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2019高中数学 第四章 导数应用 4.1.2 函数的极值作业1 北师大版选修1-1

4.1.2 函数的极值 [基础达标] 1.如图是函数 y=f(x)的导函数的图像,则正确的判断是( ) ①f(x)在(-3,1)上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析:选 B.由 f′(x)的图像知 f(x)在[-3,-1]和[2,4]上递减,在[-1,2]上递增, 故①不正确,③正确;x=-1 是 f(x)的极小值点,x=2 是 f(x)的极大值点. x2+a 2.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=( ) x+1 A.1 B.3 C.2 D.4 2 x +2x-a 3-a 解析:选 B.f′(x)= 2,由题意知 f′(1)= 2 =0,∴a=3. (x+1) 2 2 3.设函数 f(x)= +ln x,则( ) x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 x-2 解析:选 D.f′(x)= 2 ,由 f′(x)=0 得 x=2,又当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x x ∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴x=2 是 f(x)的极小值点. 4.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则( ) A.a<-1 B.a>-1 1 1 C.a>- D.a<- e e x x 解析:选 A.由题意 y′=e +a=0 即 a=-e 在(0,+∞)上有解, x 令 f(x)=-e (x>0), 则 f(x)∈(-∞,-1). x ∴a=-e <-1. 1 3 2 2 5.函数 f(x)= x -2ax +3a x 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( 3 A.(0,+∞) B.(-∞,3) 1 ? 3? C.(0, ) D.?0, ? 3 ? 2? ) 1 1 3 2 2 2 2 解析:选 C.由 f(x)= x -2ax +3a x,得 f′(x)=x -4ax+3a ,显然 a≠0, 3 2 2 2 2 由于 f′(0)=3a >0,Δ =16a -12a =4a >0, 1 1 2 依题意,得 0<3a<1,f′(1)>0,即 0<a< ,且 1-4a+3a >0,解得 0<a< .即实数 a 的 3 3 1 取值范围是(0, ). 3 x 6.若函数 f(x)=x·2 在 x0 处有极小值,则 x0 等于________. x x x 解析:f′(x)=x·2 ·ln 2+2 =2 (x·ln 2+1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=- . ln 2 1 答案:- ln 2 x 7.已知函数 f(x)=e -ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是________. x x 解析:由题意 f′(x)=e -a=0 在(0,1)上有解,∴a=e ∈(1,e). 答案:(1,e) 3 2 8.函数 f(x)=x -3x -9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 则 m 的取值范围为________. ?f(x)极大=f(-1) ? 解析: f′(x)=3x2-6x-9, 令 f′(x)=0 得 x=-1, x=3.易知? , ?f(x)极小=f(3) ? 由题意知,g(x)在[-2,5]上与 x 轴有三个交点, g(-1)>0 ? ?g(3)<0 ∴? ,解得 1≤m<8,即 m 的取值范围为[1,8). g(-2)≤0 ? ?g(5)≥0 答案:[1,8) 1 2 9.求函数 f(x)= (x-5) +6ln x 的极值. 2 1 1 2 25 2 解:∵f(x)= (x-5) +6ln x= x -5x+6ln x+ (x>0), 2 2 2 6 (x-2)(x-3) ∴f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3.当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2), (3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知,f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2 2 +6ln 3. 10.已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)的极值. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- . 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- (x>0), a x x 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. a x-a (2)由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x 2 当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. ∴当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. [能力提升] 3 1.设函数 f(x)=x -4x+a, 0<a<2.若 f(x)的三个零点为 x1, x2, x3, 且 x1<x2<x3, 则( ) A.x1>-1 B.x2>0 C.x2<0 D.x3>2 2 2 2 2 2 解析: 选 B.由 f′(x)=3x -4=0 得 x=± .f′(x)=3x -4<0? - <x< ; f′(x) 3 3 3 2


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