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2018版高中数学北师大版必修一课件:第二章 5 简单的幂函数(二)_图文

第二章 函数 §5 简单的幂函数(二) 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图像中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢? 答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称. 答案 梳理 一般地,图像关于y轴对称的函数叫作 偶 函数,图像关于原点对称的函 数叫作 奇 函数. 知识点二 函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性? 答案 因为很多函数图像我们不知道,即使画出来,细微之处 是否对称也难以精确判断. 答案 思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处? 答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴(原点)对称, 则图像关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作:要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式 验证即可,不知道函数图像也能操作. 答案 梳理 函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) , 那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数 f(x)上任一点(x,f(x))关于y轴的 对称点(-x,f(x))也在f(x)图像上. (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于原点的 对称点(-x,-f(x))也在f(x)图像上. (3)由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在 定义域内,所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定 义域是否关于原点对称. 知识点三 奇偶性与单调性 思考 观察偶函数y=x2与奇函数y= 性,你有何猜想? 答案 1 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调 x 偶函数y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇 函数y= 1 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同. x 答案 梳理 (1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a] 上是 增 函数,且有最小值-M . (2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是 增函数 . (3)知道了函数的奇偶性,我们可以先研究函数的一半,再利用对称性了 解其另一半,从而减少工作量. 题型探究 类型一 判断函数的奇偶性 例1 判断并证明下列函数的奇偶性: x3-x2 (1)f(x)= ; x-1 证明 因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其 3 2 x -x 相反数1不在定义域内,故f(x)= 既非奇函数又非偶函数. x-1 证明 (2)f(x)=(x+1)(x-1); 证明 函数的定义域为R,因为函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1, 又f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数. 证明 (3)f(x)= 1-x2+ x2-1. 证明 函数的定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)= 0,所以f(-x)=f(x), 故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为偶函数. 又 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为奇函数. 即该函数既是奇函数又是偶函数. 证明 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于 原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域. 跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性: 2+x (1)f(x)=(x-2) ; 2-x 解 2+x 由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非 2-x 偶函数. 证明 (2)f(x)=x|x|; 解 函数的定义域为R,因为f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函 数为奇函数. 证明 (3)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x), y=f[g(x)]的奇偶性. 解 ∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数. f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数. f [g(-x)]=f [-g(x)]=-f [g(x)],y=f[g(x)]是奇函数. 证明 类型二 奇偶性的应用 命题角度1 奇(偶)函数图像的对称性的应用 例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图像如图所示. (1)画出f(x)的图像; 解答 (2)解不等式xf(x)>0. 解 xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知,xf(x)>0的解集 是(-2,0)∪(0,2). 解答 引申探究 把例2中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题. 解 (1)f(x)的图像如图所示: (2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2). 解答 反思与感悟 鉴于奇 ( 偶 ) 函数图像关于原点 (y 轴 ) 对称,可以用这一特性去画图,求 值,求解析式,研究单调性. 跟踪训练 2 已知奇函数 f(x) 的定义域为 [ - 5,5] ,且 在区间[0,5]上的图像如图所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图像; 解 (1)如图,在[0,5]上的图像上选取5个关键点O, A,B,C,D. 分别描出它们关于原点的对称点 O′ , A′ , B′ , C′,D′, 再用光滑曲线连接即得. 解答 (2


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