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高考数学题中的高等数学背景_图文

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中 学数 学 

20 0 4年第 2 期 

高 考 数 学 题 中 的 高 等 数 学 背 景 
2 4 0   山东省 单 县 第 二 中学  李 峦 方  7 30 随 着 高 考 改 革 的 深 化 , 考 数 学 题 已从  高 知 识 立 意 转 向 了 能 力 立 意 , 时 高 考 数 学题  同 也 更 加 注 重 数 学 思 想 的 考 查 . 种 变 化 的 一  这 个 体 现 就 是 高 考 数 学 题 中 出现 的 以高 等 数 学  为 背 景 的 题 目.  
例 3 ( 0 3年 北 京 高 考 试 题 2 ) Y 一    20 0 设

( z)是 定 义 在 区 间[ 1 1 一 ,]上 的 函 数 , 满  且
足 条 件  () 一 1 i厂( )一 厂( )一 0; 1  

1 现 象   
从 近 三年 的 题 目来 看 主 要 有 下 面 三 种 情 
况 :  

( )对 任 意 的 “  ∈ [ 1 1 i i , 一 , ]都 有  I u f( )一 厂( I I  ) ≤   U一 7 . J    I (I)证 明 : 任 意  ∈ [ 1 1 , 有  对 一 ,] 都


1≤ /( ’  )≤ 1一  ;  

1 1 以 高 等 数 学 的 知 识 为背 景  .  这 种 题 目是 把 高 等 数 学 中 的 一 些 定 理 ,   结 论 或 方 法 , 上 中学 数 学 的形 式. 换   例 1 ( 0 2年 北 京 高 考试 题 1 )如 图 1   20 2  

(Ⅱ)对 任 意 的 U, 7 [ 11 J∈ 一 , ]都 有  i u f( )一  ( i 1   ) ≤ ;
(Ⅲ )略 .  

注  本 题 是 以 压 缩 映 象 原 理 为 背 景 的 试 
题.  

所 示, ( (    ) 一 1 2 3 4 , , , )是 定 义 在 [ ,]上  O1 的 4个 函 数 , 中 满足 性 质 “ [ , ]中 任 意  其 对 O1 的  。 和  :任 意 的  ∈ [ , ]  , O1, 厂[ 。 ( 一 ) ] 厂( ) ( — 2 f( :  ? + 1  。 ≤    + 1 ) x )  
恒 成 立 ”的 只 有 (   ) .  

例 4 ( 0 3年 上 海 高 考 试 题 )方 程  +    20 lx 一 1 g 8的 根  ≈  . 结 果 精 确 到 0 1  ( .) 注  本 题 是 以 布 尔 查 诺 定 理 和 闭 区 间 套  定 理 为 背景 的试 题.   1 2 以 高 等 数 学 的 某 一 分 支 体 系 的 思 想 方  .  法 或 形 式 为 背 景  这 种 题 目多 以新 定 义 题 的形 式 出现.  

{   Aj

{    l

【’ L)  

(   D)

例 5 ( 0 1年 上 海 春 季 高 考 试 题 1 )若  20 0

图 l  

记 号“*”表 示求 两个 实 数 “与 b的 算 术 平 均  数 的运 算 , n* 即 b一  , 两边 均 含 有 运  则

注 
题.  

本 题 是 以 函 数 的 凹 凸 性 为 背 景 的 试 

例 2 ( 0 2年 上 海 春 季 高 考 试 题 2 )对    20 2

于 函数 厂( , 存 在 z ∈ R, f( 。 一  。 z) 若 。 使 x ) r 成 
立 , 称  。 厂( )的 不 动 点 . 知 函 数  则 为 . r 已
/(  )一 a x。十 ( 6十 1   + ( ) 6— 1  ( ) “≠ 0)  

算 符 号“*”和 “ +” 且 对 任 意 3个 实 数 a、 、  , 6f 都成 立 的 一个 等 式 是  .   注  该题 以抽 象代 数 中的运 算 系 统 为 背 
景.  

( )当 n一 1 b一 一 2时 , 函 数 厂( 的  1 , 求  ) 不 动 点.  

例 6

( 0 1年 全 国 、 20

3  

l !  

( ) 对任 意 实 数 b 函数 厂( 恒 有 两个  2 若 , z) 相 异 的 不 动 点 , a的 取 值 范 围. 求  
( ) ( )的 条 件 下 , Y: 八  )图 像 上  3 在 2 若


广 东、 津高考试题 1 ) 天 2 如  图 2 小 圆 圈 表 示 网 络 的 结  , 点.结 点 之 间 的 连 线 表 示  它 们 有 网 络 相 连 .连 线 标 

、、  \。 、 、 、  =  / 、 1   一   图 

B 两 点 的 横 坐 标 是 函数 厂(  )的 不 动 点 , 且 
1  



B两点关于直线j一k 十 L   x  _  对称?  
评 注  本 题是 L 动点原理 为背景 , 2不 ' 考 

的 数 字 表 示该 段 网 络 单 位 时 间 内可 以通 过 的  最 大 信 息 量. 从 结 点 A 向结 点 8传 递 信 息 , 现   信 息 可 以 分 别 沿 不 同 的 路 线 同 时传 递 , 单  则
位 时 间 内传 递 的 最 大 信 息 量 是 (  
注 

求 b的 最 小 值 .  

) .  

( )   ( 24 ( 20 ( 19 A 26 B)   C)   D)  

查 学 生在 新 规 则 下 的应 变 能力 .  

该 题 是 以 图论 的形 式 出现 的试 题.  

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20 0 4年 第 2期 

中 学 数 学 

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例 7 ( 0 3年 北 京 高 考 试 题 1 )某 班 试  20 0 用 电子 投 票 系 统选 举 班 干部 候 选 人. 班 志名 全  

的 P 点处 ( 立 坐 标 系 如 图 4 , 建 )  ( )若 希 望 点 P 到 三 镇 距 离 的 平 方 和 为 1  
最小 , P应位于何处? 点  

同学 , 有 选 举 权 和 被 选 举 权 , 们 的编 号分  都 他 别 为 1 2 3 … ,.规 定 : 意 按 “ ” 不 同 意  ,,, k 同 1, ( 弃权 )按“ ” 令  含 0.

( )若 希 望 点 P 到 三 镇 的 最 远 距 离 为 最  2
小 , P应位于何处? 点   注  本 题 是 以施 泰 纳 问题 为 背 景 .  

f  第  号 同 学 同意 第 -号 同学 当选    1 , 1  第  号 同学 不 同意 第 - 同 学 当选    0 ,号
其 中 = 1 2 … , 且 J= 1 2 … , . 同 时    , , k, ,, k则 同 意 第 1 2 号 同学 当选 的人 数 为 ( ,,   ) _  
( ) l+   1 A  l 2十 … 十  1 I十 “2 1十  2 2+ …   + 口   (  l B) l十 a2   1+ … 十 aI 1十 “1 2十 a2 2+ …   + 口2 j  ( “1 2+ aZa2 C) 1  l l  2十 … 十 aka 2 l   ( ) D 口u口2 l+ ala2 z  2十 … 十  l I     口2

2 分 析 与 思 考   
必然 性  2 0 0 2年 8 月 公 布 的 “ 日 制 普  全

通 高 中数 学课 程 标 准 ”提 出 : 中数 学课 程 要  高 为 “ 国公 民 适 应 现 代 生 活 和 未 来 发 展 提 供  我

注  本 题 是 以矩 阵 的表 示 为 背景 .   1 3 以著 名 的 数 学 问题 为 背 景  .  这 类 题 目的 形 式 为 名 题 形 式 , 是 把 问  只
题 和 方 法 简 化 了.   例 8 ( 0 3年 北 京 高 考 试 题 1 )如 图 3  20 8 ,

更 高 的 数 学 基 础 ” “ 进 入 高 一 级 学 校 的 学  ,为 生提 供 必 要 的数 学 准 备 ” 同 时把 提 高 学 生 的 ,   数 学 思 维 能 力 作 为 数 学 教 育 的 基 本 目标 之  无 疑 以高 等 数 学 内容 为 背 景 的 题 目既 能  完成 高 等 数 学 与 初 等 数 学 的 接 轨 , 能 有 效  又 地 考 查 学 生 的思 维 能 力 .   趋 势  用 来 作 高 考 题 背 景 的高 等 数 学 内   容 有 以下 两个 特 点 :   是 涉及 的 问题 往 往 是 数 学 的 某 一 分 支  学 科 发 展 初 期 比较 核 心 的 问题 或 某 一 分 支 中  
一 . 一

椭 圆 的 长 轴  。 与 z轴 平 行 , 轴  B。 Y   短 在   轴上 , 中心 为 M ( , )6> r 0 . 0r( > )   (I)写 出椭 圆 的 方 程 , 椭 圆 的 焦 点 坐  求 标 及 离 心 率.   (Ⅱ) 线 Y= 志  交椭 圆 于 两 点 直 。  
C( , ) D ( , ) ( > O ; 线 _ xl y1 , x2Y2   2 )直 y= k x 2 . 

比 较 著 名 的 问 题 , 些 问 题 能 够 反 映 该 分 支  这

的 思 想 或 方 法 ; 外 是 高 等 数 学 中 与 初 等 数  另 学 比较 靠 近 的 内容 , 凸 凹 性 、 动 点 原 理 、 如 不   压 缩 映 象 原理 等 .   二 是 直 接 反 映课 程 改革 中将 要 增 加 的部 

交 椭 圆 于 两 点 
G ( , ), ( x3 Y3    ” Y4 ( )  {> O),  

求证 :  


z 1 -I r  2  

: 
z  -I 3 r 

分. 2 0 如 0 4年 将 要 在 个 别 省 份 试 用《 普通 高 中   数 学课 程 标 准》增 加 的“ 色 问题 ” 矩 阵 与 变 四 、   换 、 图论 初 步 、 路 设 计 与代 数 运 算 , 些 内 电 这   容 在 高考 题 中都 出现 了.  
所 以 作 为 数 学 核 心 概 念 及 基 本 思 想 和 技 

. 

4  

( Ⅲ)对 于 (I)中的 c、 G、 , C 交  D、   设 H z 轴 于 点 P, GD 交 z轴于 点 Q. 证 :OPI 求 I  =  1 Q I 证 明过 程 不 考 虑 C 或 GD 垂 直 于  轴  0 ( H
的情 况 ) .   注  本 题 是 以蝴 蝶 定 理 为 背 景 的 试 题 .  
岛(. ,  o  )
i  ,. 一  一 1 . j  
\  

能 的 内容 : 数 、 计 、 数 、 函 统 导 向量 、 近 、 法  逼 算 等 内容 和 反 映数 学 文 化 及 对 数 学 发 展 起 重 大  作用 的 名题 仍会 是 出题 的热 点 .   对 教 师 的 要 求  ( )从 高 考 题 背 景 的 变化 可 以看 出, 题  1 试 巳从 重 视 知 识 的考 查 , 向数 学 能 力 和 数 学  转 思 想 的 考 查. 来 教 学 中重 视 题 型 及 技 巧 的  原 教 学 方 法 己不 能 适 应 新 的 高 考 要 求 . 切 实  要 以培 养 学 生 的能 力 为 主 , 重 过 程 化 教 学 , 注 培  养 学 生 的数 学素 质 .   ( ) 师应 努 力 成 为 研 究 型 的教 师. 比  2 教 有 较 开阔 的数 学视野 , 了解 与 中学 数 学 知 识 有  关 的 扩 展 知 识 和 内 在 的 数 学 思 想 . 重 教 改  注
的 动 向及 教 改 的思 想 理 念.  
( 稿 日 期 : 0 3 0 2J 收 2 0 l 2   

.  ,

(,   )  - -   0 b* r

3  

图 4  

例 9 ( 0 3 北 京 高 考 试 题 1 )有 三个  20 年 9 新 兴 城 镇 , 别 位 于  、 C 三 点 , AB =  分 B、 且 AC 一 “, C 一 2 . 计划 合 建 一个 中心  院 , B b今   为 同 时 方 便 三 镇 , 备 建 在 B 的 垂 直 平 分 线  准 C



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