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变化率问题教案


3.1.1 变化率问题 一、教学目标
重点: 通过实例,让学生明白变化率在实际生活中的需要,探究和体验平均变化率的实际意义和数学意 义;函数平均变化率的概念. 难点:如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越 来越慢?”函数平均变化率的概念理解. 知识点:平均变化率的概念及其求法. 能力点:使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径:背景——数学表示——应用,培养学生独立思考, 解决问题的能力和在生活中建立数学模型 ,用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 教育点: 使学生通过学习, 了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法, 鼓励学生主动探究、 不惧困难,勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究—总结型的学习习惯. 自主探究点:平均速度和瞬时速度的区别和联系. 考试点:平均变化率的概念及其求法. 易错易混点:函数值的增量的理解和计算. 拓展点:瞬时速度和瞬时变化率.

二、复习引入
创设情境: 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越 来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 【设计意图】通过熟悉的生活体验,提炼出数学模型,从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景. 设计说明:老师准备两个气球,请两位同学出来吹,请观看同学谈谈看见的情景;再请吹气球同学谈谈吹 气球过程的感受,开始与结束感受是否有区别? 【设计意图】让学生吹气球,可以增加课堂气氛,同时加深学习导数的印象.对一种生活现象的数学解析, 可以激发学生深入探究的兴趣,而且让学生感到数学是有用的.

三、探究新知
学生演示吹气球过程,谈感受,老师点评. 得出结论:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 探究一: “随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢” ,从数学的角度该如何描述? 【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的,并非强加于人的,从而激发他们学习的兴趣与 愿望. 说明:(1)组织学生讨论问题,阐述想法; (2)引导学生“以已知探求未知” ,从气球体积出发,寻求想法; (3)师生共同确定想法:①气球体积 V 与气球半径 r 之间的关系 r (V ) ?
3

3V ;②"随着气球体积的增大, 4?

当气球体积增加量相同时,相应半径的增加量越来越小",从数学角度进行描述就是, “随着气球体积的 增大,比值

半径的增加量 半径的增加量 越来越小” .③比值 就是气球的平均膨胀率. 体积的增加量 体积的增加量

提出问题: 请分别计算V从0增加到1L时,从1L增加到2L的平均膨胀率.

【设计意图】 (1)让学生体会需要用数字来说明问题;学生计算,交流计算结果,并讨论结果代表的意思; (2)让学生感受气球膨胀率大小的变化,从而体会平均膨胀率可以刻划气球半径变化的快慢. 分析: r (V ) =
3

3V , 4p
0.62(dm)

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) - r (0) 气球的平均膨胀率为

r (1) - r (0) ? 0.62(dm / L) 1- 0

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) - r (1) 气球的平均膨胀率为

0.16(dm)

r (2) - r (1) ? 0.16(dm / L) 2- 1

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) - r (V1 ) V2 - V1

【设计意图】把问题 1 中的具体数据运算提升到一般的字母表示,体现从特殊到一般的数学思想,为归纳 函数平均变化率概念作铺垫. 探究二:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 .如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态?
【设计意图】高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度,而运动速度是学生非常熟悉的物 理知识,这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰.通过计算为归纳函数平均变 化率概念提供又一重要背景. 说明:教师播放郭晶晶、吴敏霞在 2008 年北京奥运会上跳水比赛录像,让学生在情景中感受速度变化. 思考计算:如何计算运动员的平均速度?并分别计算 0 #t 0.5 和 1 #t 2 时间段里的平均速度. 在 0 #t 在 1 #t

h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) ; 0.5 - 0 h(2) - h(1) = - 8.2(m / s ) . 2 这段时间里, v = 2- 1
0.5 这段时间里, v =

h

【设计意图】再次通过计算,理解平均变化率. 探究:计算运动员在 0 #t

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
o t

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,结合图形可知, h(
2

65 ) = h(0) , 49

65 ) - h(0) 49 所以 v = = 0( s / m) , 65 - 0 49 65 虽然运动员在 0 #t 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 49 h(

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 设计意图:这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要性,为从平均变化率到瞬时变化率(即 导数)做好准备,为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.让学生就此探究进行思考、展开讨论,激发 他们的认知需求,自然地进入导数概念的学习. 设计说明: (1)让学生亲自计算和思考,展开讨论; (2)老师慢慢引导学生说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上. (3)得到结论是:①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态. ② 需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态;

定义:平均变化率概念:
上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) - f ( x1 ) 表示, 称为函数 f ( x ) 从 x1 到 x2 的平均变化率 x2 - x1

设计意图:让学生在经历从实例到抽象概括出变化率的过程中,感受数学的思想,认识数学的本质,主动 参与数学教学活动的基本理念. 若设 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1 + ?x 代替 x2 , 同样 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ),则平均变化率为

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

四、理解新知
说明:(1) ?x 是一个整体符号,而不是Δ 与 x 相乘;式子中 ?x 、 ?y 的值可正、可负,但 ?x 不能为 0, ?y 的值可以为 0.因此,平均变化率可正可负,也可为零. (2) ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1 + ?x 代替 x2 ; (3) ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) 表示函数值的“增量”。 思考:如何计算平均变化率? 计算平均变化率的步骤:①求自变量的增量 ?x ? x2 ? x1 ;②求函数的增量 ?y ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ;③ 求平均变化率

? y f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? 。 ?x ?x

思考:观察函数 f(x)的图象平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y 表示什么? ? x2 ? x1 ?x

【设计意图】从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义,体现数形结合的数学思想.

五、运用新知
例1. 求 y ? x 2 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率。 解:当自变量从 x0 变到 x0 ? ?x 时,函数的平均变化率为
2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ? 2 x0 ? ?x . ?x ?x

当 ?x 取定值, x0 取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样。可以由图看出变化. 变式训练: (1)求 y ?

1 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率. x

(2)如果函数 f ( x) ? ax ? b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3,则 a =__________. 解:当自变量从 x0 变到 x0 ? ?x 时,函数的平均

1 1 ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) x0 ? ?x x0 1 变化率为 ? ?? ?x ?x ( x0 ? ?x) x0
【设计意图】 概念的简单应用,体现了由易到难,由特殊到一般的数学思想,符合学生的认知规律。进一步加深对 概念的理解,突出求平均变化率的一般步骤. 例 2. 某市 2004 年 4 月 20 日最高气温为 33.4℃,而此前的两天,4 月 19 日和 4 月 18 日最高气温分别为 24.4℃和 18.6℃,短短两天时间,气温“陡增”14.8℃,闷热中的人们无不感叹: “天气热得太快了! ” 但是,如果我们将该市 2004 年 3 月 18 日最高气温 3.5℃与 4 月 18 日最高气温 18.6℃进行比较,我 们发现两者温差为 15.1℃,甚至超过了 14.8℃.而人们却不会发出上述感叹.这是什么原因呢?原 来前者变化得“太快” ,而后者变化得“缓慢” . T(℃) C(34, 33.4)
30

20

B(32, 18.6)

10

2 0

A(1, 3.5)
2 10 20 30 34

t(天)

问题:当自变量 t 表示由 3 月 18 日开始计算的天数,T 表示气温,记函数 T ? g (t ) 表示温度随时间变化的 函数,那么气温变化的快慢情况应当怎样表示? 分析:如图:1、选择该市 2004 年 3 月 18 日最高气温 3.5℃与 4 月 18 日最高气温 18.6℃进行比较,

?t ? 30, ?T ? 18.6 ? 3.5 ? 15.10 C ,由此可知

?T ? 0.5033 ; ?t

2、选择该市 2004 年 4 月 18 日最高气温 18.60C 与 4 月 20 日 33.40C 进行比较,

?t ? 2, ?T ? 33.4 ? 18.6 ? 14.80 C ,由此可知
结论:函数值的平均变化率 各段的

?T ? 7.4 ?t

?T 不同反映了温度变化的剧烈程度不同,也就是气温在这段时间内的平均变化量不同.当 ?t ?T ?T 越大,说明气温的平均变化量越大,所以升温就越快;当 越小,说明气温的平均变化量小, ?t ?t

?T 反映了温度变化的剧烈程度. ?t

所以升温就越缓. 思考 1: “气温陡增”是一句生活用语,若从数学角度描述,那该如何描述? 2:如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度? 【设计意图】

六、课堂小结
引导学生回顾本节课的教学过程,小结如下内容: (1)函数平均变化率的概念是什么?它是通过什么实例归纳总结出来的? (2)求函数平均变化率的一般步骤是怎样的? 数学思想:由特殊到一般,数形结合. 【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点.

七、布置作业
1.阅读教材 P71—74; 2.书面作业 必做题:课本第 79 页 A 组 1; 补充题: 已知某质点按规律 s ? 2t ? 2t ( s :单位为 m , t :单位为 s )做直线运动,求:
2

(1)该质点在前 3 s 内的平均速度; (2)该质点在 2 s 到 3 s 内的平均速度. 答案:(1)8(m/s);(2)12(m/s). 课后思考问题:如何能更精细地刻画运动员的运动状态?需要增加什么量? 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置, 是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题; 课后思考题是让学生感受到进一步探究、 学习的必要性, 为从平均变化率到瞬时变化率(即导数)做好准备,为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.

八、教学反思
本节课的亮点是让学生做吹气球实验和播放郭晶晶、吴敏霞跳水视频,既活跃了课堂气氛,调动了学 生的学习热情,又让学生在情景中感受速度变化,效果较好。通过应用举例的教学,不断地提供给学生比 较、分析、归纳、综合的机会,由生活中的实例得出一般性的概念,符合认知规律,水到渠成。 本节内容处理较为轻松,在探究计算运动员在 0 #t

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗?⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?学生此 时已经有了进一步想学习新的概念的冲动,建议如果时间允许,可以把瞬时速度一并介绍。

九、板书设计
3.1.1 变化率问题 1.定义: 例1 作业

? y f ( x2 ) - f ( x1 ) ? = ?x x2 - x1 f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) 称函数 ?x y ? f ( x) 从 从 x1 到 x2 的 平 均 变
化率. 2.求平均变化率的步骤: ①求自变量的增量 ?x ? x2 ? x1 ; ②求函数的增量 例2

?y ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ;
③求平均变化率

? y f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ?x ?x


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