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选修2-1第2章圆锥曲线2.3.1双曲线及其标准方程


2.3.1 双曲线及其标准方程
姓名 一、选择题 1.平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6,则动点 P 的轨 迹方程是 ( ) B. - =1(x≤-3) 9 16 D. - =1(x≥3) 9 16 ( C.3 3 D.4 3 ( ). ).
2 2

A. - =1(x≤-4) 16 9 C. - =1(x≥4) 16 9 2. 双曲线 - =1 的焦距为 10 2 A.3 2 B.4 2
2

x

y

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

3. 已知双曲线的 a=5, c=7, 则该双曲线的标准方程为 A. - =1 25 24 C. - =1 或 - =1 25 24 25 24
2 2

x

2

y

B. - =1 25 24

y

2

x

2

x2

y2

y2

x2

D. - =0 或 - =0 25 24 25 24

x2

y2

y2

x2

4 .已知方程 (1 + k)x - (1 - k)y = 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围为 ( ). B.k>1 C.k<-1 D.k>1 或 k<-1
2 2

A.-1<k<1

5.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 右支上的一点,且|PF2|= 9 16 |F1F2|,则△PF1F2 的面积等于 A.24 二、填空题 6.若双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点坐标是(0,3),则实数 k 的值为________. 7.已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2| 64 36 的值为________. 8.双曲线
2 2

x

y

( C.48 D.96

).

B.36

x2

y2

x2 y2 - =1 的一个焦点到中心的距离为 3,那么 m=________. m m-5

三、解答题

9. 已知双曲线的两个焦点 F1(- 5, 0), F2( 5, 0), P 是双曲线上一点, 且 PF1 ? PF2 ? 0 , |PF1|·|PF2|=2,求双曲线的标准方程为.

uuu r uuur

10.求与双曲线 - =1 有相同的焦点,且过点 P(2,1)的双曲线的方程. 4 2

x2 y2

11.已知定点 A(3,0)和定圆 C:(x+3) +y =16,动圆和圆 C 相外切,并且过点 A,求动圆 圆心 P 的轨迹方程.

2

2

12.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x +5y =5 的左焦点和右焦点,且三个内角 A,

2

2

B,C 满足关系式 sin B-sin A= sin C.
(1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程.

1 2

2.3.1 双曲线及其标准方程答案 一.选择题 题号 答案 二.填空题 6. -1 7. 33 8. 7 或-2 三.解答题 9. 解析:由题意可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由 PF1 · PF2 =0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得 |PF1| +|PF2| =(2c) ,即|PF1| +|PF2| =20. 根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a, 两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2 得 20-2×2=4a ,解得 a =4,从而 b =5-4=1, 所以双曲线方程为 -y =1. 4 答案: -y =1 4 10. 解 方法 1:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知,c =4+2=6,又点
2 2 2 2 2 2 2 2

1 D

2 D

3 C

4 A

5 C

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

x2 y2 a b

2

P(2,1)在双曲线上, a +b =6, ? ? ∴? 4 1 2- 2=1, ? ?a b
2 2

? ?a =3, 解得? 2 ?b =3. ?

2

故所求的双曲线方程为 - =1. 3 3 方法 2:∵所求的双曲线与 - =1 有相同的焦点, 4 2 ∴可设双曲线方程为

x2 y2

x2 y2 y2

x2
4-λ



2+λ

=1(-2<λ <4).

∵双曲线过点 P(2,1), ∴ 4 1 - = 1, 4-λ 2+λ

解得 λ =1,或 λ =-4(舍去). 故所求的双曲线方程为 - =1. 3 3 11. 解 设 P 的坐标为(x,y). ∵圆 P 与圆 C 外切且过点 A, ∴|PC|-|PA|=4. ∵|AC|= +
2

x2 y2

+0=6>4,

∴点 P 的轨迹是以 C,A 为焦点,实轴长为 2a=4 的双曲线的右支, ∵a=2,c=3, ∴b =c -a =5. ∴动圆圆心 P 的轨迹方程为 - =1(x≥2). 4 5 12. 解:(1)将椭圆方程化为标准形式为 +y =1. 5 ∴a =5,b =1,c =a -b =4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4. 1 (2)∵sin B-sin A= sin C, 2 ∴由正弦定理得 1 |CA|-|CB|= |AB|=2<|AB|=4, 2 即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, ∴所求的点 C 的轨迹方程为
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2

2

y2 x2- =1(x>1).
3


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