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高三数学寒假作业 专题17 推理、证明(学) Word版 含答案(寒假总动员)


(寒假总动员)2015 年高三数学寒假作业 专题 17 推理、证明(学) 学一学------基础知识结论 1.合情推理 (1)归纳推理:由 某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般 的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推 理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ① 大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 学一学------方法规律技巧 三点提醒 一是合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性是需要 证明的. 二是在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至 假象就去类比,就 会犯机械类比的错误. 三是应用三段论解决问题时,应首先明确什么 是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的, 结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的. 3.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最 后推导出所要证明的 结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论). ③思维过程:由因导果. (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→ 得到一个明显成立的条件(其中 Q 表示要证明的结论) . ③思维过程:执果索因. 4.间接证明 反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理 ,最后得出矛盾,因此说 明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法. 学一学------方法规律技巧 两点提醒 一是分析法是“执果索因”,特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是 寻找使结论成立的充分条件; 二是应用反证法证题时必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则, 仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.所谓矛盾主要指:①与已知条件矛盾;②与 假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与公认的简单事实矛盾;⑤自相矛盾. 例 1. (2013· 湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个 n? n +1? 1 1 三 角形数为 = n2+ n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中 第 n 个 2 2 2 数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 1 1 N(n,3)= n2+ n, 2 2 N(


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