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2019年最新-高数-无穷级数8-精选文档_图文

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数

一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理

(1)当周期为2?的奇函数f(x)展开成傅里叶级数

时,它的傅里叶系数为

an?0

(n?0,1,2,?)

? bn??2 0?f(x)sinnxdx (n?1,2,?)

(2)当周期为2? 的偶函数f (x) 展开成傅里叶级

数时,它的傅里叶系数为

? an

?2 ?

? 0

f (x)cosnxdx

(n?0,1,2,?)

bn ?0

(n?1,2,?)

于是以2?为周期的奇函数f(x)的傅氏级数
为正弦级数
?
?bnsin x.
n?1
以2?为周期的偶函数f(x)的傅氏级数为余弦
级数
a20?n? ? ?1anconsx.

例1 设f(x)是周期为2?的周期函数,它在 [??,?)上的表达式为f(x)?x,将f(x)展开成
傅氏级数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在 x ? 点 (2 k ? 1 )? (k ? 0 ,? 1 ,? 2 ,? )处不 , 连

收敛 f(??0 于 )?f(? ??0)? ??(??)? 0,

2

2

在连 x (x? (续 2 k ? 1 )? ) 点 处收 f(x ),敛于

? x?(2k?1)?时 f(x)是2? 以 为周期, 的
y

和 函 数 图 ?3? ?2? ?? 象

? 0 ? 2? 3? x ??

? a n ? 0 , ( n ? 0 ,1 ,2 ,? )

bn??2?0?f(x)sinnxd?x?2?0?xsinnxdx

?? 2[?xcnons? xsn i2 n n]x 0 ?

? ?2cosn? ? ( ? 1 ) n ? 1 2 (n?1,2,? )

n

n

f(x )? 2 (sx ? i1 n si2 x n ? 1 si3 x n ? ? ) 23

??
?2

(?1)n?1sinnx.

n?1 n

( ? ? x ? ? ? ; x ? ? ? ? ,? 3 ? , ? )

例2 设f ( x)是周期为2?的周期函数,它在

(-? ,? ]上的表达式为

f

(

x)

?

?
?? ?
? ??

?
2
?
2

? ?

x, x,

?? ? x ? 0 0? x??

把f ( x)展开为傅立叶级数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件.由于 f ( x )
偶函数, 故它的傅立叶系数为

a 0? ? 2?0 ?f(x )d x? ? 2?0 ?(? 2? x )d x? 0

2?

2 ??

? ? an

?
?

0

f(x)cosnxdx?
?

( ?x)cosnxdx 02

?n22?(1?cosn?)??????0n,42?,

当n为奇数时 当n为偶数时

(n?0,1,2, )

bn?0,(n?1,2, )


4c o s xc o s 3 xc o s 5 x
? f(x )?(1 2?3 2 ?5 2 ?) ,( ? ? ? x ? ? ? )

二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓 设 f(x)定义 [0,?]上 在 ,延拓 2?为 成周 以期
函F 数 (x).
则有如下两种情况

奇延拓:

?f(x) 0? x??

y

F(x) ??? 0 x?0

???f(?x) ?? ? x?0

?? 0
f (x)的傅氏正弦级数

?x

?
f(x)??bnsinnx (0?x??) n?1

偶延拓:

?f(x) 0?x??

y

F(x)???f(?x) ???x?0

f (x)的傅氏余弦级数 ?? 0 f(x)? a20?n ? ? ?1anconsx(0?x??)

?x

例3 将函数f(x)? x (0? x??)展开成余弦级数.

解 对 f(x ) 进 行 偶 延 拓 . 傅 立 叶 系 数

a0?? 2?0 ?f(x)dx?? 2?0 ?xdx??

? ? 2 ?

2?

an

?
?

0

f(x)cosnxdx?
?

xcosnxdx
0

?n22?(cosn??1)??????0?,n42?,

当n为奇数时 当n为偶数时

?4c o s xc o s 3 xc o s 5 x ? ? x ? 2 ?(1 2?3 2 ?5 2 ?) ,( 0 ? x ?)

例4 将函数f (x) ? x2 (0? x ??) 展开成正弦级数.

解 对 f(x ) 进 行 奇 延 拓 . 傅 立 叶 系 数

? ? 2
bn??

?
0

f(x)sinnxdx??2

?x2sinnxdx
0

?(?1)n?12n??n43?[(?1)n?1] (n?1,2, )

所以

x2?(2???8)sinx??sin2x?(23??338?)sin3x

?
? sin4x? , 2

(0?x??)

三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓;
2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b.在 [0,?]上 ,展成周 2?的 期傅 为氏;级数
c.在[??,?]上连续且只有值 有点 限,时 个极 级数处处收 f(x)敛 . 于

思考题
设f(x)是[在 a,b]上定义的 ,应函 如数 何选择 A,B,才能F(使 t)?f(A?t B)成[为 ??,?]上 定义的. 函数

思考题解答

应 A ( ? ? ) ? B 使 ? a ,A ? ? B ? b ,

即 A?b?a, B?b?a.

2?

2

练习题

一、设 f ( x) 是周期为2? 的周期函数,它在[??, ?)上的表

???

? 2

,??

?

x

?

?

? 2

达式为

f

(

x)

?

?? ? ?

x

,?

? 2

?

x

?

? 2

.

?? ?? 2

,

? 2

?

x

?

?

二、将函数 f ( x) ? 2x2 (0 ? x ? ?) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .

三、将以2? 为周期的函数 f ( x) ? x 在(??, ?) 内展开成

2

??
傅里叶级数,并求级数 (?1)n?1

1

的和 .

n?0

2n ? 1

? 四 、证 明:当0

?

x

?

?

时,

? n?1

cos n

nx
2

?

x2 4

?

?x 2

?

?2 6

.

练习题答案

? 一、

f

(

x)

?

? [(?1)n?1

n?1

n

?

2 n2?

sin

n?]sinnx . 2

( x ? (2n ? 1)?, n ? 0,?1,?2,?)

? 二、 f ( x) ? 4
?

[(

?1)n

(

2 n3

?

?2 n

)

?

2 n3

]sin nx

(0 ? x ? ?);

? f

(

x)

?

2 3

?2

?

?
8
n?1

(?1)n n2

cos nx

(0 ? x ? ?).

? 三、 x ? ? (?1)n?1 1 sinnx

2 n?1

n

x ? (??, ?) ;

?? . 4



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