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2013年文科分类汇编11:概率与统计 2


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 11:概率与统计
一、选择题 . (2013 年高考安徽(文) )若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机

会均等,则甲或乙被 录用的概率为 A.

( B.



2 3

2 5

C.

3 5

D.

9 10

【答案】D . (2013 年高考重庆卷(文) )下图是某公 司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落

在区间[20,30)内的概率为

( A.0.2
【答案】B



B.0.4

C.0.5

D.0.6

. (2013 年高考湖南(文) )已 知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生

的概率为 . ,则

1 2

AD =____ AB
B.





A.

1 2

1 4

C.

3 2

D.

7 4

【答案】D . (2013 年高考江西卷(文) )集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概

率是 A.





2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 6

【答案】C . (2013 年高考湖南(文) )某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.

为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从 丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=___ D.____ ( ) A.9 B.10 C.12 D.13 【答案】D . (2013 年高考山东卷(文) )将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分 为 91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

8 9

7 4

7 0

1

0

x

9

1
( C.36 D. )

则 7 个剩余分数的方差为 A.

116 9

B.

36 7

6 7 7

【答案】B

. (2013 年高考四川卷(文) )某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶

图如图所示.以组距为 5 将数据分组成 [0,5) , [5,10) ,, [30,35) , [35, 40] 时,所作的频率分布直方图是

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0.04 0.03 0.02 0.01 10 20 30 40 人数

0

5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0

0

0

10

20

30

40 人数

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )从 1, 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是

( A.



1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【答案】B . (2013 年高考陕西卷(文) )对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方

图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等 品的概率为

( A.0.09
【答案】D



B.0.20

C.0.25

D.0.45

. (2013 年高考江西卷(文) )总体编号为 01,02,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,

选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为

( A.08 【答案】D B.07 C.02 D.01



. (2013 年高考辽宁卷(文) )某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为

? 20, 40 ? , ? 40, 60 ? , ?60,80 ? ,8 ? 20,100 ? ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是

( A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】B .四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论: ① y 与 x 负相关且 ? y ? 2.347 x ? 6.423 ; ③ y 与 x 正相关且 ? y ? 5.437 x ? 8.493 ; 其中一定不正确 的结论的序号是 ... A.①② B.②③ C.③④ D. ①④
【答案】D .已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:



② y 与 x 负相关且 ? y ? ?3.476 x ? 5.648 ; ④ y 与 x 正相关且 ? y ? ?4.326 x ? 4.578 .

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

?x ? a ? ?b ? .若某同学根据上表中前两组数据 (1,0) 和 ( 2,2) 求得 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y
的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是( )

? ? b?, a ? ? a? A. b
【答案】C 二、填空题

? ? b?, a ? ? a? B. b

? ? b?, a ? ? a? C. b

? ? b?, a ? ? a? D. b

. (2013 年高考浙江卷(文) )从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同

学的概率等于_________.
【答案】

1 5
5 ,则 m ? __________. 6

. (2013 年高考湖北卷 (文) ) 在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为 【答案】3

. (2013 年高考福建卷(文) )利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为

_______
【答案】

1 3 2 3

若甲、 乙、 丙三人随机地站成一排,则甲、 乙两人相邻而站的概率为____________. . (2013 年高考重庆卷 (文) )
【答案】

. (2013 年高考辽宁卷(文) )为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个

班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,则样 本数据中的最大值为____________. 【答案】10 . (2013 年上海高考数学试题(文科) )某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中,男、 女生平均分数分别为 75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________. 【答案】78 . (2013 年高考湖北卷(文) )某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________. 【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________.
【答案】

1 5

. (2013 年上海高考数学试题(文科) )盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中 任意取出两个,则这

两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示).
【答案】 三、解答题 . (2013 年高考江西卷(文) )小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以 O 为起点,再从

5 7

A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋.

(1) 写出数量积 X 的所有可能取值 (2) 分别求小波去下棋的概率和不 去唱歌的概率 .
【答案】解:(1) x

的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1.

(2)数量积为-2 的只有 OA2 ? OA5 一种 数量积为-1 的有 OA1 ? OA5 , OA1 ? OA6 , OA2 ? OA4 , OA2 ? OA6 , OA3 ? OA4 , OA3 ? OA5 六种 数量积为 0 的有 OA1 ? OA3 , OA1 ? OA4 , OA3 ? OA6 , OA4 ? OA6 四种 数量积为 1 的有 OA1 ? OA2 , OA2 ? OA3 , OA4 ? OA5 , OA5 ? OA6 四种 故所有可能的情况共有 15 种. 所以小波去下棋的概率为 p1 ? 因为去唱歌的概率为 p2 ?
. (2013 年高考陕西卷(文) )

7 15

4 4 11 ,所以小波不去唱歌的概率 p ? 1 ? p2 ? 1 ? ? 15 15 15

有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众 评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 人数

A
50

B
10 0

C
15 0

D
15 0

E
50

(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若 干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取 人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两 组被抽到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人. (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为

2 · 3

2 · 6 2 2 2 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率 P ? ? ? . 3 6 9 2 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 . 9
B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为
. (2013 年高考四川卷(文) )

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2, 3, ? , 24 这 24 个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P i (i ? 1, 2,3) ; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为

i (i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i (i ? 1, 2,3) 的频率(用分数 表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
【答案】解:(Ⅰ)变量 x 是在 1, 2, 3, ? , 24 这 24 个整数中等可能随机产生的一个数,共有 24 种可能.

当 x 从 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 P1 ? 当 x 从 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2 ? 当 x 从 6, 12, 18, 24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3 ? 所以输出 y 的值为 1 的概率为

1 ; 2

1 ; 3

1 . 6

1 1 1 ,输出 y 的 值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率为 . 2 3 6

(Ⅱ)当 n ? 2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i (i ? 1, 2,3) 的频率如下, 输出 y 的值为 1 的频率 甲 输出 y 的值为 2 的频率 输出 y 的值为 3 的频率

比 较 乙 与 概 乙 同 程序符合算法要求的可能性较大.

1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

频率趋势 率,可得 学所编写

. (2013 年高考辽宁卷(文) )现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求:

(I)所取的 2 道题都是甲 类题的概率;
【答案】

(II)所取的 2 道题不是同一类题的概率.

. (2013 年高考天津卷(文) )某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品

的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标 列表如下: 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. 【答案】

. (2013 年高考湖南(文) )某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交

叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量

Y (单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有 15 个格点, 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下 表所示: Y 频数 平均年收获量 u ? 51 2 48 4 45 6 42 3

51 ? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46 . 15 6 ? 0 .4 . 15

(Ⅱ)在 15 株中,年收获量至少为 48kg 的作物共有 2+4=6 个. 所以,15 株中任选一个,它的年收获量至少为 48k 的概率 P=

. (2013 年高考安徽(文) ) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这

两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下: 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8

5 8 7 2

5 4 6 6 5 4 0

3 2 4 9

3 2 2

3 1 0

1 1 8

0 0

0 0 1

1

6 7 5

5

0 0 8

6 0

9 2

1 2

1 2

2 3

2 3

3 6

3 6

5 9

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年 级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1 , x2 ,估计 x1 ? x2 的值.

30 30 25 5 ? 0.05 ? n ? ? 600 p? ? n 0.05 30 6 7 ? 40 ? 13 ? 50 ? 4 ? 24 ? 60 ? 9 ? 26 ? 70 ? 9 ? 22 ? 80 ? 5 ? 2 ? 90 ? 2 2084 (2) x1 ? = 30 30 5 ? 40 ? 14 ? 50 ? 3 ? 17 ? 60 ? 10 ? 33 ? 70 ? 10 ? 20 ? 80 ? 5 ? 90 2069 = x2 ? 30 30 2084 2069 15 x2 ? x1 ? ? ? ? 0.5 30 30 30
【答案】解:(1) . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,

未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市 场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

【答案】

. (2013 年高考广东卷(文) )从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:

分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有几 个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.
【答案】(1)重量在

?90,95? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; 50

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 的苹果中共抽取 4 个,则重量在 ?80,85 ? 的个数

?

5 ? 4 ?1; 5 ? 15

(3)设在 ?80,85 ? 中抽取的一个苹果为 x ,在 ?95,100 ? 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c ,从抽出的 4 个苹 果 中 , 任 取 2 个 共 有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c), ( a, b), ( a, c), (b, c) 6 种 情 况 , 其 中 符 合 “ 重 量 在 ?80,85 ? 和

?95,100 ? 中各有一个”的情况共有 ( x, a), ( x, b), ( x, c) 种;设“抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100 ? 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的概率 P( A) ?
位:千克/米 )如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
2

3 1 ? ; 6 2

. (2013 年高考山东卷(文) )某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概 率 【答案】

. (2013 年高考北京卷(文) )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表

示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一 天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:(I)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日.2 日.3 日.7 日.12 日.13 日共 6 天的空气质量优 【答案】 良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是

6 . 13 4 . 13

(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”.所以此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率为

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. . (2013 年高考福建卷(文) )某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究 工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某 月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,在将 两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80, 90) , [90,100) 分别加以统计,得 到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人 的频率.

(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表,并判断 是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名

所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3 (人), 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人),记为 B1 , B2 从 中 随 机 抽 取

2 名 工 人 , 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10

种 , 他 们

是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 其 中 , 至 少 有 名 “ 25 周 岁 以 下 组 ” 工 人 的 可 能 结 果 共 有 7 种 , 它 们 是: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?

7 10

(Ⅱ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 在 抽 取 的 100 名 工 人 中 ,“ 25 周 岁 以 上 组 ” 中 的 生 产 能 手 60 ? 0.25 ? 15 (人),“ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15 (人),据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计

25 周岁以上组 25 周岁以下组
合计 所以得: K 2 ?

15 15 30

45 25 70

60 40 100

n(ad ? bc) 2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” . (2013 年高考大纲卷(文) )甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束 时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率;(II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率.
【答案】(Ⅰ)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”,

1 , 各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当 2

A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”,
A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 则 A=A1 ? A2 .

P ( A)=P(A1 ? A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ?

1 . 4

(Ⅱ)记 B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜”,

B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”,
B 表示事件“前 4 局中恰好当 1 次裁判”. 则 B ? B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 .

P ( B ) ? P ( B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 ) ? P ( B1 ? B3 ) ? P ( B1 ? B2 ? B3 ) ? P ( B1 ? B2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B3 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ? P ( B3 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) 1 1 1 ? ? 4 8 4 5 ? . 8 ?
. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )(本小题满分共 12 分)

为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药, 20 位患者 服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h ),试验的观测结果如 下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4 1.3 2.7 1.4 0.5

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

【答案】(本小题满分共 12 分)

(1) 设 A 药观测数据的平均数为

,B 药观测数据的平均数为

,又观测结果可得

x

?

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, 20

1 (0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 ? 1.8 ? 1.9 ? 2.1 y 20 ?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2 ? 1.6 ?
由以上计算结果可得 > ,因此可看出 A 药的疗效更好

x

y

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 8 5 5 2 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 5 2 1 0 0. 1. 2. 3. B药 5 5 6 8 9 1 2 2 3 4 6 7 8 9 1 4 5 6 7 2

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有 中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. .(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 9 分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各 2 分)

7 的叶集 10

从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料, 算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
n

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

? ?a ?. 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? y ? bx

2012 高考文科试题解析分类汇编:概率
1.【2012 高考安徽文 10】袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

( D)

4 5

【答案】B 【解析】1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3 从袋中任取两球共有

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1 ; a1 , c2 ; a1 , c3 ; b1 , b2 ; b1 , c1 ; b1 , c2 ; b1 , c3 b2 , c1 ; b2 , c2 ; b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3 6 2 ? 15 5

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于

2.【2012 高考辽宁文 11】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为 :(A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm ,
2

由 x(12 ? x) ? 20 ,解得 2 ? x ? 10 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为
2

2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档 题。 3.【2012 高考湖北文 10】如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇 形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

A. 【答案】C

B.

.

C.

D.

【解析】如图,不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块阴影部分的面积分别为 S3,S4,

则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB=

1 ? (2a ) 2 ? ? a 2 ①, 4

而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆,即 S1+S3 +S2+S3 ? ? a 2 ②. ①-②得 S3=S4,由图可知 S3= ( S扇形EOD ? S扇形COD ) ? S正方形OEDC ? 由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=

1 2 ? a ? a 2 ,所以. S阴影 ? ? a 2 ? 2a 2 . 2

S阴影 S扇形OAB

?

? a 2 ? 2a 2 2 ? 1? . 2 ?a ?

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将 不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 4.【2102 高考北京文 3】设不等式组 ? 坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( A)

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ?0 ? y ? 2
4 ?? 4

?
4

(B)

? ?2
2

(C)

?
6

(D)

【答案】D 【解析】题目中 ?

? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率。 5.【2012 高考浙江文 12】从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点 间的距离为

2 的概率是___________。 2

【答案】

2 5 C1 4 2 2 ,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为 4 ? ? . 2 C52 10 5

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。 【解析】若使两点间的距离为

6.【2012 高考重庆文 15】某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课 各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率

为 【答案】

(用数字作答) 。

1 5
3

【解析】先排其他三门艺术课有 A3 种排法,再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺术课隔开的四 个空中,有 A4 种排法,所以所有的排法有 A3 A4 。6 节课共有 A6 种排法。所以相邻两节文化课至少间隔 1 节艺术课的概率为
3 3 A3 A4 1 ? 。 6 5 A6 3 3 3 6

7.【2012 高考上海文 11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有 两位同学选择的项目相同的概率是 【答案】 (结果用最简分数表示)

2 . 3
2 2 2

【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有 C 3 C 3 C 3 ? 27 中,若有且仅有两人选择的项目完成相同, 则有 C 3 C 3 C 2 ? 18 ,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为
2 2 1

18 2 ? 。 27 3

8.【2012 高考江苏 6】 (5 分)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 【答案】 ▲ .

3 。 5

【考点】等比数列,概率。 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数,1 个正 数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是

6 3 = 。 10 5

9.【2012 高考江苏 25】 (10 分)设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,

? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 .
(1)求概率 P (? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 【答案】解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱, ∴共有 8C32 对相交棱。 ∴ P (? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对,

∴ P (? ? 2)=

4 1 6 6 6 1 ? ? , P (? ? 1)=1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 2)=1 ? ? = 。 2 11 11 11 C12 66 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P (? )
∴其数学期望 E (? )=1 ?

0

1

2 1 11

4 11

6 11

6 1 6? 2 。 ? 2? = 11 11 11

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】 (1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P (? ? 0) 。 (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P (? ? 2) ,从而求出 P (? ? 1) (两条棱平行 且距离为 1 和两条棱异面) ,因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望。 10. 【2012 高考新课标文 18】 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩 下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函 数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润 不少于 75 元的概率. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是 简单题. 【解析】 (Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天 的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ? 10 ? 65 ? 20 ? 75 ? 16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
11.【2012 高考四川文 17】(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故

障的概率分别为

1 和p。 10 49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 命题立意:本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识,考查实际问题的数学建模能力,数据 的分析处理能力和基本运算能力. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C)=1-

1 49 P= 10 50

,解得 P=

1 ………………………………6 分 5

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件 D, 那么 P(D)= C 3
2

1 1 1 972 243 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 3 ? ? 10 10 10 1000 250 243 . ………………12 分. 250

答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方 法解决实际问题的能力. 12.【2102 高考北京文 17】 (本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分 别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨 生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物” 箱 100 240 20 “其他垃圾” 箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a>0,
2 ,并求此时 s 的值。 a ? b ? c =600。当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明)

(注: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数) n

考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求 说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确。 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃 400+240+60 圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A ),约为 =0.7 。所以 P(A)约为 1-0.7=0,3。 1000 1 2 (3)当 a ? 6 0 0 , b ? c ? 0 时, S 取得最大值.因为 x ? ( a ? b ? c) ? 200 , 3

所以 S 2 ?

1 [(600 ? 200) 2 ? (0 ? 200) 2 ? (0 ? 200) 2 ] ? 8000 . 3

13.【2012 高考湖南文 17】 (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关 数据,如下表所示.
一次购物量 顾客数(人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x

y
2.5

结算时间(分钟/人) 1

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 【解析】 (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次购物的结算时间 组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次 购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:

1? 15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ? 10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1 , A2 , A3 分别表示事件“该顾客一次购 物的结算时间为 1 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P ( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P ( A2 ) ? ? , P ( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件, ? P ( A) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10
【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中 的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%,知 25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,再用样本估计 总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从 而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率. 14.【2012 高考山东文 18】(本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号 之和小于 4 的概率. 【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红
2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于

4 的有 3

种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多出 5 种情况:红
1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有

15 种情况,其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8

种情况,所以概率为 P ?

8 . 15

15.【2012 高考全国文 20】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次, 依 次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 , 各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率。 【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况,然后对于事件 的情况分析,讨论,并结合独立事件的概率求解结论。 解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜” ,i=1,2,3,则 P ( A1 ) ? 0.6, P ( A2 ) ? 0.6, P ( A3 ) ? 0.4 。 (Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,由互斥事件有一 个发生的概率加法公式得

P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352 。
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)五次发球甲领先时的比分有: 3 :1, 4 : 0 这两种情况 开始第 5 次发球时比分为 3 :1 的概率为:
2 1 1 2 C2 0.62 ? C2 0.4 ? 0.6 ? C2 0.6 ? 0.4 ? C2 0.42 ? 0.1728 ? 0.0768 ? 0.2496

开始第 5 次发球时比分为 4 : 0 的概率为:
2 2 C2 0.62 ? C2 0.42 ? 0.0576

故求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率为 0.2496 ? 0.0576 ? 0.3072 。 【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论 的思想的运用。情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时间,容易丢情况。 16.【2012 高考重庆文 18】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球 3 次时投篮结束, 设甲每次投篮投中的概率为

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响。 (Ⅰ)求乙获胜的概率; 3 2

(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率。

独立事件同时发 生的概率计算公式知 p ( D ) ? p ( A1 B1 A2 B2 ) ? p ( A1 B1 A2 B2 A3 )

2 1 2 1 1 4 ? p ( A1 ) p ( B1 ) P ( A2 ) P ( B2 ) ? p ( A1 ) p ( B1 ) P ( A2 ) P ( B2 ) p ( A3 ) ? ( ) 2 ( ) 2 ? ( ) 2 ( ) 2 ? 3 2 3 2 3 27
17.【2012 高考天津文科 15】 (本小题满分 13 分) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生 进行视力调查。 (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。 (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率。 【解析】 (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 21:14 : 7 ? 3 : 2 :1 得:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3, 2,1 (2) (i)设抽取的 6 所学校中小学为 A1 , A2 , A3 ,中学为 A4 , A5 ,大学为 A6 ; 抽取 2 所学校的结果为: { A1 , A2 },{ A1 , A3 },{ A1 , A4 },{ A1 , A5 },{ A1 , A6 } ,

{ A2 , A3 },{ A2 , A4 },{ A2 , A5 },{ A2 , A6 },{ A3 , A4 },{ A3 , A5 },{ A3 , A6 }, { A4 , A5 },{ A4 , A6 },{ A5 , A6 } 共 15 种;
(ii)抽取的 2 所学校均为小学的结果为: { A1 , A2 },{ A1 , A3 },{ A2 , A3 } 共 3 种 抽取的 2 所学校均为小学的概率为

3 1 ? 15 5

18.【2012 高考陕西文 19】 (本小题满分 12 分) 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中 分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中, ,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率。 【解析】 (Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为

5 ? 20 1 ? ,用频率估计概率,所以, 100 4

1 . 4

(Ⅱ)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌产品

75 15 , ? 145 29 15 用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29
是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 19.【2012 高考江西文 18】 (本小题满分 12 分) 如图,从 A1(1,0,0) ,A2(2,0,0) ,B1(0,1,0,)B2(0,2,0) , C1(0,0,1) ,C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点。

(3)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (4)求这 3 点与原点 O 共面的概率。 【解析】 (1)总的结果数为 20 种,则满足条件的种数为 2 种所以所求概率为

2 1 ? 20 10

(2)满足条件的情况为 ( A1 , A2 , B1 ) , ( A1 , A2 , B2 ) , ( A1 , A2 , C1 ) , ( A1 , A2 , C2 ) , ( B1 , B2 , C1 ) ,

( B1 , B2 , C2 ) ,所以所求概率为

6 3 ? . 20 10

概率与统计(文)
江苏 5.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为______ 答案:

1 3 ? ??
( B)

安徽文(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( A)

? ?

( C)

? ?

( D)

? ?

D 安徽文(20) (本小题满分 10 分) 年份 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 2002 2004 2006 2008 236 246 257 276 (Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. (20) (本小题满分 10 分)本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,回归直线的意义和求法,数据处理 的基本方法和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解: (I)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直线方程,为此对数据预处 理如下: 对预处理后 年份—2006 -4 -2 0 2 4 的数据,容易 需求量—257 -21 -11 0 19 29 算得 2010 286

需求量(万吨)

x ? 0, y ? 3.2, (?4) ? (?21) ? (?2) ? (?11) ? 2 ? 19 ? 4 ? 29 260 b? ? ? 6.5, 40 42 ? 22 ? 22 ? 42 a ? y ? b x ? 3.2.
由上述计算结果,知所求回归直线方程为
?

y ? 257 ? b( x ? 2006) ? a ? 6.5( x ? 2006) ? 3.2,
即 y ? 6.5( x ? 2006) ? 260.2.
?



(II)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为

6.5(2012 ? 2006) ? 260.2 ? 6.5 ? 6 ? 260.2 ? 299.2 (万吨)≈300(万吨).
北京文 16. (本小题共 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x 2 ,? , x n 的平均数) n

(16) (共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16
(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同学 为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,B4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,B4) , (A3,B1) , (A2,B2) , (A3,B3) , (A1,B4) , (A4,B1) , (A4,B2) , (A4,B3) , (A4,B4) , 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是: (A1,B4) , (A2,B4) , (A3,B2) , (A4,B2) ,故所求概率为 P (C ) ?

4 1 ? . 16 4

福建文 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数 为 A. 6 B.8 C.10 D.12 B 福建文 7.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的重点,若在矩形 ABCD 内部随 机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 4 1 C. 2
A.

1 3 2 D. 3
B.

C 福建文 19. (本小题满分 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1.2.3.4.5.现从一批该日用品中 随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 a 2 0. 2 3 0.45 4 b 5 C

(I)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 4 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值;

(11) 在 (1) 的条件下, 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3, 等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2, 现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能 的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。 19.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方 程思想、分类与整合思想、必然与或然思想,满分 12 分。 解: (I)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1, 即a+b+c=0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 所以 b ?

3 ? 0.15, 20 2 ? 0.1 , 20

等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1.

(II)从日用品 x1 , x2 , y1 , y2 中任取两件, 所有可能的结果为:

{x1 , x2 },{x1 , x3 },{x1 , y1},{x1 , y2 },{x2 , x3 },{x2 , y1},{x2 , y2 },{x3 , y1},{x3 , y2 },{ y1 , y2 } ,
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含的基本事件为:

{x1 , x2 },{x1 , x3 },{x2 , x3 },{ y1 , y2 } 共 4 个,
又基本事件的总数为 10, 故所求的概率 P ( A) ?

4 ? 0.4. 10

广东文 13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号 每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 1 0.4 2 0.5 3 0. 6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月 6 号打篮球 6 小时的 投篮命中率为________. 0.5, 0.53 广东文 17. (本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且 前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率。 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)? x ?

1 6 ? xn ? 75 6 n ?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

5

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x) 2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n ?1 6

? s ? 7.
(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, 故所求概率为

2 . 5

湖北文 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本 数据落在区间 ? ?10,12 ? 内的频数为 A.18 B.36 C.54 D.72 B 湖北文 11.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情况,现 按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。 20 湖北文 13.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期 饮料的概率为__________。 (结果用最简分数表示)

28 145
湖南文 5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由K ?
2

女 20 30 50
2

总计 60 50 110

40 20 60 算得, K ?

n(ad ? bc) 2 (a ? d )(c ? d )(a ? c)(b ? d )

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50

附表:

p( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是 A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关” A

湖南文 15.已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25.
2 2

(1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率 为 . (1)5(2)

1 6

湖南文 18. (本小题满分 12 分) 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份是我 降雨量 X(单位:毫米)有关,据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为:140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求今年六 月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 18. (本题满分 12 分) 解: (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个,故 近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

(II)P( “发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时” )

? P (Y ? 490或Y ? 530) ? P ( X ? 130或X ? 210) ? P ( X ? 70) ? P ( X ? 110) ? P ( X ? 220) 1 3 2 3 ? ? ? ? . 20 20 20 10
故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为

3 . 10

江西文 7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制) 如图所示,假设得分值的中位数为 mE ,众数为 ma ,平均值为 x,则 A. me ? ma ? x B. me ? ma ? x C. me ? ma ? x D. ma ? me ? x D 江西文 8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如下 父亲身高 x (cm) 174 176 176 176 178

儿子身高 y (cm) A. y ? x ? 1 C. y ? 88 ?

175

175

176 B. y ? x ? 1

177

177

则 y 对 x 的线性回归方程为

1 x 2

D. y ? 176

C 江西文 16. (本小题满分 12 分) 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完 全相同,并且其中的 3 杯为 A 饮料,另外的 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中 选出 3 杯 A 饮料。若该员工 3 杯都选对,测评为优秀;若 3 杯选对 2 杯测评为良好;否测评为合格。 假 设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求此人被评为优秀的概率 (2)求此人被评为良好及以上的概率 16. (本小题满分 12 分) 解:将 5 不饮料编号为:1, 2,3,4,5,编号 1,2,3 表示 A 饮料,编号 4,5 表示 B 饮料,则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为: (123) , (124) , (1,2,5) , (134) , (135) , (145) , (234) , (235) , (245) , (345)可见共有 10 种 令 D 表示此人被评为优秀的事件, E 表示此人被评人良好的事件, F 表示此人被评为良好及以上的事件。 则

1 10 3 7 (2) P(E) ? , P(F) ? P(D) ? P(E) ? 5 10
(1) P(D) ? 辽宁文(14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显示年

? ? 0.254 x ? 0.321 . 收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y
由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加____________万元. 0.254 辽宁文(19) (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验. 选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地 种植品种乙. (I)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产 量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均数. n 19.解: (I)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2,第二大块地中的两小块地编号为 3,4, 令事件 A=“第一大块地都种品种甲”. 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个; (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4). 而事件 A 包含 1 个基本事件: (1,2).
附:样本数据 x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的的样本方差 s 2 ?

所以 P ( A) ?

1 . 6

………………6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大, 故应该选择种植品种乙. 全国文 19. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率 为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率; (II)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 19.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。 (I) P ( A) ? 0.5, P ( B ) ? 0.3, C ? A ? B, …………3 分 …………6 分 …………9 分 …………12 分

P (C ) ? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.8.
(II) D ? C , P ( D ) ? 1 ? P (C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2,
1 P ( E ) ? C3 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.384.

??

全国课标文(6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) ( A) (

1 ) 3

(B)

1 2

(C)

2 3

( D)

3 4

A 全国课标文(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产 品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每 产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表
指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

频数 指标值分组 频数

8 [90,94) 4

20 [94,98) 12

42

22 [102,106) 32

8 [106,110] 10

B 配方的频数分布表
[98,102) 42

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

??2, t ? 94 ? y ? ?2,94 ? t ? 102 ?4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利 润. (19)解 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 优质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ)由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果知, 质 量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的产品的 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的 100

1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4) ? 2.68 (元) 100
山东文 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 B 山东文 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾向, 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 该 校 这 四 个 专 业 共 抽 取 40 名 学 生 进 行 调 查 , 应 在 丙 专 业 抽 取 的 学 生 人 数 为 . 16 山东文 18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同的 概率; (II) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. 18.解: (I)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示; 乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D) (A,E) , (A,F) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F)共 9 种。

从中选出两名教师性别相同的结果有: (A,D) , (B,D) , (C,E) , (C,F)共 4 种, 选出的两名教师性别相同的概率为 P ?

4 . 9

(II)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B) , ( A , C) , (A,D) , (A,E) , ( A, F ) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 15 种, 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B) , ( A , C) , (B,C) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 6 种, 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P ?

6 2 ? . 15 5

陕西文9.设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), · · · , ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 次方个样本点,直线 l 是由这些样本点通过 最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以下结论正确的是 A.直线 l 过点 ( x, y ) B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 A 陕西文 20. (本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查,调 查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(Ⅰ)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (Ⅱ)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (Ⅲ)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的时间内赶 到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的 路径。 20.解(Ⅰ)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人, ? 用频率估计相应的概率为 0.44. (Ⅱ )选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为: 所用时间(分 钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0. 1 0 20~30 0. 2 0. 1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(Ⅲ)A1,A2,分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站。 由(Ⅱ)知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6 P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2) ? 甲应选择 L1 P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1) , ∴ 乙应选择 L2.

上海文 10. 课题组进行城市农空气质量调查, 按地域把 24 个城市分成甲. 乙. 丙三组, 对应城市数分别为 4 .

12 . 8 。若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为
2 上海文 13.随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 结果精确到 0.001 ) 。



(默认每月天数相同,

0.985 四川文 2.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占 2 1 1 2 ( A) ( B) ( C) ( D) 11 3 2 3 答案:B 四川文 12.在集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b) ,从所有得 到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 n, m 其中面积等于 2 的平行四边形的个数为 m,则 ? n 2 1 4 1 ( A) ( B) ( C) ( D) 15 5 15 3 答案:B 四川文 17. (本小题共 l2 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车 不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、 1 1 乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) .设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 、 ; 4 2 1 1 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 、 ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4 (Ⅰ)分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率. 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算,考查运用所学知识和方法解决实际问 题的能力. 解: (Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 A、B,则 1 1 1 1 1 1 P( A) ? 1 ? ? ? , P( A) ? 1 ? ? ? . 4 2 4 2 4 4 1 1 答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 、 . 4 4 (Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 P(C ) ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ) ? . 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4 3 答:甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为 4 天津文 15. (本小题满分 13 分) 编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

运动员编号 得分 区间 人数

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格;

?10, 20 ?

? 20,30 ?

?30, 40?

(Ⅱ)从得分在区间 ? 20,30 ? 内的运动员中随 机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率. (15) 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、 古典概型及其概率计算公式的等基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力,满分 13 分。 (Ⅰ)解:4,6,6 (Ⅱ) (i)解:得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A10 , A11 , A13 . 从中随机抽取 2 人,所有可 能的抽取结果有:

{ A3 , A 4 },{ A3 , A5 },{ A3 , A10 },{ A3 , A11 },{ A3 , A13 },{ A4 , A5 }, { A4 , A10 } , { A4 , A11 },{ A4 , A13 },{ A5 , A10 },{ A5 , A11 },{ A5 , A13 },{ A10 , A11 },{ A10 , A13 },{ A11 , A13 } ,共 15 种。
(ii)解: “从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B) 的所有可能结果有: { A4 , A5 },{ A4 , A10 },{ A4 , A11 },{ A5 , A10 },{ A10 , A11 } ,共 5 种。 所以 P ( B ) ?

5 1 ? . 15 3
B.

浙江文(8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 A.

1 10

3 10

C.

3 5

D.

9 10

D 浙江文(13)某小学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名 学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图) 。根据频率分布直方图推测 3000 名学 生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_____________________

600 重庆文 4.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克)

125

120

122

105

130

114

116

95

120

134

则样本数据落在 [114.5,124.5) 内的频率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 C 重庆文 14.从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动,则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为

7 30
重庆文 17. (本小题满分 13 分, (I)小问 6 分, (II)小问 7 分) 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其 中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (I)没有人申请 A 片区房源的概率; (II)每个片区的房源都有人申请的概率。 17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题。 (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种。 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A,则

24 16 P ( A) ? 4 ? . 81 3
解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) ?

1 . 3

由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,没有人申请 A 片区房源的概率为

16 0 1 0 2 4 P4 (0) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 81
(II)所有可能的申请方式有 34 种,而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 (或C4 C3 ) 种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B,从而有

P( B) ?

1 2 1 2 3 C3 C4 C2 36 4 C4 A3 4 ? ? ( 或 P ( B ) ? ? ). 4 4 4 9 9 3 3 3


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