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广西百所示范性中学联考2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷


广西百所示范性中学联考 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是答合题目要求的. ) 1.复数 A.﹣1﹣i 等于( ) B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i )

2.已知全集 U=R,N={x|x(x+3)<0},M={x|x<﹣1}则图中阴影部分表示的集合是(

A.{x|﹣3<x<﹣1}

B.{x|﹣3<x<0}

C.{x|﹣1≤x<0}

D.{x<﹣3}

3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(

)

A.f(x)=x +1

2

B.f(x)=cosx

C.f(x)=e

x

D.f(x)=

5.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0,l2:mx+2y+1+2m=0,当 l1∥l2 时,两条直线的距离是( A. B.1 C .2 D.

)

6.数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 anan+1 的个位数,则该数列的第 2015 项 是( ) A.1 B.3 C .7 D.9

7.已知向量

,且

,若变量 x,y 满足约束条件

则 z 的最大值为(

)

A.1 8.将函数 y=sin(4x﹣

B.2

C .3

D.4 个单位,

)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 ) D.x=﹣

纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( A. B.x= C.x=

9.如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象 )

限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

10.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 60°的扇形,则 该几何体的侧面积为( )

A.12+

π

B.6+

π

C.12+2π

D.6+4π
x x

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式 e f(x)>e +3 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(3,+∞) C. (﹣∞,0)∪(0, +∞) D. (3,+∞)

12.设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已知 b ﹣2b+c =0,则 A.[0,+∞)
2

2

?

的范围是( B.[0,2)

) C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开,其展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积 为__________. 14. 的展开式中,常数项为 15,则 n=__________.

15.正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在抛物 2 2 线 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中 阴影区域的概率是__________.

16.设函数 f(x)=

,若{an}是公比大于 0 的等比数列,且 a3a4a5=1,若 f

(a1)+f(a2)+…+f(a6)=2a1,则 a1=__________.

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,b=c,且满足 = .

(1)求∠A 的大小; (2)若点 O 是△ ABC 外一点,∠AOB=θ(0<θ<π) ,OA=2OB=2,求平面四边形 OACB 面积的最大值. 18.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为 T.其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6) 轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10)严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2) ,从某市交通 指挥中心选取了市区 20 个交通路段, 依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)在这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个? (2)从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段,用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求 X 的分布列及期望. 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、BC 的 中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角 θ 的大小.

20.已知点 H(﹣3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且 满足 , .

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过定点 D(m,0) (m>0)作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,E 是 D 点关于坐标原点 O 的对称点,试问∠AED=∠BED 吗?若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值;

x

(2)在(1)的条件下,证明: ( ) +( ) +…+(

n

n

) +( ) <

n

n

(n∈N )

*

四、选做题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分. ) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上不同于 A,B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与⊙O 交于 D,与 BE 交于 E,连接 BD,CD. (1)求证:BD 平分∠CBE; (2)求证:AH?BH=AE?HC.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣2|x﹣1|. (1)当 m=3 时,求 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

广西百所示范性中学联考 2015 届高考数学一模试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是答合题目要求的. )

1.复数

等于(

) B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i

A.﹣1﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数 1﹣i,然后再进行化简可求. 解答: 解: = =1+i

故选 D 点评:本题主要考查了复数的乘除运算的综合,属于基础试题. 2.已知全集 U=R,N={x|x(x+3)<0},M={x|x<﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )

A.{x|﹣3<x<﹣1}

B.{x|﹣3<x<0} C.{x|﹣1≤x<0}

D.{x<﹣3}

考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 专题:集合. 分析:首先化简集合 N,然后由 Venn 图可知阴影部分表示 N∩(CUM) ,即可得出答案. 解答: 解:N={x|x(x+3)<0}={x|﹣3<x<0} 由图象知,图中阴影部分所表示的集合是 N∩(CUM) , 又 M={x|x<﹣1}, ∴CUM={x|x≥﹣1} ∴N∩(CUM)=[﹣1,0) 故选:C. 点评:本题考查 venn 表示的集合的运算,一般采用数形结合的方法解决问题,属于基础题. 3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线 方程. 解答: 解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 点评:本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(

)

A.f(x)=x +1

2

B.f(x)=cosx

C.f(x)=e

x

D.f(x)=

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数 f(x)为奇函数②f(x)存在零点,即函数 图象与 x 轴有交点.逐一分析四个答案中给出的函数的性质,不难得到正确答案. 解答: 解:A:f(x)=x +1 不是奇函数,故不满足条件①f(x)+f(﹣x)=0 B:f(x)=cosx 符合输出的条件. C:f(x)=e ,不是奇函数,故不满足条件①f(x)+f(﹣x)=0, D:f(x)= 的函数图象与 x 轴没有交点,故不满足条件② 故选:B. 点评:根据程序框图的流程能够判断出框图的功能,根据流程图(或伪代码)写程序的运行 结果,是算法这一模块最重要的题型. 5.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0,l2:mx+2y+1+2m=0,当 l1∥l2 时,两条直线的距离是( A. B.1 C .2 D. )
x 2

考点:两条平行直线间的距离. 专题:直线与圆. 分析:利用平行线的斜率之间的关系可得 m,再利用平行线之间的距离公式即可得出. 解答: 解:∵l1∥l2 时, ∴直线 l2 的方程为:3x+4y+8=0, ∴d= 故选:C. = =2, ,解得 m= ,

点评:本题考查了平行线的斜率之间的关系、平行线之间的距离公式,考查了计算能力,属 于基础题. 6.数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 anan+1 的个位数,则该数列的第 2015 项 是( ) A.1 B.3 C .7 D.9 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知条件,利用递推公式依次求出数列的前 8 项,从而得到数列{an}循环周期为 6, 由此能求出该数列的第 2015 项. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 anan+1 的个位数, ∴由题意得 a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7, ∴数列{an}循环周期为 6, ∵2015÷6=335…5,∴a2015=a5=7. 故选:C. 点评:本题考查数列的该数列的第 2015 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意递 推思想的合理运用.

7.已知向量

,且

,若变量 x,y 满足约束条件

则 z 的最大值为(

)

A.1

B.2

C .3

D.4

考点:简单线性规划;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:计算题. 分析:画出不等式组表示的平面区域;将目标函数变形,画出其相应的图象;结合图,得到 直线平移至(1,1)时,纵截距最大,z 最大,求出 z 的最大值. 解答: 解:由 ,可得

∴z=2x+y 将目标函数变形为 y=﹣2x+z,作出其对应的直线 L:y=﹣2x,当其平移至 B(1,1)时, 直线的纵截距最大,此时 z 最大 z 的最大值为 3 故选 C

点评:本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.

8.将函数 y=sin(4x﹣

)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 ) D.x=﹣

个单位,

纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( A. B.x= C.x=

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,可求得变换后的函数的解析式为 y=sin(8x ﹣ ) ,利用正弦函数的对称性即可求得答案. )图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到的函数

解答: 解:将函数 y=sin(4x﹣ 解析式为:g(x)=sin(2x﹣ 再将 g (x) =sin (2x﹣ (x+ 由 2x+ )﹣ =kπ+ ) ,

) 的图象向左平移 ﹣

个单位 (纵坐标不变) 得到 y=g (x+ ) ,

) =sin[2

]=sin(2x+

)=sin(2x+ +

(k∈Z) ,得:x= ,即 x=

,k∈Z.

∴当 k=0 时,x=

是变化后的函数图象的一条对称轴的方程,

故选:A. 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,求得变换后的函数的解析式是关键,考 查正弦函数的对称性的应用,属于中档题.

9.如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象 )

限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线的定义,可求出|F2A|=2,|F1F2|=4,进而有|F1A|+|F2A|=6,由此可求 C2 的 离心率. 解答: 解:由题意知,|F1F2|=|F1A|=4, ∵|F1A|﹣|F2A|=2, ∴|F2A|=2, ∴|F1A|+|F2A|=6, ∵|F1F2|=4, ∴C2 的离心率是 = . 故选 B. 点评:本题考查椭圆、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,正确运用椭圆、双曲线的 几何性质是关键. 10.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 60°的扇形,则 该几何体的侧面积为( )

A.12+

π

B.6+

π

C.12+2π

D.6+4π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:根据俯视图是中心角为 60°的扇形,知几何体是 圆柱体,由正视图知母线长为 3,底 面半径为 2,求出底面弧长,代入侧面积公式计算.

解答: 解:由三视图知几何体是 圆柱体,且母线长为 3,底面半径为 2, ∴弧长为 ×2= , +2×2)×3=12+2π.

∴几何体的侧面积 S=(

故选:C. 点评:本题考查了由三视图求几何体的侧面积,关键是判断三视图的数据所对应的几何量. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式 e f(x)>e +3 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(3,+∞) C. (﹣∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+∞) 考点:利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题:导数的综合应用. 分析:构造函数 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质 和函数值,即可求解 x x 解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g′(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣1], ∵f(x)+f′(x)>1, ∴f(x)+f′(x)﹣1>0, ∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上单调递增, ∵e f(x)>e +3, ∴g(x)>3, 0 0 又∵g(0)═e f(0)﹣e =4﹣1=3, ∴g(x)>g(0) , ∴x>0 故选:A. 点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数 的单调性是解题的关键. 12.设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已知 b ﹣2b+c =0,则 A.[0,+∞)
2 2 x x x x x x

?

的范围是( B.[0,2)

) C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,2)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据已知条件知 O 是△ ABC 外接圆的圆心,可画出△ ABC 及其外接圆,连接 AO 并 延长,交外接圆于 D.所以便得到 , ,所以

=b ﹣b= 0<b<2,所以求出二次函数

2

, 而根据 c =2b﹣b 可求得 b 的范围 在(0,2)上的范围即可.

2

2

解答: 解:O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,故 O 是三角形外接圆的圆心,如图所示, 连接 AO 并延长交外接圆于 D,AD 是⊙O 的直径,并连接 BD,CD; 则∠ABD=∠ACD=90°,cos∠BAD= ∴ = = ∵c =2b﹣b >0; ∴0<b<2; 设 f(b)= ∴b= 时,f(b)取最小值 ∴ ∴ 的范围是[ ; ) . ; ,又 f(2)=2;
2 2

,cos∠CAD= =





故选:D.

点评:考查三角形垂心的概念,圆的直径所对的圆周角为 90°,用直角三角形的边表示余弦 值,以及二次函数值域的求法. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开,其展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积 为 .

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题:计算题;空间位置关系与距离.

分析:半径为 2 的半圆的弧长是 2π,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,因而圆 锥的底面周长是 2π,利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥 的体积. 解答: 解:一个圆锥的母线长为 2,它的侧面展开图为半圆, 圆的弧长为:2π,即圆锥的底面周长为:2π, 设圆锥的底面半径是 r,则得到 2πr=2π, 解得:r=1, 这个圆锥的底面半径是 1, ∴圆锥的高为 =
2

. .

∴圆锥的体积为: πr h= 故答案为: .

点评:本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的两个对应关系: (1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径; (2)圆锥的底面周 长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

14.

的展开式中,常数项为 15,则 n=6.

考点:二项式定理. 专题:计算题. 分析:首先分析题目已知 用二项式定理列出式子 出 n 和 k 即可得到答案. 解答: 解:由二项式定理(a+b) =Cn a +Cn a 容易得到
n 0 n 1
(n﹣1)

的展开式中,常数项为 15,求 n 的值.显然想到应 的第 k+1 项,然后使含 x 的部分为 1,系数为 15,解

b+Cn a

2

(n﹣2)

b +…+Cn b

2

n n

的展开式中,第 k+1 项为

常数项为 15 则必有:



解得 故答案为 6. 点评:此题主要考查二项式定理的应用问题,列出式子 求解是题目的关键,题目计算量小,属于基础题目. 的展开式中的一般项

15.正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在抛物 线 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中 阴影区域的概率是 .
2 2

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 解答: 解:∵A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1) , ∴正方体的 ABCD 的面积 S=2×2=4, 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2 =2 =2[(1﹣ )﹣(﹣1+ )]=2× = ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 故答案为: .



点评: 本题主要考查几何槪型的概率的计算, 利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关 键.

16.设函数 f(x)=

,若{an}是公比大于 0 的等比数列,且 a3a4a5=1,若 f
2

(a1)+f(a2)+…+f(a6)=2a1,则 a1=e . 考点:分段函数的应用;等比数列的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析:由题意可得 f(x)+f( )=0;故 f(a2)+…+f(a6)=f(a2)+f(a6)+f(a3)+f(a5) +f(a4)=0,从而化 f(a1)+f(a2)+…+f(a6)=f(a1)=2a1,从而解得. 解答: 解:若 x>1,则 0< <1;

则 f(x)=xlnx,f( )=

=﹣xlnx;

故 f(x)+f( )=0; 又∵{an}是公比大于 0 的等比数列,且 a3a4a5=1, ∴a4=1; 故 a6a2=a3a5=a4=1; 故 f(a2)+…+f(a6)=f(a2)+f(a6)+f(a3)+f(a5)+f(a4)=0+0+0=0; 故 f(a1)+f(a2)+…+f(a6)=f(a1)=2a1, 2 若 a1>1,则 a1lna1=2a1,则 a1=e ; 若 0<a1<1,则
2

<0,故无解;

故答案为:e . 点评:本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用,属于中档题. 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,b=c,且满足 = .

(1)求∠A 的大小; (2)若点 O 是△ ABC 外一点,∠AOB=θ(0<θ<π) ,OA=2OB=2,求平面四边形 OACB 面积的最大值. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)由 = ,化为 sinBcosA=sinA﹣sinAcosB,即 sinC=sinA,又 b=c,可

得△ ABC 是等边三角形,即可得出 A. (2)设该三角形的边长为 a,则 SOACB= 差的正弦公式及其单调性即可得出. 解答: 解: (1)由 = ,化为 sinBcosA=sinA﹣sinAcosB, ,利用余弦定理、两角和

∴sin(A+B)=sinA, ∴sinC=sinA,A,C∈(0,π) . ∴C=A,又 b=c, ∴△ABC 是等边三角形, ∴ .
2 2 2

(2)设该三角形的边长为 a,a =1 +2 ﹣2×2×cosθ. 则 SOACB=

=sinθ+ = 当 + , .

时,SOACB 取得最大值

点评:本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为 T.其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6) 轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10)严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2) ,从某市交通 指挥中心选取了市区 20 个交通路段, 依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)在这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个? (2)从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段,用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求 X 的分布列及期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图可知底×高=频率,频率×20 为路段个数; (2)由题意知 X 为 0,1,2,3,求出相应的概率,由此求出 X 的分布列及期望. 解答: 解: (1)由直方图得:轻度拥堵的路段个数是(0.1+0.2)×1×20=6 个, 中度拥堵的路段个数是(0.25+0.2)×1×20=9 个. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3. , ,

, ∴X 的分布列为 X 0 P ∴ .



1

2

3

点评:本题考查频率分布直方图的应用,考查超几何分布,考查离散型随机变量的分布列的 求法及数学期望,是中档题. 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、BC 的 中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角 θ 的大小.

考点:直线与平面所成的角. 专题:计算题;综合题. 分析:解法一: (Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系,写出有关点的坐标,利用向量数量积为零即可求得结果; (Ⅱ)求出平面 EFG 的法向量的一个法向量,利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线 与平面所成角之间的关系即可求得结果; 解法二: (Ⅰ)取 AC 的中点 D,连接 DE、DG,则 ED∥BC,利用线面垂直的判定和性质 定理即可求得结果; (Ⅱ)取 CC1 的中点 M,连接 GM、FM,则 EF∥GM,找出直线与平 面所成的角,解三角形即可求得结果. 解答: 解法一: (Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系, 则F (1, 0, 0) , E (1, 1, 0) , A (0, 2, 0) , C1 (0, 0, 2) , 设 G(0,2,h) ,则 .∵AC1⊥EG,∴ .

∴﹣1×0+1×(﹣2)+2h=0.∴h=1,即 G 是 AA1 的中点. (Ⅱ)设 是平面 EFG 的法向量,则 .

所以

平面 EFG 的一个法向量 m=(1,0,1)







,即 AC1 与平面 EFG 所成角 θ 为

解法二: (Ⅰ)取 AC 的中点 D,连接 DE、DG,则 ED∥BC ∵BC⊥AC,∴ED⊥AC. 又 CC1⊥平面 ABC,而 ED?平面 ABC,∴CC1⊥ED.

∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面 A1ACC1. 又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG. 连接 A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C∥DG. ∵D 是 AC 的中点,∴G 是 AA1 的中点. (Ⅱ)取 CC1 的中点 M,连接 GM、FM,则 EF∥GM, ∴E、F、M、G 共面.作 C1H⊥FM,交 FM 的延长线于 H,∵AC⊥平面 BB1C1C, C1H?平面 BB1C1C,∴AC⊥G1H,又 AC∥GM,∴GM⊥C1H.∵GM∩FM=M, ∴C1H⊥平面 EFG,设 AC1 与 MG 相交于 N 点,所以∠C1NH 为直线 AC1 与平面 EFG 所成 角 θ. 因为 ,∴ ,∴ .

点评: 本小题主要考查直线与平面垂直的判定, 以及直线与平面平行的判定和直线与平面所 成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属中档题. 20.已知点 H(﹣3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且 满足 , .

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过定点 D(m,0) (m>0)作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,E 是 D 点关于坐标原点 O 的对称点,试问∠AED=∠BED 吗?若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.

考点:平面向量的综合题. 分析: (1) 设M (x, y) , P (0, y') , Q (x', 0) 则可得 由 代入整理可求点 M 的轨迹 C; , ,

(2)根据直线的倾斜角与斜率的关系,可证 KAE=﹣KBE 即可;分两种情况讨论: (1)当直 线 l 垂直于 x 轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED; (2)当直线 l 与 x 轴不垂直 时,利用直线的斜率进行转换可得∠AED=∠BED

解答: 解: (1)设 M(x,y) ,P(0,y') ,Q(x',0) (x'>0) ,∵ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴





且(3,y')?(x,y﹣y')=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ .∴y =4x(x
2

>0) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴动点 M 的轨迹 C 是以 O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)﹣ (2)①当直线 l 垂直于 x 轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;﹣ ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 依题意,可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣m) (k≠0,m>0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 A,B 两点的坐标满足方程组 消去 x 并整理,得 ky ﹣4y﹣4km=0,
2



.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2,则: k1+k2= = = =

= ∴tan∠AED+tan(180°﹣∠BED)=0,∴tan∠AED=tan∠BED, ∵ , ∴∠AED=∠BED.

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣

综合①、②可知∠AED=∠BED.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ 点评:本题以向量得数量积的坐标表示为载体,考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲 线的位置关系得求解.属于综合试题. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,证明: ( ) +( ) +…+(
n n x

) +( ) <

n

n

(n∈N )

*

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (1)f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0.构造函数 g(a)=a ﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0,确定函数的单调性,即可求得实数 a 的值; (2) 由 (1) 知, 当 x>0 时, e >x+1, 即 e >x, 则 1>ln2, >ln(1 ) ,累加再由对数的运算法则,即可得证.
x x

, >ln (1

) , …,

解答: (1)解:f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0. x 由题意 a>0,f′(x)=e ﹣a, x 由 f′(x)=e ﹣a=0,得 x=lna. 当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0. 则 f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. 设 g(a)=a﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0. 由 g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0 得 a=1. 则 g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,而 g(1)=0. 因此 g(a)≥0 的解为 a=1,故 a=1; x x (2)证明:由(1)可知:当 x>0 时,e >x+1,即 e >x, nx n 即有 e >x . 则( ) <e, ( ) <e , ( ) <e ,…, ( ) <e ,
n n n n 2 3 n n n 2 n 3 n n

则( ) +( ) +…+( 故( ) +( ) +…+(
n n

) +( ) <e+e +e +…+e = ) +( ) <
n n



成立.

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,同时考查不 等式的证明,解题的关键是正确求导数,确定函数的单调性. 四、选做题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分. ) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上不同于 A,B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与⊙O 交于 D,与 BE 交于 E,连接 BD,CD. (1)求证:BD 平分∠CBE; (2)求证:AH?BH=AE?HC.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)由 AD 为∠BAC 的平分线得 = ,得出∠DBC=∠BCD,再由弦切角定理得

到∠DBE=∠BCD,可得∠DBE=∠DBC; (2)证明△ ABE∽△ACH,得出 AH?BE=AE?HC 即可. 解答: 证明: (1)∵AD 为∠BAC 的平分线,即∠DAB=∠DAC, ∴ = ,可得∠DBC=∠BCD,

又∵BE 与圆 O 相切于点 B, ∴∠DBE=∠BCD,可得∠DBE=∠DBC, ∴BD 平分∠CBE; (2)由(1)可知 BE=BH, 所以 AH?BH=AH?BE 因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE, 所以△ ABE∽△ACH, 所以 ,即 AH?BE=AE?HC,即:AH?BH=AE?HC.

点评:本题给出圆的直径与切线,考查圆的几何性质,弦切角定理,三角形相似,属于中档 题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可将圆 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 化为普通方程; (II)据点到直线的距离公式即可求出答案. 2 解答: 解: (Ⅰ)由 ρ=4cosθ 得 ρ =4ρcosθ,… 2 2 结合极坐标与直角坐标的互化公式得 x +y =4x, 2 2 即(x﹣2) +y =4 … (Ⅱ)由直线 l 的参数方程为 结合圆 C 与直线 l 相切,得 ,化为普通方程,得 x﹣ =2,解得 a=﹣2 或 6.… y﹣a=0.

点评:本题考查极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切,理解极坐标方程与普通方程的互 化公式和点到直线的距离公式是解决问题的关键. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣2|x﹣1|. (1)当 m=3 时,求 f(x)的最大值;

(2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用.

分析: (1)当 m=3 时,函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=

,再根据函数的单

调性求得函数 f(x)的最大值. 2 2 2 2 (2)关于 x 的不等式即 (x﹣m) ≥4(x﹣1) ,化简可得 3x +(2m﹣8)x+4﹣m ≤0.计 2 算△ =16(m﹣1) ≥0,由此求得一元二次不等式的解集.

解答: 解: (1)当 m=3 时,函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=

,故当 x=1

时,函数 f(x)取得最大值为 2. (2)关于 x 的不等式 f(x)≥0,即|x﹣m|≥2|x﹣1|,即 (x﹣m) ≥4(x﹣1) ,化简可得 2 2 3x +(2m﹣8)x+4﹣m ≤0. 由于△ =16(m﹣1) ≥0,求得
2 2 2

≤x≤



点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属 于基础题.


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