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人教版高中数学选修1-2 复数代数形式的四则运算 课件2


掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配 律.

理解共轭复数的概念.

本节重点:复数的乘除运算及共轭复数的概念.
本节难点:共轭复数的求解及特殊复数的运算.

对于复数的代数形式乘除法法则,不必死记硬背,乘
法可按多项式类似的办法进行,除法只需记住两个复数相 除,就是先把它们的商写成分数的形式,然后把分子、分 母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.

1.复数的乘法
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的 积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= (ac-bd)+(ad+bc)i (a,b,c,d∈R).

2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1·z2= z2·z1

结合律

(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) z1(z2+z3)= z1z2+z1·z3

乘法对加法的分配律

3.共扼复数的概念
一般地,当两个复数的 互为相反 数.通常记复数z的共轭复数 复数也叫做 共轭虚数 .

实部相等

, 虚 部

数时,这两个复数叫做互为共轭复 ,虚部不等于0的两个共轭

ac+bd bc-ad 4.(a+bi)÷ (c+di)= 2 2+ 2 2 i,复数的除法的 c +d c +d 实质是分母实数化,分母为 a+bi 型,同乘 a-bi,a-bi 型,同乘 a+bi. 5.①(1± 2=± i) 2i. 1+i 1-i ② =i, =-i. 1-i 1+i ③(zm)n=zmn. ④z· =|z|2=| z |2. z ⑤ z1·2 = z1 ·2 . z z

[例 1]

?1+i? i-2 3 ?22 19 计算:(1) +(5+i )-? ? 2 ? ; 1+2 3i ? ?

(2+2i)4 (2) . (1- 3i)5

[解析]

?1+i? i-2 3 ?22 (1) +(5+i19)-? ? 2 ? 1+2 3i ? ?

??1+i? ? (1+2 3i)i ?2?11 4 4 2 = +[5+(i ) · · ?? i i]-?? ? ? 1+2 3i ? 2 ? ? ?

=i+5-i-i11=5+i; 1 3 (2)令 ω=- + i,则 ω3=1,于是 2 2 (2+2i)4 24(1+i)4 (2i)2 = = ? 1 (1- 3i)5 3 ?5 -2ω5 -25?- + i? ? 2 2 ? ? ? 2ω = ω6 =2ω=-1+ 3i.

[点评] (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ω3=1,巧用这些
性质,可以快速解答许多问题.因此,记住这些小结论将 是有益的.

1+2i 设复数 z 满足 z =i,则 z 等于 ( A.-2+i C.2-i B.-2-i D.2+i )

[答案] C
1+2i (1+2i)(-i) [解析] z= i = =2-i. i(-i)

[例 2]
? ? ?

(2010· 徐州高二检测)设 P, 是复平面上的点集, Q

z P= z|z· +3i(z- z )+5=0},Q={w|w=2iz,z∈P}. (1)P,Q 分别表示什么曲线? (2)设 z1∈P,z2∈Q,求|z1-z2|的最大值与最小值.

[ 分 析 ]

(1) 设z=x+yi,(x,y∈R),即P(x,y)

→ 代入z· +3i(z- z )+5=0 → 化简整理得P的轨迹方程 z → 代入法求Q的轨迹方程 (2) 根据复数的几何意义 → |z1-z2|的几何意义 → 结论

[解析] (1)设z=x+yi(x,y∈R).则集合
P={(x,y)|x2+y2-6y+5=0} ={(x,y)|x2+(y-3)2=4}, 故P表示以(0,3)为圆心,2为半径的圆. 设w=a+bi(a,b∈R).

z=x0+y0i∈P(x0,y0∈R)且w=2iz.

?a=-2y ? 0 ? 则 ?b=2x0 ?

1 ? ?x0=2b ,将? ?y0=-1a 2 ?

代入 x2+(y0-3)2=4 0

得(a+6)2+b2=16. 故 Q 表示以(-6,0)为圆心,4 为半径的圆. (2)|z1-z2|表示分别在圆 P,Q 上的两个动点间的距离, 又圆心距|PQ|=3 5>2+4,故|z1-z2|最大值为 6+3 5最小 值为 3 5-6.

[点评]

共轭复数的性质.

(1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称. (2)实数的共轭复数是它本身, z= z ?z∈R, 即 利用这个 性质可证明一个复数为实数. (3)若 z≠0 且 z+ z =0,则 z 为纯虚数,利用这个性质, 可证明一个复数为纯虚数.

1 证明:|z|=1?z= . z

[证明]

设 z=x+yi(z,y∈R),

则|z|=1?x2+y2=1, 1 z= ?z· =1?(x+yi)(x-yi)=1 z z 1 ?x +y =1,∴|z|=1?z= . z
2 2

[例3] 计算:i+i2+i3+…+i2011. [分析] 由题目可获取以下主要信息: 已知虚数单位i的幂,求和.

解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in 的
周期性化简.

[解析]

i(1-i2011) i(1-(i2)1005· i) 方法一:原式= = , 1-i 1-i

i· (1+i) i· 2i = = 2 =-1 1-i 方法二:∵i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0, ∴in+in 1+in 2+in 3=0(n∈N), ∴原式=(i+i2 +i3 +i4)+(i5 +i6 +i7 +i8)…+(i2005 +i2006 +i2007+i2008)+(i2009+i2010+i2011+i2012)-i2012 =-i2012=-1
+ + +

[点评]

1.虚数单位 i 的周期性.

①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N). n 也可以推广到整数集. ②in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N). 2.记住以下结果,可提高运算速度. ①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. 1-i 1+i ② =-i, =i. 1+i 1-i 1 ③ i =-i.

计算:1+2i+3i2+…+2009·i2008.

[解析]

设 S=1+2i+3i2+…+2009i2008,

则 i· S=i+2i2+…+2008· +2009i2009 i2008 ∴(1-i)S=1+i+i2+…+i2008-2009i2009 (1-i2009) =1· -2009i=1-2009i. 1-i 1-2009i ∴S= =1005-1004i. 1-i

[例4]

已知1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根

(b,c为实数). (1)求b,c的值;

(2)试说明1-i也是该方程的一个根.

[解析]

(1)因为 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的一个根,

所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,
?b+c=0, ? 所以? ?2+b=0, ? ?b=-2, ? 解得? ?c=2. ?

所以 b,c 的值分别为-2,2. (2)由(1)知原方程为 x2-2x+2=0,把 1-i 代入方程左 边,得(1-i)2-2(1-i)+2=0,右边=0,左边=右边,显然 方程成立,因此 1-i 也是原方程的一个根.

[点评]
求解.

因为已知方程x2+bx+c=0的一根是复数根,

故我们需将该已知根代入方程,根据复数相等的充要条件 有关复数的方程问题一般有两种情况: ①方程的根为复数,系数为实数,已知方程的一个复

数根,求实系数.
②方程的根为实数,系数为复数,求实根.

1.在解方程时,对未知量的系数必须准确判断,才能
寻找出正确的解题思路. 2.解决关于方程有实根的问题或实系数方程有复数根 的问题,即上面提到的①②,一般都是指实根或复数根代 入方程,用复数相等的充要条件求解.

3.对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,当 Δ<0 时, -b± -Δi 方程的根为 x= ;当 Δ≥0 时,方程的根为 x= 2a -b± Δ 2a ,无论 Δ≥0 还是 Δ<0,根与系数的关系都成立,即 b c x1+x2=-a,x1x2=a. 4.在解复系数一元二次方程时,套用实系数一元二次方 程根的判别式 Δ=b2-4ac,这种做法是毫无意义的.

[例5] 解方程|x|=2+x-2i.
[误解] 方程两边平方, 得: 2=4+x2-4+4x-8i-4xi, x

2i 即 4(1-i)x=8i,所以 x= =-1+i. 1-i

[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式
|z|2=z2.

[正解]

可设 x=a+bi(a,b∈R),

则 a2+b2=2+a+bi-2i=(2+a)+(b-2)i 由复数相等可得
? a2+b2=2+a ? ? ?b-2=0 ? ?a=0 ? 解得? ?b=2 ?

所以方程的解为 x=2i.

一、选择题 5-i 1.(2010· 浙江文,3)设 i 为虚数单位,则 =( 1+i A.-2-3i C.2-3i B.-2+3i D.2+3i )

[答案] C
[解析] 本题考查了复数的除法运算.

5-i (5-i)(1-i) 4-6i = = 2 =2-3i. 1+i (1+i)(1-i)

1 2.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( 2+i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

[答案] D
2-i 2 i 1 [解析] z= = = - , z 对应的点位于第四象 故 5 5 5 2+i 限.

2(2+i) 3.复数 等于 1-2i ( A.2i B.-2i C.2 D.-2 )

[答案] A
2(2+i) [解析] 1-2i 2(2+i)(1+2i) 2(2+5i-2) = = =2i. 5 5

二、填空题
4 . 若 x - 2 + yi 和 3x - i 互 为 共 轭 复 数 , 则 实 数 x = ______,y=______. [答案] -1 1
?x-2=3x ? 由题意可得? ?y=1 ?

[解析]

?x=-1 ? ∴? ?y=1 ?

2-bi 5.如果复数 z= (b∈R)的实部与虚部互为相反数, 1+2i 则 b=______

[答案]

2 -3

2-bi (2-bi)(1-2i) [解析] z= = 1+2i (1+2i)(1-2i) (2-2b)-(b+4)i = 5 2 ∴2-2b=b+4∴b=- 3

三、解答题 2+i 6.计算:(2+i)· (1+i) - . 1+i (2+i)(1-i) [解析] 原式=(2+i))(2i)- 2
2

3-i 3 1 7 9 =4i-2- 2 =(-2-2)+(4+2)i=-2+2i.



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