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2015-2016学年高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第1课时)课件1 新人教A版必修5


3.2

一元二次不等式及其解法(1)

问题 1:观察不等式 x ? 4 x ? 0 和 ? x ? x ? 2 ? 0 ,
2 2

它们有什么共同特征?

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2

怎样给这样的不等式命名?

一元二次不等式
它的一般形式是什么?

ax2 ? bx ? c ? 0(? 0)(a ? 0)

请大家尝试求解不等式 x ? 4 x ? 0 .
2

(数形结合)设 f ( x) ? x 2 ? 4x ,画出其图象. 容易知道方程 x ? 4 x ? 0 的根 x1 ? 0 , x2 ? 4 ,就是函数 f ( x) ? x 2 ? 4x 的零点,
2

也就是函数 f ( x) ? x ? 4x 的图象与 x 轴交点的横坐标.
2
2

2 而不等式 x ? 4 x ? 0 的解集, 即 f ( x) ? 0 的解集, 也就是函数 f ( x) ? x ? 4x 图象在

x 轴下方的部分对应的横坐标的取值集合为
{x | 0 ? x ? 4} .

(化归转化)不等式 x ? 4 x ? 0 可以化为 x( x ? 4) ? 0 ,由“符号法则”得
2

? x ? 0, ? x ? 0, 或? ? ? x ? 4 ? 0, ? x ? 4 ? 0.
解得

{x | 0 ? x ? 4} .

问题 3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?

函数思想、数形结合思想和化归转化思想
哪种方法更简洁、直观? (数形结合

请同学们用这种方法求不等式 ? x ? x ? 2 ? 0 的解集. {x | ?1 ? x ? 2}
2

例 1.解下列不等式: (1) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

解: (1)因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x 2 ?

1 . 2

? 所以,原不等式的解集是 ? x x ? ?
2

1? ?. 2?

(2)解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 . 因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ? .
2

从而,原不等式的解集是 ? .

变式训练 1:解下列不等式: (1) ? x ? 2 x ? 8 ? 0 ;
2
2

(2) x ? 6 x ? 9 ? 0 ;
2

解: (1)不等式可化为 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,
2

因为 ? ? 0 ,方程 x ? 2 x ? 8 ? 0 的解为 x1 ? ?2, x2 ? 4 ,而函数 y ? x 2 ? 2 x ? 8 的 图象开口向上,所以原不等式的解集为

{x | ?2 ? x ? 4} .
(2)注意到 x ? 6x ? 9 ? ( x ? 3) ? 0 ,
2 2

所以,原不等式的解集为

{x | x ? 3} .

[反思小结,观点提炼]

本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?

函数与方程思想
这种思想对一般的不等式 f ( x) ? 0 可以求解吗? 具体步骤是什么?
画出函数 y ? f ( x) 的图象,求出函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 交点的横坐标,即方程 f ( x) ? 0 的根,然后根据函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的位置关系,即可得出相应不等式的解.


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