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_学年高中数学第三章导数及其应用3.3_3.3.3函数的最大(小)值与导数练习新人教A版选修1_1

3.3 3.3.3 导数在研究函数中 的应用 函数的最大(小)值与导数 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值 D.若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则 可 有多个极值 解析:由极值与最值的区别知选 D. 答案:D 2.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 B.有极值 D.有最小值 ) 解析:f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x) 在(-∞,+∞)上单调递增,无极值, 也无最值. 答案:A 3.函数 f(x)=x -x -x+a 在区间[0,2]上的最大值是 3,则 a 的值为( A.3 B.1 C.2 D.-1 1 2 解析:f′(x)=3x -2x-1,令 f′(x)=0,解得 x=- (舍去)或 x=1,又 f(0)=a, 3 3 2 ) f(1)=a-1,f(2)=a+2,则 f(2)最大,即 a+2=3,所以 a=1. 答案:B 4.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( A.[0,1) C.(-1,1) 2 3 ) B.(0,1) ? 1? D.?0, ? ? 2? 2 解析:因为 f′(x)=3x -3a,令 f′(x)=0,可得 a=x , 又因为 x∈(0,1),所以 0<a<1. 答案:B 5.已知函数 f(x)、 g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x), 1 则 f(x)-g(x)的最大值为( A.f(a)-g(a) C.f(a)-g(b) ) B.f(b)-g(b) D.f(b)-g(a) 解析:令 u(x)=f( x)-g(x), 则 u′(x)=f′(x)-g′(x)<0, 所以 u(x)在[a,b]上为减函数, 所 以 u(x)的最大值为 u(a)=f(a)-g(a). 答案:A 二、填空题 6.函数 f(x)= 1 +x(x∈[1,3])的值域 为________. x+1 2 1 x +2x 解析:f′(x)=- 2+1= 2,所以在[1,3]上 f′(x)>0 恒成立,即 (x+1) (x+1) f(x)在[1, 3]上单调递增, 所以 f(x)的最大值是 f(3)= , 最小值是 f(1)= , 故函数 f(x) 13 4 3 2 ?3 13? 的值域为? , ?. ?2 4 ? ?3 13? 答案:? , ? ?2 4 ? 7.已知函数 f(x)=x -12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M -m=________ . 解析:由题意,得 f′(x)=3x -12,令 f′(x)=0,得 x= ±2,又 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)= -1,所以 M=24,m=-8,M-m=32. 答案:32 3 2 3 8.如果函数 f(x)=x - x +a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的 2 最小值是________. 解析 :f′(x)=3x -3x, 令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. 5 因为 f(0)=a,f(-1)=- +a, 2 2 2 3 f(1)=- +a,所以 f(x)max=a=2. 5 1 所以 f(x)min=- +a=- . 2 2 1 2 2 1 答案:- 2 三、解答题 9.已知 a 为实数,f(x)=(x -4)(x-a). (1)求导数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大 值和最小值. 解:(1)由原式得 f(x)=x -ax -4x+4a, 所以 f′(x)=3x -2ax-4. 1 (2)由 f′(-1)=0,得 a= , 2 2 3 2 2 ? 1? 2 此时有 f(x)=(x -4)?x- ?, ? 2? f′(x)=3x2-x-4. 4 由 f′(x)=0,得 x= 或 x=-1. 3 50 9 ?4? 又 f? ?=- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0, 3 27 2 ? ? 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 , 最小值为- . 2 27 10.已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在区间[-2,2]上的最小值 . 解:(1)因为 f′(x)=-3x +6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以 函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)因为在(-1,3)上 f′(x)>0, 所以 f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减,且 2 3 2 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2). 所以 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a= 20,所以 a=-2. 所以 f(x)=-x +3x +9x-2. 所以 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7. 3 3 2 B 级 能力提升 1.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则|MN|达到最 小值时 t 的值为( 1 A.1 B. 2 C. ) 5 2 D. 2 2 2 解析:由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|= y=t2-ln t(t>0). y′=2t- = t


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