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2013届高考理科数学第一轮复习测试题6-10


(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1 1.如图所示,AB 是⊙O 的直径,MN 与⊙O 切于点 C,AC= BC,则 sin∠MCA=________. 2

解析 由弦切角定理得, ∠MCA=∠ABC, AC AC sin ∠ABC= = 2 AB AC +BC 答案 5 5
2=

AC 5 = . 5 5AC

2.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与 AB 相交于点 E,∠ACD=60° ,∠ADC=45° , 则∠AEC=________.

解析 如图,连接 BC,由圆周角定理推论 2 知,∠ACB=90° . ∵∠ACD=60° , ∴∠DCB=30° , ∴∠ADC=45° ,∴ 1 ∴∠AEC= ( 2 答案 75° 3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点.AD 和过 C 点 的切线互相垂直,垂足为 D, ∠DAB=80° ,则∠ACO=________. 的度数=60° . 的度数=90° . )的度数=75° .

解析 ∵CD 是⊙O 的切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,∴OC∥AD.

由此得,∠ACO=∠CAD, ∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO, ∴∠CAD=∠CAO,故 AC 平分∠DAB.∴∠CAO=40° , 又∵∠ACO= ∠CAO,∴∠ACO=40° . 答案 40° 4.如右图所示,已知⊙O 的直径与弦 AC 的夹角为 30° , 过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于 P,PC=5, 则⊙O 的半径为________. 解析 如图,连接 OC,则有∠COP=60° , 5 OC⊥PC,可求 OC = 3. 3 答案 5 3 3 上任一点,AP 交 BC 于点 D,AP

5.(2011· 深圳模拟)如图,P 是等边三角形 ABC 外接圆 =4,AD=2,则 AC=________.

解析 如图,连接 PC、PB,在等边三角形 A BC 中,有∠ABC=∠ACB=60° , 又∠ABC=∠APC,所以 ∠ACB=∠APC. 而∠PAC 是公共角, 所以△APC 和△ACD 相似 , AC AD 所以 = , AP AC 即 AC2=AP· AD=4×2=8, 即 AC=2 2. 答案 2 2 6.(2011· 东莞调研)如图,PA、PB 是圆 O 的切线 ,切点分别为 A、 B,点 C 在圆 O 上,如 果∠P=50° ,那么∠ACB=________.

解析 连接 OA、OB,因为 P A、PB 是圆 O 的切线,所以∠OBP=∠OAP=90° ,又因为∠ P=50° ,所以∠AOB=130° ,所以∠ACB=65° .

答案 65° 7.(2011· 汕头调研)如图,已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC= 3,∠PAB=30° ,则圆 O 的面积为________.

解析 连接 OA,由∠PAB=30° ,得∠OCA=∠OAC=30° , 由余弦定理得,AC2=OA2+OC2-2OA· OCcos 120° =3OA2, OA= 1 AC=1,因此圆 O 的面积等于 π×12=π. 3

另解 由∠PAB=30° ,∴∠ACB=30° ,在 Rt△ABC 中, AC= 3,∴CB=2,∴OC=1,因此圆 O 的面积等于 π×12=π. 答案 π 8.(2011· 韶关调研)如图所示,CA 和 CB 都是⊙O 的切线,切点分别是 A、B,如果⊙O 的 半径为 2 3,且 AB=6,则∠ACB=________.

解析 如图,连接 OC 交于 AB 于点 D.∵CA、CB 分别是 ⊙O 的切线,∴CA=CB,OC 平分∠ACB,故 OC⊥AB. 由 AB=6,可知 BD=3,在 Rt△OBD 中,OB=2 3, BD 3 3 故 sin∠BOD= = = ,所以∠BOD=60° ,又因为 B 是切点,故 OB⊥BC,所以∠ OB 2 3 2 OCB=30° .故∠ACB=60° . 答案 60° 二、解答题(共 20 分) 9.(10 分)如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B、D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2) 若圆 O 的半径为 1,求 AD· 的值. OC (1)证明 如图所示,连接 OD,BD, ∵BC,CD 为⊙O 的切线,∴BD⊥OC, ∴又 AB 为圆 O 的直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC.

AD AB (2)解 因为 AO=OD,则∠1=∠A=∠ 3,Rt△BAD∽Rt△COD,∴ = ,即 AD· OC OD OC =AB· OD=2. 10.(10 分)如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.

(1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD· AE,求∠BAC 的大小. 2 (1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ ADC. (2)解 因为△ABE∽△ADC, AB AE 所以 = , AD AC 即 AB· AC=AD· AE. 1 1 又 S= AB· ACsin∠BAC,且 S= AD· AE. 2 2 故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE. 则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90° .

(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2011· 广东广雅中学 5 月模拟)如图所示,PB,PD 是半径为 5 的圆的两条割线,PB,PD 分别与圆交于点 A、 已知 PA=4, C, AB=2, PC=3, 则该圆圆心到弦 CD 的距离为_ _ ______.

解析 由题意得,PA· PB=PC· PD,即 4× (4+2)=3× (3+CD),解得 CD=5,∴该圆圆心到 弦 CD 的距离为 答案 5 3 2 5 5 3 52-?2?2= . ? ? 2

2.如图所示,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D,E 分别是 CA,CB 的延长线与 大圆的交点,已知 AC=4,BE=10,且 BC=AD,则 AB=________.

解析 设 BC=AD=x, 由割线定理, CA· 得 CD=CB· CE, 4(4+x)=x(x+10), 即 解得 x=2, 因为 AC 是小圆的直径,所以 AB= AC2-BC2=2 3. 答案 2 3 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠ C=72° O 过 A、B 两点且与 BC 相切于点 B,与 AC ,⊙ 交于点 D,连接 BD,若 B C= 5-1,则 AC=________.

解析 由题易知,∠ C=∠ ABC=72° , ∠ A=∠ DBC=36° ,所以△BCD∽ ACB, △ 又易知 BD=AD=BC,所以 BC2=CD· AC=(AC-BC)· AC,解得 AC=2. 答案 2 4.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与

BD AB 交于 D,则 =________. DA

解析 ∵ C=90° C 为圆的直径, ∠ ,A ∴ 为圆的切线,AB 为圆的割线, BC 16 ∴ 2=BD· BC AB,即 16=BD· 解得 BD= , 5, 5 16 9 BD 16 ∴ DA=BA-BD=5- = ,∴ = . 5 5 DA 9 答案 16 9

5.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,则点 A 到直线 l 的距离 AD 为________.

解析 过 A 作 AD⊥ 于 D,由 AB 是圆 O 直径,∴ ACB=90° l ∠ , 由 l 是圆的切线,∴ ABC =∠ ∠ ACD,∴ ADC∽ ACB, △ △
2 2 AD AC AC2 AB -BC 9 ∴ = ,∴ AD= = = . AC AB AB AB 2

答案

9 2

PB 1 PC 6.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 = , = PA 2 PD 1 BC ,则 的值为________. 3 AD

PB PC BC 解析 ∵ P=∠ ∠ P,∠ PCB=∠ PAD,∴ PCB∽ PAD,∴ = = , △ △ PD PA DA PB 1 PC 1 BC 6 ∵ = , = ,∴ = . PA 2 PD 3 AD 6 答案 6 6

7.如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,AD=DE,AB=10,BD=8,则 sin∠ BCE=________.

解析 连接 BE,则在△ABD 和△BCE 中,∠ ADB=∠ BEC=90° , 且∠ ABD=∠ CBE,所以∠ DAB=∠ ECB, BD 4 故 sin∠ BCE=sin∠ DAB= = . AB 5 答案 4 5

8.如图,⊙ 与⊙ 相交于 A、B 两点,圆心 P 在⊙ 上,⊙ 的弦 BC 切⊙ 于点 B,CP O P O O P 及其延长线交⊙ 于 D、E 两点,过点 E 作 EF⊥ P CE,交 CB 的延长线于点 F.若 CD=2,CB =2 2,则由四点 B、P、E、F 所确定圆的直径为________.

解析

连 接 PB.∵ BC 切 ⊙ 于 点 B , ∴ P PB⊥ BC. 又 ∵ EF⊥ , 且 ∠ CE PCB = ∠ FCE ,

∴ Rt△CBP∽ Rt△CEF, ∠ ∴ EPB+∠ EFB=180° ∴ , 四点 B, E, 共圆, EF⊥ P, F 又∵ CE, PB⊥ BC, ∴ 四点 B、P、E、F 所确定圆的直径就是 PF.∵ 切⊙ 于点 B,且 CD=2,CB=2 2,∴ BC P EF 由切割线定理得 CB2=CD· CE,∴ CE=4,DE=2,∴ BP=1.又∵ Rt△CBP∽ Rt△CEF,∴ = BP CE ,得 EF= 2.连接 PF,则在 Rt△FEP 中,PF= PE2+EF2= 3,即由四点 B,P,E,F CB 确定圆 的直径为 3. 答案 3

二、解答题(共 20 分) 9.(10 分)如图,△A BC 是直角三角形,∠ ABC=90° AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 .以 D 是 BC 边的中点.连结 OD 交圆 O 于点 M.

(1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:2DE2=DM· AC+DM· AB. 证明 (1)如图,连结 OE、BE, 则 BE⊥ EC 又∵ 是 BC 的中点, D

∴ DE=BD. 又∵ OE=OB,OD=OD, ∴ ODE≌ ODB, △ △ ∴ OBD=∠ ∠ OED=90° . ∴ D,E,O,B 四点共圆. (2)延长 DO 交圆 O 于点 H. 由(1)知 DE 为圆 O 的切线, ∴ 2=DM· DE DH=DM· (DO+OH)=DM· DO+DM· OH,[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

?1 ?1 ∴ 2=DM·2AC?+DM· 2AB?, DE ? ? ? ?
∴ 2DE2=DM· AC+DM· AB. 10.(10 分)(2011· 银川模拟)如图,点 A 是以线段 BC 为直径的⊙ 上一点,AD⊥ 于点 D, O BC 过点 B 作⊙ 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 O BE 相 交于点 F,连接并延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P.[来源:学&科&网]

[来源:学#科#网 Z#X#X#K] (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是⊙ 的切线. O 证明 (1)∵ 是⊙ 的切线,∴ BE O EB⊥ BC. 又∵ AD⊥ BC,∴ AD∥ BE. 可以得知△BFC∽ DGC,△FEC∽ GAC, △ △ BF CF EF CF BF EF ∴ = , = ,∴ = , DG CG AG CG DG AG 又∵ 是 AD 的中点, G ∴ DG=AG,∴ BF=EF. (2)如图,连接 AO,AB.[来源:学科网 ZXXK] ∵ 是⊙ 的直径, BC O ∴ BAC=90° Rt△BA E 中, ∠ .在 由(1)得知 F 是斜边 BE 的中点,[来源:Zxxk.Com] ∴ AF=FB=EF. ∴ FBA=∠ ∠ FAB. 又∵ OA=OB,∴ ABO=∠ ∠ BAO. ∵ 是⊙ 的切线,∴ EBO=90° BE O ∠ .

∴∠ EBO=∠ FBA+∠ ABO=∠ FAB+∠ BAO=∠ FAO=90° PA 是⊙ 的切线. ,∴ O

(时间:40 分钟 满分:60 分)

?x? ?x′? ?x+2y?作用后,再绕原点逆时针旋转 90° 1.已知点 A 在变换 T:? ?→? ?=? ,得到点 B.若 ? ?y? ?y′? ? y ?
点 B 的坐标 为 (-3,4),求点 A 的坐标.

?0 解 ? ?1

-1? ?1

2? ?0 -1? ? ? ?=? ?. 0? ?0 1? ?1 2?
? ?-b=-3, ?0 -1? ?a? ?-3? ? ? ?=? ?,得? ?1 ? 2? ?b? ? 4? ?a+2b=4.

设 A(a,b),则由?

? ?a=-2, 所以? 即 A(-2,3). ?b=3, ?

2. (2011· 扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下, A(1,2)变成了点 A′(7,10), 点 点 B(2,0)变成了点 B′(2,4),求矩阵 M. 解 设 M=? 则?

?a b?, ? ?c d ?

?a b? ?1?=?7 ?,?a b? ?2?=?2?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c d? ?2? ?10? ?c d? ?0? ?4?

?a+2b=7, ?c+2d=10, 即? 2a=2, ?2c=4, ?

?a=1, ?b=3, 解得? c=2, ?d=4. ?

所以 M=?

?1 3?. ? ?2 4?

3.(2011· 南京模拟)求曲线 C:xy=1 在矩阵 M=? 的方程. 解 设 P(x0,y0)为曲线 C:xy=1 上的任意一点,

? 1 1? ?对应的变换作用下得到的曲线 C1 ?-1 1?

? 1 1? 它在矩阵 M=? ?对应的变换作用下得到点 Q(x,y). ?-1 1?
由?
?x0+y0=x, ? ? 1 1? ?x0? ?x? ? ? ?=? ?,得? ?-1 1? ?y0? ?y? ? ?-x0+y0=y.

?x =x-y, 2 解得? x+y ?y = 2 .
0 0

因为 P(x0,y0)在曲线 C:xy=1 上,所以 x0y0=1. x-y x+y 所以 × =1,即 x2-y2=4. 2 2

所以所求曲线 C1 的方程为 x2-y2=4. 4. 已知矩阵 M=?

?1 2?的一个特征值 为 3, 求其另一个特征值. ? ?2 x ?

解 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=? -2? ?λ-1 ?=(λ-1)(λ-x)-4. ?-2 λ-x ?

因为 λ1=3 为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1, 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ2=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1. 5.求矩阵?

?2 1?的特征值及对应的特征向量. ? ?1 2? ?λ-2 ? -1
-1 ? ?=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3. λ-2?

解 特征多项式 f(λ)=?

由 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=3.
? ?-x-y=0, 将 λ1=1 代入特征方程组,得? ?x+y=0, ? ?-x-y=0

可取?

? 1? ?为属于特征值 λ1=1 的 一个特征向量. ?-1?

? ?x-y=0, ?1? 同理,当 λ2= 3 时,由? ?x-y=0,所以可取? ?为属 于特征值 λ2=3 的一个特 ?1? ?-x+y=0 ?

征向量. 综上所述,矩阵?

?2 1?有两个特征值 λ =1,λ =3;属于 λ =1 的一个特征向量为? 1?,属 ? ? ? 1 2 1 ?1 2? ?-1?

?1? 于 λ2=3 的一个特征向量为? ?. ?1?
6. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+y+2=0 在矩阵 M=? 线 m:x-y-4=0,求实数 a,b 的值. 解 法一 在直线 l:x+y+2=0 上取两点 A(-2,0), B(0,-2). A、B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于点 A′、B′. 因为?

?1 a?对应的变换作用下得到直 ? ?b 4?

?1 a? ?-2?=? -2?, ? ? ? ? ? ?b 4? ? 0? ? -2b?

所以点 A′的坐标为( -2,-2b);

?1 a? ? 0?=?-2a?,所以点 B′的坐标 为(-2a,-8). ? ? ? ? ? ? ?b 4? ?-2? ? -8?
由题意,点 A′、B′在直线 m:x-y-4=0 上,

??-2?-?-2b?-4=0, ? 所以? ? ??-2a?-?-8?-4=0.

解得 a=2, b=3. 法二 设 P(x,y)为直线 x+y+2=0 上的任意一点,它在矩阵 M=? 得到点 Q(x′,y′), 则?

?1 a?对应的变换作用下 ? ?b 4?

?1 a??x?=?x′?, ? ?b 4??y? ?y′?
x=-4x′+ay′, ab-4

? ?x+ay=x′, ? ? 得? 解得? bx′-y′ ? . ?bx+4y=y′, ?y= ?
-4x′+ay′ bx′-y′ 因此 + +2=0, ab-4 ab-4

即(b-4)x′+(a-1)y′+(2ab-8)=0. b-4 a-1 2ab-8 因为直线 l 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 m:x-y-4=0.所以 = = . 1 -1 -4 解得 a=2,b=3.

(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) π 1.已知直线 ρsin?θ+4?= ? ? 2 ,则极点到该直线的距离是________. 2

解析 由题意知,ρsin θ+ρ cos θ=1,∴x+y-1=0,由点到直线的距离公式得所求的距离 d= 2 . 2 2 2

答案

π 2.(2011· 汕头调研)在极坐标系中,ρ=4sin θ 是圆的极坐标方程,则点 A?4,6?到圆心 C 的 ? ? 距离是________. 解析 将圆的极坐标方程 ρ=4sin θ 化为直角坐标方程为 x2+y2-4y=0, 圆心坐标为(0,2). 又 π 易知点 A?4,6?的直角坐标为(2 3,2),故点 A 到圆心的距 离为 ?0-2 3?2+?2-2?2=2 3. ? ? 答案 2 3 3.在极坐标系中,过圆 ρ=6cos θ-2 2sin θ 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ________. 解析 由 ρ=6cos θ-2 2sin θ?ρ2= 6ρcos θ-2 2ρsin θ,所以圆的直角坐标方程为 x2+y2 -6x+2 2y=0,将其化为标准形式为(x -3)2+(y+ 2)2=11,故圆心的坐标为(3,- 2), 所以过圆心且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=3,将其化为极坐标方程为 ρcos θ=3. 答案 ρcos θ=3 π π 4. (2011· 华南师大模拟)在极坐标系中, M?4,3?到曲线 ρcos?θ-3?=2 上的点的距离的最 点 ? ? ? ? 小值为________. 解析 依题意知,点 M 的直角坐标是(2,2 3),曲线的 直角坐标方程是 x+ 3y-4=0,因 |2+2 3× 3-4| 此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离,即为 =2. 12+? 3?2 答案 2 5.(2011· 广州广雅中学模拟)在极坐标系中,圆 ρ=4 上的点到直线 ρ(cos θ+ 3sin θ )=8 的 距离的最大值是________. 解析 把 ρ=4 化为直角坐标方程为 x2+y2=16,把 ρ(cos θ+ 3sin θ)=8 化为直角坐标方程 8 为 x+ 3y-8=0,∴ 圆心(0,0)到直线的距离为 d= =4.∴ 直线和圆相切,∴ 圆上的点到直线 2 的最大距离是 8.

答案 8 π 6.在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cos θ,曲线 C2:θ= ,若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点, 4 则线段 AB=________.

?ρ=2cos θ, ? 解析 曲线 C1 与 C2 均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由 ? π 得 ? ?θ=4 ?ρ= 2, ? ? π 即曲线 C1 与 C2 的另一个交点与极点的距离为 2,因此 AB= 2. ?θ=4, ?
答案 2

7.(2011· 湛江模拟)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点 P 的极坐标为

?2,π?过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是________. ? 2?

解析 圆 C 的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0 化为普通方程:(x+1)2+y2=1,点 P 的直角坐 标为(0,2),圆 C 的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+2, |-k+2| 3 3 则圆心到切线的距离为 2 =1,∴ k= ,即 tan α= .易知满足题意的另一条切线的方程 4 4 k +1 4 为 x=0.又∵ 两条切线的夹角为 α 的余角,∴ 两条切线夹角的正切值为 . 3 答案 4 3

8.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值 范围是________. 解析 注意到曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y+4=0, 即 (x-1)2+(y+2)2=1.要使直线 3x+4y+m=0 与该曲线没有公共点,只要圆心 (1,-2)到直 |3× 1+4× 2?+m| ?- 线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径即可,即 > 1,|m-5|>5,解得,m 5 <0,或 m>10. 答案 (-∞,0)∪ (10,+∞) 二、解答题(共 20 分) 9. 分)设过原点 O 的直线与圆(x-1)2+y2=1 的一个交点为 P, M 为线段 OP 的中点, (10 点 当点 P 在圆上移动一周时,求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.

π π 解 圆(x-1)2+y2=1 的极坐标方程为 ρ=2cos θ?-2≤θ≤2?,设点 P 的极坐标为(ρ1,θ1),点 ? ? M 的极坐标为(ρ,θ),

∵ M 为线段 OP 的中点,∴ 1=2ρ,θ1=θ,将 ρ1=2ρ,θ1=θ 代入圆的极坐标方程,得 ρ 点 ρ π π ?1 ? 半径为1的 =cos θ.∴ M 轨迹的极坐标方程为 ρ=cos θ-?2≤θ≤2?, 点 ? ? 它表示圆心在点?2,0?, 2 圆. 10. 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴, (10 x 已知点 P 的直角坐标为(1, π π - 5),点 M 的极坐标为?4,2?,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 ? ? 3 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; ( 2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. y+5 x-1 y+5 π 解 (1)由题意, 直线 l 的普通方程是 y+5=(x-1)tan , 此方程可化为 = , 令 3 π π π sin cos sin 3 3 3

?x=2a+1, x-1 = =a(a 为参数),得直线 l 的参数方程为? π 3 cos 3 ?y= 2 a-5
1 2· OMcos∠ PO· POM, π ∴ 2=ρ2+42-2× 4 4ρcos?θ-2?. ? ? 化简得 ρ=8sin θ,即为圆 C 的极坐标方程. (2)由(1)可进一步得出圆心 M 的直角坐标是(0,4), 直线 l 的普通方程是 3x-y-5- 3=0, |0-4-5- 3| 9+ 3 圆心 M 到直线 l 的距离 d= = >4, 2 3+1 所以直线 l 和圆 C 相离.

(a 为参数).

如图,设圆上任意一点为 P(ρ,θ),则在△POM 中,由余弦定理,得 PM2=PO2+OM2-

(时间:40 分钟 满分: 60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

?x=-2- 2t, 1.(2011· 深圳模拟)直线? (t 为参数)上与点 A(-2,3)的距离等于 2的点的坐 ?y=3+ 2t
标是________.

?x=-2- 2t, 1 2 解析 由题意知(- 2t)2+( 2t)2=( 2)2,所以 t2= ,t=± ,代入? (t 为 2 2 ?y=3+ 2t
参数),得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). 答案 (-3,4)或(-1,2)
? ?x=2+cos θ, ? 2. (2011· 东莞模拟)若直线 l: y=kx 与曲线 C: (参数 θ∈R)有唯一的公共点, ?y=sin θ ?

则实数 k=________. 解析 曲线 C 化为普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径 r=1.由已知 l 与圆相 切,则 r= 答案 ± 3 3 |2k| 3 2=1?k=± 3 . 1+k

?x=cos α, ? 3.(2011· 广东高考全真模拟卷一)直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参数)的弦长 ? ?y=1+sin α

为________. |0+4-7| 3 解析 曲线可化为 x2+(y-1)2=1, 圆心到直线的距离 d= = , 则弦长 l=2 r2-d2 9+16 5 8 = . 5 答案 8 5

? ? ?x=1-2t, ?x=s, 4.(2011· 揭阳模拟)已知直线 l1:? (t 为参数),l2:? (s 为参数),若 l1 ?y=2+kt ?y=1-2s ? ?

∥l2,则 k=________;若 l1⊥l2,则 k=________. 解析 将 l1、l2 的方程化为直角坐标方程得 l1:kx+2y-4-k=0,l2:2x+y-1=0,由 l1∥ k 2 4+k l2,得 = ≠ ?k=4,由 l1⊥l2,得 2k+2=0?k=-1. 2 1 1 答案 4 -1

?x=3+3cos θ, ? 5. (2011· 湛江调研)参数方程? (θ 为参数)表示的图形上的点到直线 y=x 的最 ? ?y=-3+3sin θ

短距离为________. 解析
? ?x=3+3cos θ, 参数方程? 化为普通方程为(x-3)2+(y+3)2=9,圆心坐标为(3,- ?y=-3+3sin θ ?

|3-?-3?| 3),半径 r=3,则圆心到直线 y=x 的距离 d= =3 2 ,则圆上点到直线 y=x 的最 2 短距离为 d- r=3 2-3=3( 2-1). 答案 3( 2-1) 6.(2011· 陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴
? ?x=3+cos θ, 为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ ?y=sin θ ?

=1 上,则|AB|的最 小值为________. 解析 消掉参数 θ,得到关于 x、y 的一般方程 C1:(x-3)2+y2=1,表示以(3,0)为圆心,以 1 为半径的圆;C2 表示的是以原点为圆心的单位圆,|AB|的最小值为 3-1-1=1. 答案 1 7.已知在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜 率为 k 的直线 l 与曲线 C:

?x= 2cos θ, (θ 是参数)有两个不同的交点 P 和 Q,则 k 的取值范围为________. ? ?y=sin θ ?x= 2cos θ, x2 解析 曲线 C 的参数方程:? (θ 是参数)化为普通方程: +y2=1,故曲线 C 2 ?y=sin θ
是一个椭圆.由题意,利用点斜式可得直线 l 的方程为 y=kx+ 2,将其代入椭圆的方程得 1 2 x2 +(kx+ 2)2=1,整理得?2+k ?x2+2 2kx+1=0,因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P ? ? 2 1 2 2 2 和 Q,所以 Δ=8k2-4×?2+k ?=4k2-2>0,解得 k<- 或 k> .即 k 的取值范围为 ? ? 2 2

?-∞,- 2?∪? 2,+∞?. 2? ?2 ? ?
2 2 答案 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ?
?x=a+2cos θ, ? 8.如果曲线 C:? (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为 2,则实数 a ? ?y=a+2sin θ

的取值范围是________. 解析 将曲线的参数方程转化为普通方程,即(x-a)2+(y-a)2=4,由题意可知,以原点为 圆心,以 2 为半径的圆与圆 C 总相交,根据两圆相交的充要条件,得 0< 2a2<4,

∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或 -2 2<a<0. 答案 (-2 2,0)∪(0,2 2) 二、解答题(共 20 分)
?x=cos θ, ? 9.(10 分)(2010· 辽宁)已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ ≤π)上的点,点 A 的 ? ?y=sin θ

π 坐标为 (1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π π π 解 (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 ,故点 M 的极坐标为?3,3?. ? ? 3 3 π 3π? (2)M 点的直角坐标为? , ,A(1,0). ?6 6 ?

?x=1+?6-1?t, ? ? 故直线 AM 的参数方程为? 3π ?y= 6 t

π

(t 为参数).

? ? ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 10. 分)(2010· (10 新课标全国)已知直线 C1: (t 为参数), C2: 圆 ? ? ?y=tsin α ?y=sin θ

(θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线. π 解 (1 )当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1), 3

?y= 3?x-1?, C2 的普通方程为 x2+y2=1.联立方程组? 2 2 ?x +y =1,
1 3 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2 (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2 α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=2sin α, ? 1 ?y=-2sin αcos α
1
2

(α 为参数),

1 1 P 点轨迹的普通方程为?x-4?2+y2= . ? ? 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为?4,0?,半径为 的圆. ? ? 4


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