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绍兴一中2013-2014学年高二下学期期末考试 数学理_图文

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浙江省绍兴市第一中学 2013-2014 学年高二下学期期末考试 数学(理)试题
京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ? x ? 1 ? x ? 1? ,则 A B ? A. ?0? B. ?0,1? C.

??1, 0?
2

D. ??1, 0,1?

2. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? 2 x ? x ,则 f (?) ? A. ?? B. ?? C.1 D.3
[来源:]

3. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |?| b |? 1 ,则 | a ? b |? 4.设 ?an ? 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a4 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设 m,n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出下列命题,正确的是 A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? m , ? ? ? n , m//n ,则 ? // ?
[来

A.0

B.1

C .2

D. 2

.Com]

6. 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 可能的值为

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个

4 8 4 8 2 2 2 7.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c ? a ? b ? 2ab cos 2C , 则?C 的
可能取值为

A.

?

B.

?

C. ?

?

D. ?
源:学科

?

? ? D. 6 3 1 2 4026 ? ? ? ? ? ? ? 4027 ? 8.设函数 f ( x) ? x ? sin ?x ,则 f ? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ? 的值为 ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ? A. 4027 B.2014 C.2013 D.0 2 2 x y 9.已知 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左焦点,A 为右顶点,上下虚轴端点 B、C,若 FB 交 CA 于 D,且 a b 5 | DF |? | DA | ,则此双曲线的离心率为 2 2 3 5 A . 3 B. C. D. 5 3 2
A.

5? 6

B.

? 2

C.

10.球 O 为边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球,P 为球 O 的球面上动点,M 为 B1C1 中点, DP ? BM ,则点 P 的轨迹周长为 A .

3 ? 3

B.

2 3 ? 3

C.

2 5 ? 5

D.

4 5 ? 5

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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 5? 11. cos 的值等于 ▲ . 6 12.一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视 图都是半径为 1 的圆,且这个几何体是实心球体的一部分, 则这个几何体的表面积为 ▲ .

? ?2 x ? y ? 0 ? 13.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 2 x ? y 的最 ? 9 ? y ? ?x ? ? 4
小值为 ▲ . 14.已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若

ak1 , ak2 , ak3 ,
则 k4 ?

, akn ,
▲ .

成等比数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 ,

15.已知直角坐标平面上任意两点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,定义

? ? x2 ? x1 , x2 ? x1 … y2 ? y1 . d ? P, Q ? ? ? ? ? y2 ? y1 , x2 ? x1 < y2 ? y1 当平面上动点 M ? x, y ? 到定点 A ? a, b ? 的距离满足 MA ? 4 时,则

A

d ? M , A ? 的取值范围是
??





C

16. 如图, 在扇形 OAB 中, C 为弧 AB 上的一个动点. 若 ?AOB ? 60? ,

OC ? x OA? y OB ,则 x ? 4 y 的取值范围是

??

??





O
(第 16 题)

B

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足 cos 2 B ? ? (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

1 2

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列;

5 , 3an ?1 ? an ? 2 . n ? N * 3

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(Ⅱ)若 a1 ? a2 ?

? an ? 100 ,求最大的正整数 n .

19. (本题满分 10 分) 如图所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩 A 形, 四边形 BCEF 为直角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (Ⅰ)求证 : AF // 平面 CDE ; (Ⅱ)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值.

D

C

E F

B

20. (本题满分 10 分) 已知椭圆 C :

且 ?PF1 F2 的周长为 6.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 P 在椭圆上, a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 (2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 不同两点,设线段 AB 的 中点为 M ,且 M , O, P 三点共线.设点 P 到直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 已知 a, b, c, d 是不全为 0 的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,
2

g ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ,方程 f ( x) ? 0 有实根,且 f ( x) ? 0 的实数根都是 g ( f ( x)) ? 0 的根, 反之, g ( f ( x)) ? 0 的实数根都是 f ( x) ? 0 的根. (Ⅰ)求 d 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, f (?1) ? 0 ,求 c 的取值范围.

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一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ? x ? 1 ? x ? 1? ,则 A B ? ( C ) A. ?0? B. ?0,1? C.

??1, 0?

D. ??1, 0,1?

2. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? 2 x 2 ? x ,则 f (?) ? ( A ) A. ?? B. ?? C.1 D.3 3. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |?| b |? 1 ,则 | a ? b |? ( D ) 4.设 ?an ? 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a4 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5. 设 m,n 是两条不同的直线,? 、 ? 、? A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? A.0 B.1 C .2 D. 2
.Com]

B )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 是三个不同的平面,给出下列命题,正确的是( B ) B.若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? m , ? ? ? n , m//n ,则 ? // ?
[来

6. 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 可能的值为( A ) A.

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个

?

4 8 4 8 2 2 2 7.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c ? a ? b ? 2ab cos 2C , 则?C 的
可能取值为( D )

B.

?

C. ?

?

D. ?
源:学科

?

? ? D. 6 3 ? 1 ? ? 2 ? ? 4026 ? ? 4027 ? 8.设函数 f ( x) ? x ? sin ?x ,则 f ? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ? 的值为 ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?
A.

5? 6

B.

? 2

C.

( A ) A. 4027
2

B.2014
2

C.2013

D.0

9.已知 F 是双曲线

x y ? 2 ? 1 的左焦点,A 为右顶点,上下虚轴端点 B、C,若 FB 交 CA 于 D,且 2 a b

| DF |?

5 | DA | ,则此双曲线的离心率为( B ) 2 2 3 A . 3 B. C. 3

5 2

D. 5

10.球 O 为边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球,P 为球 O 的球面上动点,M 为 B1C1 中点, DP ? BM ,则点 P 的轨迹周长为( D ) A .

3 ? 3

B.

2 3 ? 3

C.

2 5 ? 5

D.

4 5 ? 5

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

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A

C

O
(第 16 题)

B

? ? x2 ? x1 , x2 ? x1 … y2 ? y1 . d ? P, Q ? ? ? y ? y , x ? x < y ? y ? 2 1 2 1 2 1 ? 当 平面上 动点 M ? x, y ? 到 定点 A ? a, b ? 的 距 离满足 MA ? 4 时 ,则 d ? M , A ? 的 取 值范围是
▲ . ? 2 2, 4 ?

?

?
??

16.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上的一个动点.若 OC ? x OA? y OB ,则 x ? 4 y 的取值范围是 ▲ . [1,4] 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足 cos 2 B ? ? (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

??

??

1 2

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 10 分)

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已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (Ⅱ)若 a1 ? a2 ?

5 , 3an ?1 ? an ? 2 . n ? N * 3

? an ? 100 ,求最大的正整数 n .
D A

C

E F

B

19. (本题满分 10 分) 如图所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (Ⅰ)求证 : AF // 平面 CDE ; (Ⅱ)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值.

四边形 BCEF 为直角 梯形,四边形 ABCD 为矩形, ? EP ? CD , EP ? CE ,又 CD CE ? C , ? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE , 又 平面 ADE 平面 BCEF ? EP , ? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角.

DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?

CE 2 . ? DE 2

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2 . 2 (法二) (Ⅰ) 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, z ? BC ? CE , BC ? CD , D 又 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且
即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为
A

C

o
F

E y

B x

??2 x1 ? 0 , 取 z1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1,1) . ?? ?4 y1 ? 4 z1 ? 0 DC ? 平面 BCEF , ? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0, 0, 4) , 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,
则 cos ? ?

CD ? n1 CD ? n1

?

4 2 . ? 2 4? 2

因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 20. (本题满分 10 分) 已知椭圆 C :

2 . 2

且 ?PF1 F2 的周长为 6.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 P 在椭圆上, a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 (2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 不同两点,设线段 AB 的 中点为 M ,且 M , O, P 三点共线.设点 P 到直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围. 解:(Ⅰ)由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知: 点 M 在 x 轴上,且原点 O 不重合,显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件.

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所以可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , 由?

? y ? kx ? m
2 2

?3 x ? 4 y ? 12 2 2 2 2 则 ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 , 即 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
8km 4m 2 ? 12 4km 3m 且 x1 ? x2 ? ? 2 ,则点 M (? 2 , x1 x2 ? , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 3m ?2km 3 因为 M , O, P 三点共线,则 kOM ? kOP ,即 2 ,而 m ? 0 ,所以 k ? ? ? 2 4k ? 3 4k ? 3 2 2 2 2 此时方程①为 3 x ? 3mx ? m ? 3 ? 0 ,且 12 ? m ? 0, | 8 ? 2m | 2 | m ? 4 | 因为 d ? ? 13 32 ? 22
所以 d ? ?

消去 y 并整理得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ??①

? 8 13 ? 4 39 8 13 ? 4 39 ? , ? ? ? 13 13 ? ?
2

21. (本题满分 12 分) 已知 a, b, c, d 是不全为 0 的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,

g ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ,方程 f ( x) ? 0 有实根,且 f ( x) ? 0 的实数根都是 g ( f ( x)) ? 0 的根, 反之, g ( f ( x)) ? 0 的实数根都是 f ( x) ? 0 的根. (Ⅰ)求 d 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, f (?1) ? 0 ,求 c 的取值范围.
解(Ⅰ)设 x0 是 f ? x ? ? 0 的根,那么 f ? x0 ? ? 0 ,则 x0 是 g ( f ( x)) ? 0 的根,则 g ? ? f ? x0 ? ? ? ? 0, 即

g ? 0 ? ? 0 ,所以 d ? 0 .

(Ⅱ) a ? 3, f (?1) ? 0 ,所以 b ? c ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 的根为 0 和-1, ①当 c ? 0 时,则 b ? 0, 这时 f ? x ? ? 0 的根为一切实数,而 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 ,所以 c ? 0, 符合要求. 当 c ? 0 时 , 因 为 3 cx ? cx
2 2

?

?

2

? c ? cx 2 ? cx ? ? c =0 的 根 不 可 能 为 0 和 ?1 , 所 以
2

3 ? cx 2 ? cx ? ? c ? cx 2 ? cx ? ? c 必无实数根,
c 1? c c ? 2 ②当 c ? 0 时,t = cx ? cx = c ? x ? ? ? ? ? ,即函数 h ? t ? ? 3t ? ct ? c 在 t ? ? ,h ? t ? ? 0 4 2? 4 4 ?
2

c2 c2 ? c? ? c? ? 0, 所 恒成立,又 h ? t ? ? 3t ? ct ? c ? 3 ? t ? ? ? c ? ,所以 h ? t ?min ? h ? ? ? ? 0 ,即 c ? 12 12 ? 6? ? 6? 以 0 ? c ? 12 ;
2

2

c 1? c c ? 2 ③当 c ? 0 时,t = cx ? cx = c ? x ? ? ? ? ? ,即函数 h ? t ? ? 3t ? ct ? c 在 t ? ? ,h ? t ? ? 0 4 2? 4 4 ?
2

2

c2 ? c? ? c? 恒成立,又 h ? t ? ? 3t ? ct ? c ? 3 ? t ? ? ? c ? ,所以 h ? t ?min ? h ? ? ? ? 0 , 12 ? 6? ? 4? 2 c ? 16c ? 0 ,而 c ? 0 ,舍去 综上,所以 0 ? c ? 12 .
2

2

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