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2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


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2011 年高考试题数学(理科)
直线与圆
一、选择题: 1.(2011 年高考江西卷理科 9)若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 A.( ?

3 3 , ) 3 3
3 3 , ] 3 3

B.( ?

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3
3 3 )∪( ,+ ? ) 3 3

c.[ ? 答案:B

D.( ?? , ?

解析:曲线 x ? y ? 2 x ? 0 表示以 ?1,0 ? 为圆心,以 1 为半径的
2 2

圆, 曲线 y ? y ? mx ? m ? ? 0 表示 y ? 0, 或y ? mx ? m ? 0 过定点

?? 1,0? , y ? 0 与圆有两个交点,故 y ? mx ? m ? 0 也应该与圆
有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切的时候, 经计算可得,两种相切分别对应 m ? ?

3 3 ,由图可 和m ? 3 3

知,m 的取值范围应是 ? ?

? ? ?

3 ? ? 3? ? ,0 ? ? ? 0, 3 ? ? 3 ? ? ? ?
2 2

2.(2011 年高考重庆卷理科 8)(8)在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E ? 0,1? 的最长弦和 最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 (A) 5 2 (B) 10 2 (C) 15 2 (D) 20 2

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二、填空题: 1.(2011 年高考安徽卷理科 15)在平面直角坐标系中, 如果 x 与 y 都是整数, 就称点 ( x, y ) 为 整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真 假的判定,考查学生分析、判断、转化、解决问题能力,此类问题正确的命题要给出证明, 错误的要给出反例,此题综合性较强,难度较大. 【答案】①③⑤ 【解析】①正确,设 y ? 整点. ②不正确,设 k = 2 , b =- 2 ,则直线 y = 2( x ?1) 过整点(1,0). ③正确,直线 l 经过无穷多个整点,则直线 l 必然经过两个不同整点,显然成立;反 之 成 立 , 设 直 线 l 经 过 两 个 整 点 P ( x1 , y1 ) P ( x2 , y2 ) , 则 l 的 方 程 为 , 2 1 , ( x2 ? x1 ) ( y? y )? ( y ? y ) (? ,1x ) x = x1 ? k ( x2 ? x1 ) ( k ? Z ) 则 x ∈ Z , 且 x 令 1 2 1 y = k ( y2 ? y1 ) ? y1 也是整数,故 l 经过无穷多个整点. ④不正确,由③知直线 l 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点, 设为 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ,则 l 的方程为 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) , 1 2 y ? y1 y x ? y2 x1 x? 1 2 ∵直线方程为 y ? kx ? b 的形式,∴ x1 ? x2 ,∴ y = 2 , x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 3 3 b ∴ k , ∈Q, 反之不成立, y ? x ? , x ? 3 y ? , y ∈Z, x ? 3 y ? ? Z, 如 则 若 则 3 4 4 4 即 k , b ∈Q,得不到 y ? kx ? b 经过无穷个整点.
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2x ?

1 ,当 x 是整数时, y 是无理数, x , y )必不是 ( 2

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⑤正确,直线 y = 2( x ?1) 只过整点(1,0). 2.(2011 年高考重庆卷理科 15)设圆 C 位于抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域 (包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 解析: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值, 显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切,
2 2 设圆 C 的半径为 r ,则圆 C 的方程为 ? x ? r ? 3? ? y ? r ,将其与 y 2 ? 2 x 联立得: 2

x2 ? 2 ? r ? 2? x ? 9 ? 6r ? 0 , 令 ? ? ? 2 ? r ? 2? ? ? 4 9 r6 ? ? ? ? ? ?
2

0 ,并由 r ?0 ,得:

r ? 6 ?1
三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 22)(本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△OPQ 的面 3 2

积 S?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)证明 x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ?若存在,判断△ 2

【解析】 (I)解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此

x12 y12 ? ?1 3 2



又因为 S ?OPQ ?

6 6 6 . ②;由①、②得 | x1 |? ,| y1 |? 1. , 所以 | x1 | ? | y1 |? 2 2 2

2 2 2 2 此时 x1 ? x2 ? 3, y1 ? y2 ? 2,

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 , 3 2

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2 2

其中 ? ? 36k 2 m2 ?12(2 ? 3k 2 )(m2 ? 2) ? 0, 即 3k ? 2 ? m 又 x1 ? x2 ? ?

…………(*)

6km 3(m2 ? 2) , x1 x2 ? , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 | PQ |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2
1 | PQ | ?d 2
, 又

|m| 1? k 2 ,

所以 S ?OPQ ?

?

1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 | m | 1? k 2 ? ? 2 2 ? 3k 2 1? k 2
6 , 2

?

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m2 2 ? 3k 2

S ?OPQ ?

整理得 3k 2 ? 2 ? 2m2 , 且符合(*)式,

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2? ? 3, 此时 x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 1 2 2 2
2 y12 ? y2 ?

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3

2 2 2 2 综上所述, x1 ? x2 ? 3; y1 ? y2 ? 2, 结论成立。

(II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. 2
x1 ? x2 3k ? , 2 2m

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

y1 ? y2 x ?x 3k 2 ?3k 2 ? 2m2 ? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
所以

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| OM |2 ? | PQ |2 ?

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? (3 ? 1 1 )(2 ? 2 ) 2 m m

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

?(

3?

1 1 ?2? 2 2 m m )2 ? 25 2 4

5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1) (2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 2
所以 | OM | ? | PQ |? 解法二: 因为 4 | OM |2 ? | PQ |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.
所以 2 | OM | ? | PQ |? 即 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5

5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 . 2
(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . 2 6 , 2

证明:假设存在 D(u, v), E ( x1 , y1 ), G( x2 , y2 )满足S?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? 由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u, x1 , x2只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2
因此 D,E,G 只能在 ( ?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2 6 矛盾, 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点,与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.

2. (2011 年高考广东卷理科 19)设圆 C 与两圆 x+ 5 2 ? y2 ? 4, x ? 5 2 ? y2 ? 4 中的一 ( ) ( )
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个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (

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3 5 4 5 且 , ),F 5,0), P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 ( 5 5

此时点 P 的坐标. 【解析】 (1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,
化简得 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)解:过 M,F 的直线 l 方程为 y ? ?2( x ? 5) ,将其代入 L 的方程得

15x2 ? 32 5x ? 84 ? 0.
解得 x1 ?

6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x2 ? , 故l与L交点为T1 ( ,? ), T2 ( , ). 5 15 5 5 15 15

因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2,

| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. ,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有 | MP | ? | FP | ?| MF |? 2.
故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。 3.(2011 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明
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理由。

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【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位 置关系等基础知识,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想,是中档题. 【解析】 (I)由题意知 P (0, m ),∵以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P , ∴ k PM =

m?0 2 2 = ?1 ,解得 m =2,∴圆 M 的半径 r ? (2 ? 0) ? (0 ? 2) = 2 2 , 0?2

∴所求圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ; (II)∵直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , l : y ? x ? m , m ∈ R , ∴ l ? : y ? ? x ? m ,代入 x2 ? 4 y 得 x ? 4 x ? 4m ? 0 ,
2

? = 42 ? 4 ? 4 ? m = 16 ? 16m ,
当 m <1 时, ? >0,直线 l ? 与抛物线 C 相交; 当 m =1 时, ? =0,直线 l ? 与抛物线 C 相切; 当 m >1 时, ? <0,直线 l ? 与抛物线 C 相离. 综上所述,当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 【点评】本题考查内容和方法很基础,考查面较宽,是很好的一个题. 4.(2011 年高考上海卷理科 23)(18 分)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q , 线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 (1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; (3)写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )},其中

l1 ? AB, l2 ? CD ,

[来源: ]

A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①
2 分,② 6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A( 0 , 1 ) , B

( 0 ,C ) , 0

( D , 0 )。 ( 2 , 0 ) 0 ,

解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则
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, 当

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) 2 2

x?3





d(

P,? l )

m

?iP n 。 | | Q

5

⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标 系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成
y 1 A -1 B , 1

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1)

O -1

x

C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。 ⑶

1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ?

1, 2) ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? ? 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}

③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2 x

D

-2

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