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东北三省三校2015届高三第二次联合模拟考试数学(文科)答案


2015 年东北三省三校高三第二次联合模拟考试 文科数学参考答案
一.选择题 1 2 D D 二.填空题 13. 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A
[来 源 :学科 网]

11 C

[来 源 :Zxxk.Com]

12 B

2 3

14.

2 3

15. ? 2, ???

16.

5 2 2
……2 分

三.解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时 a2 ? S1 ? 2 ? 4 ? 2a1 当n ? 2时

an ?1 ? Sn ? 2? ? ? an ?1 ? 2an , an ? Sn ?1 ? 2 ?
数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ( n ? N ) ,且 a1 ? 2, ? an ? 2n ( n ? N ) .
* *

……4 分 ……6 分

(Ⅱ) bn ? n ? an ? n ? 2n

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?
两式相减,得

? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
……8 分

?Tn ? 21 ? 22 ? 23 ?
?Tn ?

? 2n?1 ? 2n ? n ? 2n?1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 (n ? N*) .
18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知可得,该公司员工中使用微信的共: 200 ? 0.9 ? 180 人 经常使用微信的有 180 ? 60 ? 120 人,其中青年人: 120 ? 所以可列下面 2 ? 2 列联表: 青年人 80 经常使用微信 不经常使用微信 55 135 合计
[来 源:Zxxk.Com]

……12 分

2 ? 80 人 3
合计 120 60 180 ……4 分
2

中年人 40 5 45

(Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得: K 2 ?

由于 13.333 ? 10.828 ,所以有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”. (Ⅲ)从“经常使用微信”的人中抽取 6 人中,青年人 有

180 ? ?80 ? 5 ? 55 ? 40 ? ? 13.333 120 ? 60 ?135 ? 45
80 ? 6 ? 4 人,中年人有 2 人 120

……7 分 ……8 分

设 4 名青年人编号分别 1, 2,3,4,2 名中年人编号分别为 5,6, 则“从这 6 人中任选 2 人”的基本事件为: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 15 个 ……10 分 其中事件 A“选出的 2 人均是青年人”的基本事件为: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) ( 2,4) (3,4)共 6 个… 11 分 故 P( A) ?

2 . 5
1

……12 分

19 . (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: 记 AC1 与 A1C 的交点为 E .连结 ME . 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,点 M 是 BB1 中点,

?MA1 ? MA ? MC1 ? MC ?

89 . 2
……4 分 ……6 分

因为点 E 是 AC1 、 A1C 的中点, 所以 ME ? AC1 且 ME ? A1C , 从而 ME ? 平面 AAC 1 1C . 因为 ME ? 平面 A1MC ,所以平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C . (Ⅱ)解: H, 过点A作 AH ? AC 1 于点 由(Ⅰ)知平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C ,平面 A 1MC 平面 AAC 1 1C ? AC 1 , ……9 分 而 AH ? 平面 AAC 1 1C

? AH 即为点 A 到平面 A1MC 的距离.
在 ?A1 AC 中, ?A 1 AC ? 90? ,

A1 A ? 5, AC ? 4, ? AC ? 41 ? AH ? 1
即点 A 到平面 A1MC 的距离为 20. (本小题满分 12 分)

5 ? 4 20 41 ? 41 41
……12 分

20 41 . 41

2 2 2 ? x2 ?a ? b ? 3 ? ?a ? 2 ? ? ? y2 ? 1 解: (Ⅰ)由题意知: ? 2 ? 2 2 2 ?a ? b ? 1 ? ? ?b ? 1

……4 分

(Ⅱ)若直线 AB 斜率不存在, AB : x ? 1 .不妨设 A(1,

2 2 ), B(1, ? ) , M (2, m) 2 2
……6 分

2 2 m? 2 2 ? m? 2 ? m ? 2 , k ? k ? 2 ? 2m ? 2, m ? 1 则 k1 ? , k2 ? 1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 若直线 AB 斜率存在设为 k 设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (2, m) y m?

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2 4k 2 2(k 2 ? 1) x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , ……7 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k ( x1 ? 1) ? m k ( x2 ? 1) ? m k1 ? , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2 2kx1 x2 ? (3k ? m)( x1 ? x2 ) ? 4(k ? m) k1 ? k2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

A

F1

O

F2 B C

x

……8 分

4k 2 m ? 4m ? 2, 2(k 2 ? 1) 所以 m ? 1 所以定点 M (2,1) ?
2

……10 分 ……12 分

21. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? x2 ? x ? m ,定义域 ? 0, ???

F ?( x) ? ?

(2 x ? 1)( x ? 1) x ? F ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1; F ?( x) ? 0 ? x ? 1; F ?( x) ? 0 ? x ? 1

x
F ?( x) F ( x)

(0,1)
+ 递增

1
0 极大值

(1, ??) ?
递减 ……4 分

F ( x)极大 ? F (1) ? m ,没有极小值.
(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 在 x ? (0,3) 恒成立; 整理为: m ? ( x ? 2)e ? ln x ? x 在 x ? (0,3) 恒成立;
x x 设 h( x) ? ( x ? 2)e ? ln x ? x , 则 h?( x) ? ( x ? 1)(e ? ) ,
x

1 x

……6 分 ……7 分

x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,且 e x ? e,

0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , 1 1 x x 设 u ? e ? , u ? ? e ? 2 ? 0,? u 在 (0,1) 递增, x x 1 x ? 0 时 ? ??,? u ? 0 , x ? 1 时, u ? e ? 1 ? 0 , x 1 ??x0 ? (0,1) ,使得 u0 ? e x0 ? ? 0 ,? x ? (0, x0 ) 时, u ? 0 ; x ? ( x0 ,1) 时, u ? 0 x0 ? x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 ; x ? ( x0 ,1) 时, h?( x) ? 0
函数 h( x) 在 (0, x0 ) 递增, ( x0 ,1) 递减, (1,3) 递增 ……9 分

1 1 ? 1 ,? e x ? ? 0 ,? h?( x) ? 0 ; x x

h( x0 ) ? ( x0 ? 2)e x0 ? ln x0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? x0 ? (0,1),??

1 2 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 x0 x0

2 2 ? ?2 , h( x0 ) ? 1 ? ? 2 x0 ? ?1 ? 2 x0 ? ?1 x0 x0
……11 分 ……12 分

h(3) ? e3 ? ln3 ? 3 ? 0 , ? x ? (0,3) 时, h( x) ? h(3) , ? m ? h(3) ,即 m ? (e3 ? ln 3 ? 3, ??) .
22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)证明:由 ?ACE ∽ ?BCA ,
[来源:学.科.网]

CE AE ? , CE ? AB ? AE ? AC 得 ……5 分 AC AB CD 平分 ?ACB , ??ACF ? ?BCD (Ⅱ)证明: AC 为圆的切线,??CAE ? ?CBD ??ACF ? ?CAE ? ?BCD ? ?CBD ,即 ?AFD ? ?ADF ,所以 AF =AD ?ACF ∽ ?BCD CF AF AD 1 ? ? ? ? ,? CF ? DF CD BD BD 2

A F

D

C

E

O

B

……10 分

3

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由题意知: ? 即?

? x ? ? cos? , ?m ? ? cos(? ? ?0 ), 和? ? y ? ? sin ? , ?n ? ? sin(? ? ?0 ).

?m ? ? cos? cos?0 ? ? sin ? sin ?0 , ?n ? ? sin ? cos?0 ? ? cos? sin ?0 ,
?m ? x cos?0 ? y sin ?0 , ?n ? x sin ?0 ? y cos?0 .
2 x? 2 2 x? 2 2 x? 2 2 y, 2 2 y, 2 2 y) ? 2 . 2
……10 分 ……5 分

所以 ?

? ?m ? ? (Ⅱ)由题意知 ? ?n ? ? ? 2 2 所以 ( x? y)( 2 2 x2 y2 ? ?1. 整理得 2 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选 讲 解: (1)证法一:

?

a? b? c

?

2

? (a ? b ? c) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? (a ? b ? c) ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ?3 ? a? b? c? 3
证法二 : 由柯西不等式得: (2)证明: ……5 分

?

a? b? c

?

2

? (12 ? 12 ? 12 )[( a ) 2 ? ( b ) 2 ? ( c ) 2 ] ? 3

,

? a ? b? c ? 3.
4 4 ? (3a ? 1) ? 2 (3a ? 1) ? 4, 3a ? 1 3a ? 1 4 ? ? 3 ? 3a 3a ? 1 4 4 ? 3 ? 3b, ? 3 ? 3c 3c ? 1 同理得 3b ? 1 ,
以上三式相加得,

1 1 1 ? ? ) ? 9 ? 3(a ? b ? c) ? 6 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 , 1 1 1 3 ? ? ? ? 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 2 . 4(

……10 分

4


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