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黑龙江省鹤岗市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

鹤岗一中 2015-2016 学年度下学期期中考试高二数学试题
1.复数 z ? A.第一象限 2.设复数 z A. 1 2

2i 所对应的点位于复平面内( ) 2?i
B.第二象限
? 1? i

C.第三象限

D.第四象限 )

( i 是虚数单位) ,则复数 z ? 1 的虚部是( z C. 3 2
2 n ?1

B. 1 i 2

D. 3 i 2

3.利用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a ? ? ? a 等号左边是 A. 1 ( B. 1 ? a )

?

1 ? a n?2 ,在验证 n ? 1 成立时, (a ? 1,n ? N ? ) ” 1? a

C. 1 ? a ? a 2
n

D. 1 ? a ? a 2 ? a 3
*

4.用数学归纳法证明(n+1) (n+2)?(n+n)=2 ·1·3?(2n-1) (n∈N )时,从“n=k 到 n=k+1”左边需增乘的代数式为( A.2k+1
2 5.函数 y ? x ?

) C.

B.2(2k+1)

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

1 ? 1 在 x ? 1 处的切线方程是 x
B. x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 )

A. x ? y ? 2 ? 0

1 3 2 6.函数 f(x)= ax ﹣x +5(a>0)在(0,2)上不单调,则 a 的取值范围是( 3

A.0<a<1

B.0<a<

1 2

C.

1 <a<1 2

D.a>1 )

2 7.1.由曲线 y ? x 与直线 y ? x 围成的封闭图形的面积为(

1 A. 4

1 B. 2

1 C. 6

7 D. 12

8.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,其导函数为 f ' ? x ? ,对任意正实数 x 满足 xf ' ? x ? ? 2 f ? ? x ? , 若 g ? x ? ? x 2 f ? x ? ,则不等式 g ? x ? ? g ?1 ? 3x ? 的解集是( ) A. ? , +? ?

?1 ?4

? ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 4?

C. ? -?, ?

? ?

1? 4?

D. ? -?, ? ? ? , +? ? .则

? ?

1? 4?

?1 ?4

? ?

9.已知函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程是 x﹣2y+1=0,若 g(x)= g′(1)=( )

-1-

A. 10.若 A.﹣1

B.﹣

C.﹣
?

D.2

?

2

1

( x ? a )dx ? ? 6 cos xdx ,则 a 等于( )
0

B.1

C.2

D.4

11 . 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 (0, ??) 上 的 单 调 函 数 , 且 对 定 义 域 内 的 任 意 x , 均 有

f ( f ( x) ? ln x ? x3 ) ? 2 ,则 f (e) ? (
(A) e3 ? 1 (B) e3 ? 2

) (C) e3 ? e ? 1 (D) e3 ? e ? 2 )

12.定义在 (0, ? ) 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ' ? x ? ? f ? x ? ? tan x 成立.则( 2 ? ? ? 3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) 3f ( )? f ( ) 6 6 3 A. B.
6f( )?2f( ) 6 4 C.
3 2 2

?

?

2f( )? f( ) 4 3 D.

?

?

13.函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 时有极值为 10,则 a+b 的值为 14.

?(
0

1

1 ? x 2 ? x)dx 等于
x

15.设 a∈R,若函数 y=e +2ax,x∈R 有大于 0 的极值点,则 a 的取值范围 16.已知函数 F ? x ? ? ? x ? a ? ? ln x ? 2a
2 2

?

4 成立, 则实数 ? ? x ? 0, a ? R ? , 若存在 x 使得 F ? x ? ? 5
2

0

0

a 的值

17.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=0 处的切线为 l:4x+y﹣5=0,若 x=﹣2 时, y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.

3

2

1? a 2 . x ? ax ? ln x ( a ? R ) 2 (1)当 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;
18.设函数 f ( x) ? (2)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ? ?1,2? ,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 m 的 取值范围.

-2-

19.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合。若直线 l 的极坐标方 程为 ? cos ? ? ?

? ?

??

??3 2 4?

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)已知 P 为曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 上一点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值。 16 9

20.在直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 ? y ? 2 ? t sin ?

取相同的长度单位,且以原点为极点,以 x 轴为正半轴为极轴)中,圆的方程为 ? ? 6 sin ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B 若点 P 的坐标为 ?1,2? ,求 PA ? PB 的最小值。

21.设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln( 1 ? x)
2

2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围.
2

?1 ?e

? ?

22.设函数 f ( x) ? e 的图像为 C,函数 g ( x) ? kx ? k 的图像为 l .
x

-3-

(1)当 x ? (1,3) 时,图像 C 恒在直线 l 上方,求实数 k 的取值范围; ( 2 )若图像 C 与直线 l 有两个不同的交点 A, B ,其横坐标分别是 x1 , x 2 ,设 x1 ? x 2 ,求证

x1 x2 ? x1 ? x2 .

B

A

C

B

A 14.

D

C

C

A

高二数学理答案 B B A

13. -7

? ?2
4
3 2

15. a ? ?

1 2

16.

1 5

17 解: (1)由 f(x)=x +ax +bx+c, 2 得:f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=0 时,切线 l 的斜率为﹣4,可得 b=﹣4①, 当 x=﹣2 时,y=f(x)有极值,得 f′(﹣2)=0, ∴12﹣4a+b=0②, 由①②得:a=2,b=﹣4, 由于切点的横坐标为 x=0, ∴f(0)=5,∴c=5,∴a=2,b=﹣4,c=5. 3 2 (2)由(1)得 f(x)=x +2x ﹣4x+5, 2 ∴f′(x)=3x +4x﹣4, 令 f′(x)=0,解得:x=﹣2 或 x= , 当 x 变化时,y′,y 的值及变化如下表:

∴y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值为 13,最小值为



18. (1) f '( x) ? (1 ? a) x ? a ?

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? ? x x x

① a ? 1 时,(1 ? a ) x ? 1 ? 0 , f (x )在(0,1)单减,(1,??)单增; ② 1 ? a ? 2 时,

1 1 1 , ??)单减; ? 1 , f (x )在(0,1)单减,在(1, )单增,( a ?1 a ?1 a ?1

③当

( x ? 1)2 1 ? 1 即 a ? 2 时, f '( x) ? ? ? 0, f ( x)在(0, ??) 上是减函数; a ?1 x
1 1 1 ? x ?1 或x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? a ?1 a ?1 a ?1

④当

-4-

? 1 ? ? 1 ? ,1? 为减函数 ? 0, ? , ?1, ?? ? 为增函数 , ? ? a ?1 ? ? a ?1 ?
(2)由(1)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x)在[1, 2] 上单调递减, 当

x ?1 时 ,

f ( x) 有 最 大 值 , 当

x?2 时 ,

f ( x) 有 最 小 值 ,

?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ?

a 3 a 3 ? ? ln 2 ,? ma ? ln 2 ? ? ? ln 2 , 2 2 2 2 1 3 1 1 3 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, ? m ? 0 . 而 a ? 0 经整理得 m ? ? 2 2a 4 2 2a
19.(1) x ? y ? 6 ? 0 (2) d min ? 20. (1) x 2 ? ? y ? 3? ? 9
2

2 2

(2) PA ? PB min ? 2 7 21. (1)递增区间 ?? 2,?1? 和 ?0,??? ,递减区间 ?? ?,?2? 和 ?? 1,0? (2) m ? e ? 2
2

(3)设 g ?x? ? x ? a ? 1 ? ln?1 ? x?

2

g / ?x ? ?

x ?1 x ?1

所以 g ?x ? 在 ?0,1? 上递减, ?1,2? 上递增

? g ?0 ? ? 0 ? ? g ?1? ? 0 ? g ?2 ? ? 0 ?

故 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3

22.(1)由已知可得:当 x ? ?1,3? 时,不等式 e ? kx ? k 恒成立。
x

ex e x ? x ? 2? / ? h?x ? ,而 h ?x ? ? 即:当 x ? ?1,3? 时, k ? x ?1 ?x ? 1?2
当 x ? ?1,2? 时函数 h?x ? 递减, 当 x ? ?2,3? 时,函数 h?x ? 递增,所以 h?x?min ? h?2? ? e
2 故 k ? h?x?min ? h?2? ? e 2

(2)由已知可得 e

x1

? k ?x1 ? 1?L ①,

e x2 ? k ?x2 ? 1?L ②

-5-

②-①得 e

x2

? e x1 ? k ?x2 ? x1 ? ,可得 k ? ? k 2 ?x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1?

e x2 ? e x1 ?0 x2 ? x1

②*①得 e

x1 ? x2

e x1 ? x2 要证 x1 x2 ? x1 ? x2 ,只需证 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? ?1 ? 0 k2
即证 e
x1 ? x2

? k2 ? (

e x2 ? e x1 2 ) 只需证 ?x2 ? x1 ?e x2 ? x1
x2 ? x x 2

x1 ? x2 2

? e x2 ? e x1

只需证 ?x2 ? x1 ? ? e 即证 e ? e
t ?t

?e

x1 ? x2 2

,令

x 2 ? x1 ?t ?0 2

? 2t ? 0 记 ? ?t ? ? et ? e ?t ? 2t ,? / ?t ? ? e t ? e ?t ? 2 ? 0 恒成立。

所以 ? ?t ? ? ? ?0? ? 0 ,故 x1 x2 ? x1 ? x2

-6-



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