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【泄露天机】2016年高考(全国卷)押题精粹数学(文)试题


泄露天机——2016 年高考押题 精粹 数学文科
本卷共 48 题,三种题型:选择题、填空题和解答题.选择题 30 小题,填空题 4 小题, 解答题 14 小题. 1.若集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {?2, 0,1}, 则 A ? B 等于( 1 A. ?2? B. {0,1} C. {?1, 0} D. {?1, 0,1} 【答案】B 【解析】? A ? {x | ?1 ? x ? 2}, ? A ? B ? {0,1} . )

2.若复数 z 满足 z ? i ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数是( ) A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i 【答案】B 【解析】试题分析:? zi ? 1 ? i,? z ?

1? i ? 1 ? i ,所以 z 的共轭复数是 1 ? i i


3.已知集合 A ? {0,?1,2}, B ? {x | y ? ln x} ,则 A ? ?R B =( A. {2} 【答案】C B. {0,2} C. {?1, 0} D. {?1, 0, 2}

【解析】解:? B ? {x | y ? ln x} ? {x | x ? 0}, ? 痧 R B ? { x | x ? 0},? A ?

R

B ? {0, ?1}.

4.已知 z 是复数,则? z ? z ? 0 ?是? z 为纯虚数?的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 z ? 0 时,满足 z ? z ? 0 ,此时 z 为实数;而当 z 为纯虚数时, z ? z ? 0 ,所以 ? z ? z ? 0 ?是? z 为纯虚数?的必要不充分条件,故选 B. 5.下列有关命题的说法错误的是( ) A.若? p ? q ?为假命题,则 p 与 q 均为假命题 B. ? x ? 1 ?是? x ? 1 ?的充分不必要条件 C. ?n i s

? 1 x ? ?的必要不充分条件是? x ? ? 6 2
2 p:?x0 ? R,x0 ? 0 ,则命题 ?p:?x ? R,x 2 ? 0

D.若命题

【答案】C 【解析】对于选项 A,由真值表可知,若?

p

?

q ?为假命题,则 p , q 均为假命题,即

选项 A 是正确的;对于选项 B,由逻辑连接词或可知, ? x ? 1 ?能推出? x ? 1 ? ;反过来, 1 π ? x ? 1 ?不能推出? x ? 1 ? ,即选项 B 是正确的;对于选项 C,因为 sin x ? ,x ? , 2 6
1

π 1 π π 1 ? sin x ? ,命题中所说的条件是 x ? ,即 x ? 是 sin x ? 的充分不必要条件, 2 6 2 6 6 即选项 C 是不正确的;对于选项 D,由特称命题的否定为全称命题可得,选项 D 是正确的. x?
6.下图为某几何体的三视图,图中四边形为边长为 1 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几 何体体积为( A. )

1 6 4 5
1 5

B.

C.

D.

5 6

【答案】D 【解析】由三视图可知该 几何体的直观图为棱长为 1

1 1 5 3 的正方体中挖空了一个正四棱锥,则该几何体体积为: 1 ? ? 1 ? ? 3 2 6 7.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 64 ? 16? ,则实数 a 等于
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2

【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个圆柱的

1 的组合而成,圆柱的底面 4

半径和高均为 a .三棱柱的底面是一个底为 2 a ,高为 a 的三角形,三棱柱的高为 a ,故该几

何体的体积 V ?

1 1 ? ? 2a ? a ? a ? ? ? ? a 2 ? a ? (1 ? )a 3 ? 64 ? 16? ,解得 a ? 4 . 2 4 4

8. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题: ?今有十等人,每等一人,宫赐金 以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人 未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?? A.

4 39

B.

7 78

C.

7 76

D.

5 81

【答案】B 【解析】这是一个等差数列问题,不妨设从低到高的每个人所得的金为: a1 , a 2 ,..,a10 ,依题 意有: ?

?a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 3 ?4a1 ? 6d ? 3 7 ?? ?d ? . 78 ?3a1 ? 24d ? 4 ?a8 ? a9 ? a10 ? 4

9. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ,如 果 输 入 A.16 B.8 C.4 【答案】B 【解析】当 a ? ?1, b ? ?2 时, 当 a ? 2 , b ? ?2 时, 当a

a ? ?1, b ? ?2 ,则 输 出 的 a 的 值 为(
D.2
开始



a ? (?1) ? (?2) ? 2 ? 6 ;

输入 a , b

a ? 2 ? (?2) ? ?4 ? 6 ;

a?6
是 输出 a



a ? ab

? ?4 , b ? ?2 时, a ? (?4) ? (?2) ? 8 ? 6 ,


此时输出 a ? 8 ,故选 B. 10.执行如下图所示的程序框图, 则输出的结果为(

结束

A. 7 【答案】B

B. 9

C. 10

D. 11

1 1 3 1 【解析】 i ? 1, S ? lg ? ? lg 3 ? ?1, 否; i ? 3, S ? lg + lg ? lg ? ? lg 5? ? 1, 3 3 5 5

开始

否;
1 5 1 i ? 5, S ? lg +lg ? lg ? ? lg 7 ? ?1, 5 7 7 i?7 S ? 1 7 ?, ?? 7 ? ? 否; l 9


1 g 9



M ?0
+

M ?M ?x
1 x ? 1? 输入 x x

l

1 9 1 i ? 9, S ? lg + lg ? lg ? ? lg11 ? ?1, 是,输出 i ? 9, 故选 B. 9 11 11

11.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x, t 均为 2,则输出的 M 等于 否

x ? t?
是 输出 M 结束

A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 【答案】B 【解析】 当 x ? 2 时, M ? 2 , 1 ?
1?
5 1 1 1 ? ? 2; x ? , M ? , 2 x 2 2

3 1 3 1 ? ?1 ? 2 ; x ? ?1 , M ? , 1 ? ? 2≥2 ,输出 M ? . 2 x 2 x

12.语文、 数学、 英语共三本课本放成一摞, 语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是( )
1 1 1 2 B. C. D. 3 6 2 3 【答案】D 【解析】三本书放一摞的所有可能为(语,数,英) , (语,英,数) , (数,语,英) , (数, 英,语) , (英,语,数) , (英,数,语)共 6 种放法,其中有 4 种情况符合条件,故数学课 4 2 本和语文课本放在一起的概率为 P ? ? . 6 3

A.

13.在区间 A.

?0, π ? 上随机地取一个数 x ,则事件? sin x ? 1 ?发生的概率为(
2
B.



3 4

2 3

C.

1 2

D.

1 3

[来源:学科网]

【答案】D

π 5π 1 【解析】由正弦函数的图象与性质知,当 x ? [0, ] ? [ , π] 时, sin x ? ,所以所求事件的 6 6 2

π 5π ( ? 0) ? ( π ? ) 6 ? 1 ,故选 D. 概率为 6 π 3
14.若点 P ?cos ? , sin ? ? 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? 的值等于( )

4 5 【答案】A
A. ?

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

【解析】∵点 P(cos?,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,∴ sin? ? ? 2cos ? ,∴ tan? ? ? 2,

2 tan ? 4 4 2sin ? cos ? ?? ?? . ? 2 2 2 tan ? ? 1 4 ? 1 5 sin ? ? cos ? 15.某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试,先将 700 个零件进行编号 001,002,…,699,700.从中抽取 70 个样本,下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行,若从表 中第 5 行第 6 列开始向右读取数据,则得到的第 5 个样本编号是( ) 33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

sin 2? ?

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A.607 B.328 C.253 D.007 【答案】B 【解析】根据题意依次读取数据,得到的样本编号为: 253,313, 457,860,736, 253,007,328,? ,其中 860,736 大于 700,舍去;253 重复出现, 所以第二个 253 舍去,所以得到的第 5 个样本编号为 328,故选 B. 16.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x(? ? R) 的图象关于 x ? ? 上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍, 再向右平移 的一条对称轴方程为( A. x ? )

?
4

对称, 则把函数 f ( x ) 的图象

? , 得 到函数 g ( x) 的图象, 则函数 g ( x) 3
D. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
3

11? 6

【答案】D

) ,可得 ? ? ?1 ,所以 f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , 2 4 ? 横坐标扩大到原来的 2 倍,再向右平移 ,得到函数 g ( x) 的图象, 3 1 ? ? 1 5? g ( x) ? 2 sin[ ( x ? ) ? ] ? 2 sin( x ? ) ,所以函数 g ( x) 的对称轴的方程为 2 3 4 2 12 1 5? ? 11? 11? x? ? k? ? , x ? 2k? ? , k ? Z .当 k ? 0 时,对称轴的方程为 x ? . 2 12 2 6 6
【解析】 f (0) ? f ( ?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 17. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120? , 且 AB ? 2 , AC ? 3 , 若 AP ? ? AB ? AC , 且
??? ? ??? ? AP ? BC ,则实数 ? 的值为(



3 B.13 7 【答案】D
A.

C.6

D.

12 7

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】由向量 AB 与 AC 的夹 角为 120? ,且 AB ? 2 , AC ? 3 ,
可得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? 6cos120? ? ?3 ,又 AP ? BC ,
??? ? ??? ?

所以 AP ? BC ?

? ? AB ? AC ? ? ? AC ? AB ? ? (? ? 1) AB ? AC ? AC
12 ,故选 D. 7

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?2 ? ? AB =

12 ? 7? ? 0 ,所以 ? ?

18.设等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 8a4 ? 0 ,则 A.-

S4 =( S3

)

5 3

B.

15 7

C.

5 6

D.

15 14

【答案】C

【解析】等比数列 ?an ? 中,因为 a1 ? 8a4 ? 0 ,所以 q ? ?

1 . 2

a1 ?1 ? q 4 ?
所以

s4 1? q ? s3 a1 ?1 ? q 3 ? 1? q

? 1? 15 1? ? ? ? 2? 16 ? 5 . ? ? ? 3 9 6 ? 1? 1? ? ? ? 8 ? 2?

4

? x ? y ?1 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ? 19.已知实数 x , y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为( x ? 0 ? ? y?0 ?
A. 2 【答案】C 【解析】将 z ? 3x ? 2 y 变形为 y ? ? 当目标函数 y ? ? B. 3 C. 12 D. 15



3 z x? , 2 2

y x-y+1=0 A 3x-y-3=0 x

3 z x ? 过点 A 时,取最大值, 2 2
O

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 2, ?? 即 A(2,3) , ? ?3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 3,
代入可得 zmax ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 12. 20.已知 f ? x ? ? A. ? 2 【答案】B

2x 1 ? ax, 若 f (ln 3) ? 2, 则 f (ln ) 等于( x 3 2 ?1
B. ? 1 C.0

) D. 1

【解析】因为 f ? x ? ?

2x 2x 2? x ? ax , f x ? f ? x ? ? ? 1. , 所以 ? ? ? ? x 2x ? 1 2 ? 1 2? x ? 1

1 1 1 ? f (ln ) ? f (? ln 3),? f (ln ) ? f (ln 3) ? f (? ln 3) ? f (ln 3) ? 1, f (ln ) ? ?1. 3 3 3
?2 x ? y ? 5 ≤ 0 y ?1 ? 21.不等式组 ?3 x ? y ≥ 0 的解集记为 D, z ? ,有下面四个命题: x ?1 ?x ? 2 y ≤ 0 ?

p1: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p3: ?( x, y ) ? D , z ≤ 2

p2: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p4: ?( x, y ) ? D , z ? 0
C.p1,p4 D.p2,p3

其中的真命题是 ( ) A.p1,p2 B.p1,p3 【答案】D 【解析】可行域如图所示,

A(1,3),B(2,1),所以 确,故答案为 D. 22.若圆 C1 : x
2

所以

,故 p2,p3 正

? y2 ? ax ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 2ax ? y tan ? ? 0 都关于直线 2x ? y ?1 ? 0
?(
2 5
) C. ?

对称,则 sin ? cos ? A.

2 5

B. ?

6 37

D. ?

2 3

【答案】B 【 解 析 】 圆 C1 与 圆 C2 都 关 于 直 线 2x ? y ? 1? 0对 称 , 则 两 圆 的 圆 心 (?

a , 0 )、 2

( ? a, ?

1 tan ? ) 都在直线 2x ? y ?1 ? 0 上,由此可得 a 2

? ?1, tan ? ? ?2 ,所以

sin ? cos ? ?

sin ? cos? tan ? 2 ? ?? . 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

23.设 F1、F2 分 别为椭圆 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 ? ? 1( a ? b ? 0) C : ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 2 a12 b12 a 2 b2
3 ,则双曲 4

的公共焦点,它们在第一象限内交于点 M , ?F1MF2 ? 90? ,若椭圆的离心率 e = 线 C2 的离心率 e1 的取值范围为( )

A.

9 2

B.

3 2 2

C.

3 2

D.

5 4

【 答案】B

【 解 析 】 由 椭 圆 与 双 曲 线 的 定 义 , 知 MF 1 ? MF 2 ? 2a , MF 1 ? MF 2 ? 2a , 所 以

MF1 ? a ? a1 , MF2 ? a ? a1 . 因 为 ?F1MF2 ? 90? , 所 以 MF1 ? MF2 ? 4c 2 , 即
3 3 2 ?1? ? 1 ? . a ? a ? 2c ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ,因为 e ? ,所以 e1 ? 4 2 ? e ? ? e1 ?
2 2 1 2
2 2

2

2

24. 已知函数 f ? x ? ? ?

? x ? 3, x ? 0 ?ax ? b, x ? 0

满足条件:对于 ?x1 ? R , ? 唯一的 x2 ? R ,使得 )

f ?x1 ? ? f ?x2 ?.当 f ?2a? ? f ?3b? 成立时,则实数 a ? b ? (
A.

6 2

B. ?

6 2

C.

6 ?3 2

D. ?

6 ?3 2

【答案】D 【解析】由题设条件对于 ?x1 ? R ,存在唯一的 x2 ? R ,使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 知 f ?x ? 在

?? ?,0? 和 ?0,??? 上单调,得 b ? 3 ,且 a ? 0 .由 f ?2a? ? f ?3b? 有 2a2 ? 3 ?
得a ? ?

9 ? 3 ,解之

6 6 ,故 a ? b ? ? ? 3 ,选D. 2 2
2

25. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A、B 为抛物线上两点,若 AF ? 3FB , O 为坐标 原点,则 ?AOB 的面积为( A. )

3 3

B.

8 3 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

【答案】C 【解析】如图所示,设 BF ? m ,则 AD ? AF ? 3m , AG ?

3m ,又 2

4 又 CD ? BE ? ∴m ? , AD ? AG ? 2 OF ? 2 , 3

1 4 3 8 3 ? S?AOB ? ? OF ? CD ? . , 2 3 3

26.如图,已知 F1、F2 为别双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为第一象限 a 2 b2

内一点,且满足 F2 P ? a, ( F1P ? F1F2 ) ? F2 P ? 0 ,线段 PF2 与双曲线 C 交于点 Q ,若

???? ? ???? ? F2 P ? 5F2Q ,则双曲线 C 的渐近线方程为(
A. y ? ?
1 x 2



B. y

??

5 x 5

C. y ? ?

2 5 x 5

D. y

??

3 x 3

【答案】A

FP 【解析】 ∵ ( F1 P ? F1 F2 ) ? F2 P ? 0 , ∴ | FF 1 2 | |? 1 |

???? ????? ???? ?

2c ?

, 又∵ F2 P ? 5F2Q , ∴ | F2Q |?

???? ?

???? ?

1 a, 5

1 2 121 2 a ? 4c 2 ? a 1 11 25 25 ∴ | F1Q |? a ? 2a ? a ,在 ?F 中, , F Q cos ?QF2 F1 ? 1 2 1 5 5 2 ? a ? 2c 5
a 2 ? 4c 2 ? a2 a 2 ? 4c 2 ? 4c 2 a 2 ? 4 c 2 ? 4c 2 25 25 cos ? PF F ? 在 ?F 中, ,∴ F P ? , 2 1 1 2 1 2 ? a ? 2c 2 ? a ? 2 c 2 ? a ? 2c 5
? c2 ? 5 2 2 b 1 a , a ? 4b 2 ,∴渐近线方程为 y ? ? x ? ? x . 4 a 2 27.如图,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动 ,设 M 是 CD 的中点,则当 P 沿着路径

1

121

A ? B ? C ? M 运动时, 点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的面积 y 的函数 y ? f ( x) 的图象的
形状大致是( )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

?1 ? 2 x, 0 ? x ? 1 ? ?3 1 【解析】根据题意得 f ( x) ? ? ? x,1 ? x ? 2 ,分段函数图象分段画即可. ?4 4 5 ?5 1 ? 4 ? 2 x, 2 ? x ? 2 ?
28.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 k ? a2 k ?1 ? ? ?1? , a2 k ?1 ? a2 k ? 2 k k ? N * ,则 ?an ? 的前 60
k

?

?

项的和 S 60

?(

) B. 231 ? 124 C. 232 ? 94 D. 232 ? 124

A. 231 ? 154 【答案】C

【解析】 由题意, 得 a2 ? a1 ?1 ? 0, a4 ? a3 ? 1, a6 ? a5 ?1,?, a60 ? a59 ? 1, 所以 S奇 ? S偶 . 又
k ?1 a2k1? ?2 a (k ? 2 ) 2 k? ? 2

,代入 a2 k

? a2k ?1 ? (?1)k ,得 a2k ? a2 k ?2 ? 2k ?1 ?( ? 1) k (k ? 2)



所以

a2 ? 0 , a4 ? a2 ? 21 ? (?1)2 , a6 ? a4 ? 22 ? (?1)3 , a8 ? a6 ? 23 ? (?1)4 , … ,

a2k ? a2k ?2 ? 2k ?1 ? (?1)k ,将上式相加,得 2 ? 22 ? ? ? 2k ?1 ? (?1)2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) k =
1 ? (?1) k ?1 k 3 ? (?1) k ?1 2 ?2? ?2 ? , 2 2
k

2 1-2 1 所以 S偶 = (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) ? (15 ? 2 ? 15 ? 4) = 2 1-2
2 3 29 30

?

30

? -45 = 2

31

? 47 ,

32 所以 S60 ? 2 2 ? 47 = 2 ? 94 .

?

31

?

29.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 x1

2

? ln x1 ? y1 ? 0 , x2 ? y2 ? 2 ? 0 ,则
) D.5
[来源:学&科&网]

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值为(
A.1 【答案】B B.2

C.3

【解析】根据题意,原问题等价于曲线 y ? 最小值的平方.因为 y ' ? 2 x ? 且与曲线

x 2 ? ln x 上一点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离的

1 1 ,令 2 x ? ? 1,得 x ? 1 ,可得与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行 x x

y ? x 2 ? ln x 相切的切 点为 ?1,1? ,所以可得切线方程为 x ? y ? 0 ,所以直线

x ? y ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 之间的距离为
线 x ? y ? 2 ? 0 的距离的最小值为

2 2

? 2 ,即曲线 y ? x ? ln x 上的点到直
2

2 ,所以曲线

y ? x 2 ? ln x 上的点到直线
2

x ? y ? 2 ? 0 的距离的最小值的平方为 2 ;所以 ( x1 ? x2 )
B.

? ( y1 ? y2 )2 的最小值为 2 ,故选
)

30.若过点 P ? a, a ? 与曲线 f ? x ? ? x ln x 相切的直线有两条,则实数 a 的取值范围是( A. (??, e) 【答案】B B. (e, ??) C. (0, )

1 e

D. (1, ??)

【解析】设切点为 Q ? t , t ln t ? ,则切线斜率 k ? f ? ?t ? = 1 ? ln t ,所以切线方程为

y ? t ln t ? ?1 ? ln t ?? x ? t ? ,把 P ? a, a ? 代入得 a ? t ln t ? ?1 ? ln t ?? a ? t ? ,整理得 a ln t ? t , ln t 1 ln t 1 显然 a ? 0 ,所以 ? ,设 g ? t ? ? ,则问题转化为直线 y ? 与函数 g ? t ? 图象有两个 t a t a 1 ? ln t 不同交点,由 g ? ? t ? ? ,可得 g ? t ? 在 ? 0,e ? 递增, ? e, ?? ? 递减,在 x ? e 处取得极大 t2 1 1 1 值 ,结合 g ? t ? 图象,可得 0 ? ? ? a ? e ,故选 B. a e e
31.已知向量 m ? (t ? 1,1), n ? (t ? 2, 2), 若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 t ? 【答案】 ?3
[来源:学科网]

.

【解析】 m ? n ? (2t ? 3,3), m ? n ? (?1, ?1), ? (m ? n) ? (m ? n),??(2t ? 3) ? 3 ? 0, 解得

t ? ?3 .
32.某单位为了了解用电量

y 度与气温 x ? C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天
18 13 34 10 38

气温,并制作了对照表 气温( ? C ) 用电量(度)

?1
64

24

? ?a ? ? ?2 ,预测当气温为 ?4 ? C 时,用电量约为 ? ? bx ? 中b 由表中数据得回归直线方程 y
___________度. 【答案】 68 【解析】回归直线过 ?x , y ? ,根据题意 x ?

18 ? 13 ? 10 ? ?? 1? ? 10 , 4

y?

24 ? 34 ? 38 ? 64 ? ? 40 ? ?? 2??10 ? 60 ,所以 x ? ?4 时, ? 40 ,代入 a 4

y ? ?? 2 ? ? ?? 4 ? ? 60 ? 68 ,所以用电量约为 68 度.

33 . 正项等比数列 ?an ? 中, a1 , a4031 是函数 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点,则 3

log 6 a2016 ?
【答案】 1



【解析】 f ? ? x ? ? x2 ? 8x ? 6 ,∵ a1 , a4031 是函数 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点, 3

2 ∴ a1 ? a4031 ? 6 ,又∵正项等 比数列 ?an ? ,∴ a2016 ? a1 ? a4031 ? 6 ,

∴ log

6

a2016 ? log

6

6 ? 1.

34.如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 BC 上, ?CAD ? 若 ?ABD 的面积为 7 ,则 AB ? .

?
4

, AC ?

7 2 , cos?ADB ? ? . 2 10

【答案】 37 【 解 析 】 因 为 cos?ADB ? ?

? 2 7 2 , 所 以 sin ?ADB ? . 又 因 为 ?C AD ? , 所 以 4 10 10

?C ? ?ADB ?

?

, 所以 sin ?C ? sin( ?ADB ? ) ? sin ?ADB cos ? cos ?ADB sin 4 4 4 4

?

?

?

AD AC 7 2 2 2 2 4 ? , ? ? ? ? .在 ?ADC 中,由正弦定理得 sin ?C sin ?ADC 10 2 10 2 5

7 4 ? AC ? sin ?C AC ? sin ?C AC ? sin ?C 2 5 故 AD ? ? ? ? ?2 2. sin ?ADC sin(? ? ?ADB) sin ?ADB 7 2 10
又 S ?ABD ?

1 1 7 2 ? AD ? AB ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? BD ? ? 7, 解得 BD ? 5 . 2 2 10

在 ?ADB 中,由余弦定理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD ? cos?ADB ? 8 ? 25 ? 2 ? 2 2 ? 5 ? (?

2 ) ? 37. 10

35.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 a2 ? 1, a4 ? 1, a8 ? 1 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设数列{ bn }满足 bn ?

45 3 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的正整数 n 的值. 32 an

【答案】 (1) an ? 3n ? 1 ; (2) 10 . 【解析】 :(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 a2 ? 1, a4 ? 1, a8 ? 1 ,得 , (3 ? 3d )2 ? (3 ? d )(3 ? 7d ), 解得 d ? 3 或 d ? 0 (舍) 故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ?1. (2)由(1)知 bn ? ... ....6 分

9 1 1 3 ? 3( ? ). , bnbn ?1 ? 3n ? 1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3n ? 1 3n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 9n b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 3( ? + ? + ? ? ) ? 3( ? )? , 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 2 3n ? 2 6n ? 4
依题有

[来源:学科网]

9n 45 ? 解得 n ? 10. 6n ? 4 32

.......12 分

C 对应的边长分别为 a 、 b、 36.在 ?ABC 中,内角 A 、 c ,已知 c(a cos B ? B、
(1)求角 A ; (2)求 sin B ? sin C 的最大值. 【答案】 (1)

1 b) ? a 2 ? b 2 . 2

[来源:Z.xx.k.Com]

π ; (2) 3

?

3, 2 3 ? ?.
1 b) ? a 2 ? b 2 ,由余弦定理 2

【解析】 : (1)∵ c(a cos B ?

2 2 2 得 a 2 ? c 2 ? b2 ? bc ? 2a 2 ? 2b2 , a ? b ? c ? bc .

∵ a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,∴ cos A ? ∵ A ? ? 0, π ? ,∴ A ?

1 . 2

π . 3

(2) sin B ? sin C ? sin B ? sin ? A ? B? ? sin B ? sin A cos B ? cos Asin B

3 3 ? ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) . 2 2 6
∵ B ? ? 0,

? ?

2? 3

? ? ? 5? ? ? ,∴ B ? ? ? , 6 ?6 6 ?

? ? ?1 ? ? ? ? , sin ? B ? ? ? ? ,1? . 6? ?2 ? ? ?

∴ sin B ? sin C 的最大值为 3 . 37. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知点 (a, b) 在直线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上.
(1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 为锐角三角形且满足 【答案】 (1)

m 1 1 ,求实数 m 的最小值. ? ? tan C tan A tan B

π ; (2) 2 . 3

【解答】 :(1)由条件可知 a(sin A ? sin B) ? b sin B ? c sin C , 根据正弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,又由余弦定理知 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

? 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

.
[来源:Zxxk.Com]

(2) m ? tan C (

1 1 sin C cos A cos B ? )? ( ? ) tan A tan B cos C sin A sin B

?

sin C cos A sin B ? cos B sin A 2sin 2 C 2c 2 2(a 2 ? b 2 ? ab) ? ? ? ? cos C sin A sin B sin A sin B ab ab

a b ? 2( ? ? 1) ? 2 ? (2 ? 1) ? 2 ,当且仅当 a ? b 即 ?ABC 为正三角形时 , b a
实数 m 的最小值为 2. 38.已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 2, b1 ? 1 , 2an+1 ? an ,

1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N * ). 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列{ an bn }的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

n?2 . 2n?2 2 1 1 【解答】 : (1) a1 ? 2,2an ?1 ? an 得 an ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 , 由题意知: 2 2 1 当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2, 当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? bn , n
【答案】 (1) an ?

1

n?2

(2) Tn ? 8 ? , bn ? n ;

bn ?1 bn ? , 所以 bn ? n . n ?1 n n 1 2 n (2)由(1)知 an bn ? n ? 2 .?Tn ? ?1 ? 0 ? ? ? n ? 2 , 2 2 2 2 1 1 2 n Tn ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 , 两式相减得 2 2 2 2 1 2(1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n , Tn ? ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2 n?2 ? Tn ? 8 ? n ? 2 . 2
得 39.据统计,2015 年?双 11?天猫总成交金额突破 912 亿元.某购物网站为优化营销策略, 对 11 月 11 日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名网购者 (其中 有女性 800 名,男性 200 名)进行抽样分析.采用根据性别分层抽样的方法从这 1000 名网 购者中抽取 100 名进行分析,得到下表: (消费金额单位:元) 女性消费情况: 消费金额 人数

(0, 200)

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
10 15
47

[800,1000]
x

5
(0, 200)
2

男性消费情况: 消费金额 人数

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
3
10
y

[800,1000]
2

(1)计算 x, y 的值;在抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元)的网购者 中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率; (2)若消费金额不低于 600 元的网购者为 女性 男性 ?网购达人? ,低于 600 元的网购者为?非网购达 网购达人 人? ,根据以上统计数据填写右边 2 ? 2 列联表,并 非网购达人 回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下 总计 认为?是否为‘网购达人’与性别有关?? 附:

总计

P(k 2 ? k0 )

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
源:Z_xx_k.Com]

[来

0.010

0.005
7.879

k0
(k ?
2

5.024

6.635

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【答案】 (1) x ? 3, y ? 3,

3 ; (2)能. 5

【解答】 : (1)依题意,女性应抽取 80 名,男性应抽取 20 名,

? x ? 80 ? (5 ? 10 ? 15 ? 47) ? 3 , y ? 20 ? (2 ? 3 ? 10 ? 2) ? 3 .
设抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000?(单位: 元) 的网购者中有三位女性记为 A, B, C ; 两位男 性记为 a, b ,从 5 人中任选 2 人的基本事件有:

( A, B),( A, C ),( A, a),( A, b) , ( B, C ), ( B, a), ( B, b) , (C , a), (C , b) , (a, b) 共 10 个.
设?选出的两名网购者恰好是一男一女?为事件 M , 事件 M 包含的基本事件有:

( A, a),( A, b),( B, a),( B, b),(C, a),(C, b) 共 6 件? P( M ) ?
(2) 2 ? 2 列联表如下表所示 女性 网购达人 非网购达人 总计 男性 总计

6 3 ? . 10 5

50 30 80

5 15
20

55
45 100

则 k2 ?

100(50 ?15 ? 30 ? 5) 2 n(ad ? bc)2 ? 9.091 , ? 80 ? 20 ? 55 ? 45 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

因为 9.091 ? 6.635 ,所以能在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为?是否为‘网购达 人’ ?与性别有关.

40.某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,等级分为 1 至 10 分,随机调阅了 A、B 两 所学校各 60 名学生的成绩,得到样本数据如下:

(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较. (2)从 A 校样本数据成绩分别为 7 分、8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人,若从

抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛,求这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率.
2 2 【答案】 (1) xA ? xB ? 1.5, S A ? 1.5, SB ? 1.8; (2) P(C ) ? 0.02 .

【解析】 : (1)从 A 校样本数据的条形图可知:成绩分别为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分的学生分别有:6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. A 校样本的平均成绩为 x A ?

4 ? 6 ? 5 ?15 ? 6 ? 21 ? 7 ?12 ? 8 ? 3 ? 9 ? 3 ? 6 (分) , 60

A 校样本的方差为 S A ?
2

1 ? 6 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? ? 1.5 . 60

从 B 校样本数据统计表可知: B 校样本的平均成绩为 xB ?

4 ? 9 ? 5 ? 12 ? 6 ? 21 ? 7 ? 9 ? 8 ? 6 ? 9 ? 3 ? 6 (分) , 60

B 校样本的方差为 S B ?
2

1 ? 9 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? ? 1.8 . 60

2 2 因为 xA ? xB , 所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又因为 S A ,所以 A 校的学生的 ? SB

计算机成绩比较稳定,总体得分情况比 B 校好.

6 ? 12 ? 4 人, 12 ? 3 ? 3 6 ? 3 ? 1 人,设为 e ; 设为 a, b, c, d ; 成绩为 8 分的学生应抽取的人数为: 12 ? 3 ? 3 6 ? 3 ? 1 人,设为 f ; 成绩为 9 分的学生应抽取的人数为: 12 ? 3 ? 3
(2) 依题意,A 校成绩为 7 分的学生应抽取的人数为: 所以,所有基本事件有: ab, ac, ad , ae, af , bc, bd , be, bf , cd , ce, cf , de, df , ef 共 15 个, 其中,满足条件的基本事件有: ae, af , be, bf , ce, cf , de, df , ef 共 9 个, 所以从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛,这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率 为P ?

9 3 ? . 15 5

41. 在三棱柱 ABC? A1B1C1 中,侧面 ABB 1A 1 为矩

D 为 AA1 的中点, BD 与 形, AB ? 1, AA 1 ? 2,

AB1 交于点 O , CO ⊥侧面 ABB 1A 1.
(1)求证: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

【答案】 (1)证明见解析; (2)

6 18

AD AB 2 ? ? ,??DAE ? ?ABB1 , AB AA1 2 ??BB1 A ? ?ABD. ??ABD ? ?DBB1 ? 90? ,??BB1 A ? ?DBB1 ? 90? , 故 AB1 ? BD, ?CO ? 平面ABB1 A ,BD ? 平面ABB1 A1, ?CO ? AB1, 1
【解析】(1)?

? BD ? CO ? O,? AB1 ? 平面CBD,AB1 ? CB.
(2)? cos ?OAB ?

OA AB AB2 1 3 ? ,?OA ? ? ? ? OC. AB AB1 AB1 3 3

1 1 3 6 . VB1 ? ABC ? VC ? ABB1 ? ? ?1? 2 ? ? 3 2 3 18
42.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? ,

AB ? PD ? 2 , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一点. (1)证明:平面 EAC ⊥平面 PBD ; (2)若 E 是 PB 中点,求点 B 平面 EDC 的距离.
【答案】 (1)证明见解析; (2)

P

2 21 7
E

证明:(1)?PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PD . ? 四边形 ABCD 是菱形, ? AC ? BD ,又? PD ? BD ? D , AC ? 平面 PBD . 而 AC ? 平面 EAC ,? 平面 EAC ⊥平面 PBD . (2)? E 是 PB 中点,连结 EO ,则 EO // PD , EO ? 平面 ABCD ,且 EO ? 1 .

D O B

C

A

?OD ? 1, OC ? 3,? DE ? 2, EC ? 2,
1 14 7 ? S ?CDE ? ? 2 ? ? . 2 2 2
1 1 1 ?VB ? EDC ? VE ? BDC ? VP ? BDC ? ? ? S△BDC ? PD ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 , 2 2 3 6 2 3
设点 B 平面 EDC 的距离为 d ,

1 3 3 2 2 21 ?VB? EDC ? ? S?CDE ? d ? ,? d ? ? 3? ? . 3 3 S?CDE 7 7
43.如图,已知 O 为原点,圆 C 与 y 轴相切于点 T ? 0, 2 ? ,与 x 轴正半轴相交于两点 M , N (点

6 x2 y 2 ) ,且焦距 M 在点 N 的右侧),且 MN ? 3 .椭圆 D : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ( 2, 2 a b
等于 2 ON .

(1)求圆 C 和椭圆 D 的方程; (2) 若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A 、B 两点,求证: 直线 NA 与直线 NB 的 倾角互补. 【答案】 (1) ? x ?

? ?

5? 25 x 2 y 2 2 ? ? 1 (2)见试题解析. ; ? y ? 2 ? ? ? ? 4 3 2? 4

2

【解析】 (1)设圆的半径为 r ,由题意,圆心为 ? r, 2? ,

5 25 ?3? ∵ MN ? 3 ,∴ r ? ? ? ? 22 ? ,r ? . 2 4 ?2?
2

2

故圆的方程为 ? x ?

? ?

5? 25 2 ? ? ? y ? 2? ? . 2? 4

2

令 y ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 4 ,所以 N ?1,0? , M ? 4,0? .

?2c ? 2, ? 2 ? 6? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ? 由? ? ? 1, 得 c ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3 . 2 2 b ? a 2 2 2 ?a ? b ? c , ? ? ?

? ?

∴椭圆 D 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (2)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 4? ,由 ? 4 得 3 ? y ? k ? x ? 4? ?

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 , ①

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? . 因为 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

k AN ? kBN ?

k ? x1 ? 4? k ? x2 ? 4? ? x ? 4?? x2 ?1? ? ? x2 ? 4?? x1 ?1? y1 y ? 2 ? ? ?k? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ?1?? x2 ?1?

?

? x1 ?1?? x2 ?1?
k

k

?? ?2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8? ?

? 2 ? 64k 2 ? 12 ? 160k 2 ? ? ? 0 , 所以 kAN ? ?kBN . ? ?? ? ? 8 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ? ? ? 1 当 x1 ? 1 或 x2 ? 1 时, k ? ? ,此时方程①, ? ? 0 ,不合题意. 2 ∴直线 AN 与直线 BN 的倾斜角互补.

44.已知点 G (5, 4) ,圆 C1 : ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 25, 过点 G 的动直线 l 与圆 C1 相交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 C . (1)求点 C 的轨迹 C2 的方程; (2)若过点 A(1, 0) 的直线 l1 与 C2 相交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为 M ,又 l1 与

l2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点为 N ,求证: AM ? AN 为定值.
解: (1)圆 C1 的圆心为 C1 (1, 4) ,半径为 5 , 设 C ( x, y ) ,则 C1C ? ( x ?1, y ? 4) , CG ? (5 ? x, 4 ? y) , 由题设知 C1C ? CG ? 0 ,所以 ( x ? 1)(5 ? x) ? ( y ? 4)(4 ? y) ? 0 , 即 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .
2 2

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 ,

由?

?kx ? y ? k ? 0 2k ? 2 3k ,? ) ,又直线 C2 M 与 l1 垂直, 得 N( 2k ? 1 2k ? 1 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? M ( , ), 由? 得 1 2 2 1 ? k 1 ? k y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?

2 ???? ? ???? 2 2k ? 1 2 3 1? k AM ? AN ? AM ? AN ? ? 1 ? k ? ? 6 (定值). 1? k 2 2k ? 1

45.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x ? a ? R ? . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ?e, ?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 且 k ? Z 时,不等式 k ? x ?1? ? f ? x ? 在 x ??1, ??? 上恒成立,求 k 的最大值. 【答案】 (1) a ? ?2 ; (2)3,
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

【解析】 : (1) f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1, 即由题意知 f ? ? x ? ? 0 在 ?e, ?? ? 上恒成立. 即 ln x ? a ? 1 ? 0 在 ?e, ?? ? 上恒成立,即 a ? ? ? ln x ? 1? 在 ?e, ?? ? 上恒成立, 而? ? ? ? ln x ? 1? ? ? max ? ? ? ln e ? 1? ? ?2 ,所以 a ? ?2 . (2) f ? x ? ? x ? x ln x, k ? 令 g ? x? ?

f ? x? x ? x ln x ,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1 x ?1

x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? . 2 x ?1 ? x ? 1?

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , 则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0 ? h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. x x

[来源:Z。xx。k.Com]

∵ h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,∴存在 x0 ? ? 3, 4? 使 h ? x0 ? ? 0 . 即当 1 ? x ? x0 时, h ? x ? ? 0, 即 g? ? x ? ? 0 ;

x ? x0 时, h ? x ? ? 0, 即 g? ? x ? ? 0 .
∴ g ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 令 h ? x0 ? ? x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 ,即 ln x0 ? x0 ? 2 .

g ? x ?min ? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? , x0 ? 1 x0 ? 1

[来源:学科网 ZXXK]

∴ k ? g ? x ?min ? x0 且 k ? Z ,即 kmax ? 3 .

46. 已知函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? 2ax ( a ? R ). (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间 ? , e ? 上的最大值和最小值; e (2)若对 ?x ? (1, ??) , g ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【解答】 : (1)函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x 的定义域为 (0, ??)

1 2

?1 ? ? ?

1 2 1 当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? ln x , 2

f ?( x) ? ? x ?
1 e

1 ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? ? ; x x x

当 x ? [ ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, e] ,有 f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在区间 [

1 ,1]上是增函数,在 [1,e]上为减函数, e

e2 1 1 1 又 f ( ) ? ?1 ? 2 , f (e) ? 1 ? , f (1) ? ? , 2 2 e 2e
∴ f min ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f max ( x) ? f (1) ? ? . 2 2
1 2

(2) g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为 (0,??) .

g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? . x x x

1 1 ,令 g?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , 2a ? 1 2 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1时,在 (0,1) 上有 g ?( x) ? 0 ,在 (1, x2 ) 上有 g ?( x) ? 0 , 2
在 ( x2 ,??) 上有 g?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上是增函数, 并且在该区间上有 g ( x) ? ( g ( x2 ),??), 不合题意; 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间 (1,??) 上, 有 g ( x) ? ( g (1),??), 也不合题意; ② 若a ?

1 ,则有 2 a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1,??) 上恒有 g?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间 (1,??) 上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? 由此求得 a 的范围是 [?

1 1 ?0 ?a?? , 2 2

1 1 , ]. 2 2

综合①②可知,当 a ? [? , ] 时,对 ?x ? (1, ??) , g ( x) ? 0 恒成立. 47 从下列三题中选做一题 (一).选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,两个圆相内切于点 T ,公切线为 TN ,外圆的弦 TC , TD 分别交内圆于 A 、 B 两点,并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M . (1)证明: AB // CD ; (2)证明: AC ? MD ? BD ? CM . T 【解 答】 : (1)由弦切角定理可知, ?NTB ? ?TAB , 同理, ?NTB ? ?TCD ,所以 ?TCD ? ?TAB , 所以 AB / / CD . N (2)连接 TM、AM,因为 CD 是切内圆于点 M, 所以由弦切角定理知, ?CMA ? ?ATM , A B 又由(1)知 AB // CD , C D 所以, ?CMA ? ?MAB ,又 ?MTD ? ?MAB , M 所以 ?MTD ? ?ATM .

1 1 2 2

MD TD ? , sin ?DTM sin ?TMD MC TC ? 在 ?MTC 中,由正 弦定理知, , sin ?ATM sin ?TMC 因 ?TMC ? ? ? ?TMD , TD BD MD TD ? 所以 ,由 AB / / CD 知 , ? TC AC MC TC MD BD ? 所以 ,即, AC ? MD ? BD? CM . MC AC
在 ?MTD 中,由正弦定理知, (二)选修 4-4:坐标系与参数方程

T

N
A C M B D

已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值. 【答案】 (1) ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ; (2) ? ?
2

?
4



3? . 4

【解析】 : (1)由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . ∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴曲 线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 .
2

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

? 3? 2 ,? ? 或 . 4 4 2

(三)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 的最大值为 m . (1)求 m ; (2)若 a, b, c ? ?0, ?? ?, a ? 2b ? c ? m ,求 ab ? bc 的最大值.
2 2 2

【答案】 (1) m ? 2 ; (2)1. 【解析】 : (1)当 x ? ?1 时, f ? x ? ? 3 ? x ? 2 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? ?1 ? 3x ? 2 ; 当 x ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 3 ? ?4 , 故当 x ? ?1时, f ? x ? 取得最大值 m ? 2 .
2 2 2 2 2 2 2 (2)因为 a ? 2b ? c ? a ? b ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2 ? ab ? bc ? ,

?

? ?

?

当且仅当 a ? b ? c ?

2 时取等号,此时 ab ? bc 取得最大值 1. 2

48.从下列三题中选做一题 (一).选修 4-1:几何证明选讲 在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: PC = PD ;

AC BD

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

【解析】:(1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,∴△DPC~△DBA, ∴ PC = PD ,又∵AB=AC,∴ PC = PD .

AB BD

AC BD

(2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC∽△ACD. ∴ AP = AC ,∴ AC 2 ? AP ? AD ? 9.

AC AD

(二)选修 4-4:坐标系与参数方程 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下, 在以直角坐标原点 O 为极点, 曲线 C1 的方程是 ? ? 1 , 将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2 . (1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M , N ,切点为 T .求 TM ? TN 的取值范围. 【解答】 : (1)依题,因 ? 2 ? x 2 ? y 2 , 所以曲线 C1 的直角坐标下的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, 所以曲线 C2 的直角坐标下的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 又 y ? ? sin ? ,所以 ? 2 ? 2? sin ? ? 0 , 即曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (2)由题令 T ( x0 , y0 ) , y0 ? (0,1] ,切线 MN 的倾斜角为 ? ,所以切线 MN 的参数方程为:

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? y ? t sin ? 0 ? 联立 C2 的直角坐标方程得, t 2 ? 2( x0 cos? ? y0 sin ? ? sin ? )t ?1 ? 2 y0 ? 0 ,
即由直线参数方程中, t 的几何意义可知,

TM ? TN ? 1 ? 2 y0 ,因为 1 ? 2 y0 ?[?1,1) 所以 TM ? TN ? [0,1] .
(解法二)设点 T ?cos? , sin ? ? ,则由题意可知当 ? ? ?0 由对称性可知,当 ? ? ? 0 ,

? ? 时,切线与曲线 C 2 相交,

? ?

??

? 时斜线的倾斜角为 ? ? ,则切线 MN 的参数方程为: ? 2 2?

? ?? ? ? x ? cos? ? t cos? ? ? 2 ? ? cos? ? t sin ? ? ? ? (t 为参数) , ? ?? ? y ? sin ? ? t sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? t cos? ? 2? ? ?
与 C2 的直角坐标联立方程,得 t 2 ? 2 cos?t ? 1 ? 2 sin ? ? 0 , 则 TM TN ? t1t 2 ? 1 ? 2 sin ? , 因为 ? ? ? 0 ,

? ?

??
2? ?

,所以 TM TN ? 0,1 .

? ?

已知函数 f ( x) ? m ? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 1 的解集 A 满足 ? ?1,1? ? A . (1)求实数 m 的取值范围 B ; (2)若 a, b, c ? ? 0, ?? ? , m0 为 B 中的最小元素且 求证: a ? 2b ? 3c ? 【解析】 : (1)因为

(三)选修 4-5:不等式选讲

1 1 1 ? ? ? m0 , a 2b 3c

f ( x) ? m? | x ? 2 |, 所以 f ( x ? 2) ? 1 等价于 x ? m ?1 , 由 ? ?1,1? ? A 知

9 . 2

A 是非空集合,所以 1 ? m ? x ? m ? 1 ,结合 ? ?1,1? ? A 可得 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 ,即实数 m
的取值范围是 B ? ? 2, ??? .

1 1 1 ? ? ? 2, a 2b 3c 1 ?1 1 1 ? ? a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? 2 ? a 2b 3c ?
(2)由(1)知 m0 ? 2 ,所以

1? 1 1 1 ? 9 ? ? a? ? 2b ? ? 3c ? ? ? 2. 2? a 2b 3c ?

2


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