1时, ? 0 ? f ( x) ? 1? 对于任何C ? R,f (c) ? 恒不成立 2 2 即此时C不存在 当0 ? a?b a?b ? 1时,若C ? b, f ( x) ? 1 ? 成立 2 2
2

a?b a?b ?c?a? 若0 ? c ? b,由f (c) ? ? 解得(b ? a) ?a?c?b ? ? 2 2 ?a ?b? a?b 综上:当a ? b ? 2时,不存在C ? R,使得f (c) ? 2 a?b 当a ? b ? 0时,对一切C ? R,恒有f (c) ? 2 a?b a?b 当0 ? a ? b ? 2时,存在C ? [(b ? a) ? a,??),使得f (c) ? 2 2
综合练习

1、A 2、B

3、C

3 4、 [ , 2] 5、 0 4

6、 0

7、( 1 )设x1 ? x 2 , 则f ( x 2 ) ? f [(x 2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? x 2 ? x1 ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ) ? 1,? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在R上递增 (2)在f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1中,令x ? y ? 0得f (0) ? 1 再令y ? ? x得f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1? f ( x) ? f (? x) ? 2即2 ? f ( x) ? f (? x) 由2 ? f ( x 2 ? 2 x ? 4) ? f (5 x)解得x ? ?4或x ? 1

8、( 1 )由已知得f (4) ? 2 f (2) ? 2 ? 2 ? 2 f ( S n ) ? 2 f (a n ? 1) ? f (4) ? f ( S n ) ? f [(a n ? 1) 2 ] ? f (4S n ) ? f [(a n ? 1) 2 ] ? f ( x)单调递增? 4S n ? (a n ? 1) 2
2 2 ? 4S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 (n ? 2) ? 4a n ? a n ? an ?1 ? 2a n ? 2a n ?1

? (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ? a n ? 0 ? a n ? a n ?1 ? 2 又易得a1 ? 1? a n ? 2n ? 1 n?2 n )(a ? )?0 n n?2 (2) ? a n ? 2n ? 1 ? S n ? n 2 , S n ?1 ? (n ? 1) 2 ? (aSn ? S n ?1 ? 1)(aSn ?1 ? S n ? a) ? 0 ? (a ? ?

n?2 n n?2 n ? ?a ? 或a ? (n ? N ? ) n n?2 n n?2 n 2 1 n?2 2 而 ? 1? ? ? 1? ? 3 n?2 n?2 3 n n 1 故所求为 a ? 3或a ? 3


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