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全国版2017版高考数学一轮复习几何证明选讲1相似三角形的判定及有关性质课件理选修4


选修4-1 几何证明选讲
第一节 相似三角形的判定及有关性质

【知识梳理】 1.平行线等分线段定理及其推论
名称 条件 结论

一组平行线在一条直线上 在其他直线上截得 定理 截得的线段相等 的线段也_____ 相等 经过三角形一边的中点与 推论1 ___________ 另一边平行的直线 平分第三边
经过梯形一腰的中点且与 推论2 ___________ 底边平行的直线 平分另一腰

2.平行线分线段成比例定理及其推论
名称 定理 条件 三条平行线截两条直线
平行于三角形一边的直线截 其他两边(或两边的延长线)

结论
_____________ 所得的对应线 _________ 段成比例 _____________ 所得的对应线 _________ 段成比例

推论

3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的定义:对应角_____,对应边_______的 相等 成比例 两个三角形叫做相似三角形.相似三角形_______的比 对应边 值叫做相似比(或相似系数).

(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或
两边的延长线)_____,所构成的三角形与原三角形_____.

相交

相似

(3)判定及性质
条件 两角对应_____ 任意 相等 三角 两边对应_______且夹角_____ 成比例 相等 判 形 三边对应_______ 定 成比例 有一个锐角对应_____ 直角 相等 三角 两条直角边对应_______ 形 斜边和一条直角边对应 _______ 成比例 成比例 结论

两三角 形相似

相似三角形对应高、对应中线、对应角 平分线、外接圆的直径、周长的比等于 性质 _______ 相似比 相似三角形面积、外接圆的面积比等于 _____________ 相似比的平方

4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜边上的高是_____________________ 两直角边在斜边上射影 的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的_________.

比例中项

【特别提醒】
1.把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论 交换之后,命题仍然成立. 2.应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误, 可以根据相等的角去找.

考向一

平行线分线段成比例定理

【典例1】(2016·太原模拟)如图,在梯 形ABCD中, AB∥CD,AB=4,CD=2.点E,F分

别为AD,BC上的点,且EF=3, EF∥AB,求
梯形ABFE与梯形EFCD的面积比.

【解题导引】利用平行线分线段成比例定理确定两个
梯形的高之间的关系,再确定两梯形的面积比.

【规范解答】如图,延长AD,BC交于一点O, 作OH⊥AB于点H.

x 2 ,得x=2h1, ? x ? h1 3 x ? h1 3 ,得h1=h2. ? x ? h1S? h 2 4= ×(3+4)×h = h , 所以 梯形ABFE 2 1 7 2 2 2 S梯形EFCD= ×(2+3) × h 1= h 1, 1 5 所以S梯形ABFE 2 ∶S梯形EFCD=7∶ 2 5.
所以

【规律方法】平行线分线段成比例定理的作用及应用
技巧 (1)作用:①可以判定线段成比例; ②当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理将 两条线段的比转化为另外两条线段的比.

(2)应用技巧:①利用定理来计算或证明时,首先要观察

平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例
式,同时注意合比性质、等比性质的运用.

②在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形
的一边,是否过一边的中点.

【变式训练】如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,

AE∶AC=3∶5,DE=6,求BF的长.

【解析】由DE∥BC,得 DE AE 3 ? ? , BC AC 5 因为DE=6,所以BC=10, 又DF∥AC,所以

BF BD CE 2 ? ? ? BC AB AC 5

,所以BF=4.

【加固训练】

1.如图,点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点,
且DC∶BE=3∶2,求AD∶BF的值.

【解析】因为点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一 点,且DC∶BE=3∶2,则利用相似比得到AD∶BF=5∶2.

2.如图所示,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1,

AD与CE相交于点F,求 EF AF 的值. ? FC FD

【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G, 则 DG

CD CG 1 ,而 AE 1 ? ? ? ? , BE BC EC 3 BE 3 即 ,所以AE=DG, AE DG ? BE AF=DF BE ,EF=FG=CG, 从而有


EF AF EF AF 1 3 ? ? ? ? ?1 ? . FC FD 2EF AF 2 2

考向二

相似三角形的判定与性质

【典例2】(2016·信阳模拟)如图,在△ABC中,点D是BC
边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与

AD相交于点F.
(1)求证:△ABC∽△FCD. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.

【解题导引】(1)利用△BEC和△ADC都是等腰三角形, 从而底角分别相等证明. (2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出 △ABC的面积,再通过过点A作BC的垂线利用平行线分线

段成比例求解.

【规范解答】(1)因为DE⊥BC,点D是BC边上的中点,

所以EB=EC,所以∠B=∠ECD.
又AD=AC, 所以∠ADC=∠ACD, 所以△ABC∽△FCD.

(2)过点A作AM⊥BC,垂足为点M,

因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,
所以 S

BC 2 ? ( ) ? 4. S△S CD所以S 又因为 =5, FCD △FCD △ABC=20.
△ABC

又S△ABC= ×BC×AM=

×10×AM=20,

1 解得AM=4. 2

1 2

又DE∥AM,所以 DE BD ? . AM BM 因为DM= 1 DC= 5 , 2 2 BM=BD+DM=5+ 5 15 ? , 所以 ,2 解得 2 DE= . DE 5 8 ? 4 15 3 2

【规律方法】

1.证明相似三角形的一般思路
(1)先找两对内角对应相等.

(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是
否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.

2.相似三角形的性质的应用

(1)可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段
相等.

由相似三角形构造成比例线段时,可以利用等角所对的
边对应成比例构造等式,避免边与边的对应出错.

(2)求解线段长度问题:充分利用所求线段与已知线段

长度之间的关系,化归到相应三角形中,通过构造相似
三角形求解.

【变式训练】(2016·商丘模拟)如图,在△ABC中,

BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于
点F,点E是AB的中点,连接EF.

(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6, 求△ABD的面积.

【解析】(1)因为CF平分∠ACB,

所以∠ACF=∠DCF.
又因为DC=AC,所以CF是△ACD的中线,

所以点F是AD的中点.
因为点E是AB的中点, 所以EF∥BD,即EF∥BC.

(2)由(1)知,EF∥BD,

所以△AEF∽△ABD,
所以 S AE 2 △AEF ?( ) . S△ AB 又因为 AE= AB,S ABD △AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6, 1 所以 ,所以S△ABD=8, 2 S△ABD ? 6 1 2 ? ( ) 8. 所以△ABD的面积为 S△ABD 2

【加固训练】1.如图,在△ABC中,点D为BC边的中点, 点E为AD上的一点,延长BE交AC于点F.若 AE 1 ,求 ? AD 4 的值. AF AC

【解析】如图,过点A作AG∥BC,交BF的延长线于点G.

则△AGE∽△DBE,△AGF∽△CBF, 因为 ,所以

AE 1 AE 1 ? ? . 所以 AD 4 ED 3 AG AE 1 ? ? . BD ED 3

因为点D为BC的中点,
所以BC=2BD, 所以 AG

1 ? . 所以 BC 6 AF AG 1 所以 FC ? BC ? 6 , AF 1 ? . AC 7

2.(2016·郑州模拟)如图,在正方形ABCD中,点P是BC上 的点,且BP=3PC,点Q是CD的中点,求证:△ADQ∽△QCP.

【证明】在正方形ABCD中,

因为Q是CD的中点,
所以

AD 因为 QC =3,所以 =4. BP BC 又因为 =2. PCBC=2DQ,所以 PC DQ PC

=2.

在△ADQ和△QCP中,

AD DQ ,且∠D=∠C=90°, ? QC CP 所以△ADQ∽△ QCP.

考向三

直角三角形中的射影定理

【典例3】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点
D,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,求证:

(1)AB·AC=BC·AD.
(2)AD3=BC·CF·BE.

【解题导引】(1)可以利用Rt△ABC的面积的两种表示

证明.
(2)分别在Rt△ADB,Rt△ACD和Rt△BAC中利用射影定理

后进行等量代换.

【规范解答】(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC,
所以S△ABC= 1 AB·AC= 1 BC·AD. 2 2 所以AB·AC=BC·AD.

(2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,

由射影定理可得BD2=BE·AB,
同理CD2=CF·AC,

所以BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△BAC中,AD⊥BC, 所以AD2=BD·DC,

所以AD4=BE·AB·CF·AC, 又AB·AC=BC·AD. 即AD3=BC·CF·BE.

【母题变式】1.本例中若AB=5,AD=4,求AC的长. 【解析】由AB=5,AD=4,得BD=3, 又AB2=BD×BC,所以BC= 所以AC=

25 , 3

20 BC ? AB ? . 3
2 2

2.本例中若BD∶DC=1∶2,试判断E,F的位置.
【解析】显然Rt△ABC∽Rt△DBA∽Rt△DAC,

根据相似三角形的性质,E,F也是BA,AC的三等分点,


BE AF 1 ? ? . EA FC 2

【规律方法】射影定理的应用技巧

(1)要注意将“等积式”转化为相似三角形中的“比例
式”或将“比例式”转化为“等积式”.

(2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形,确定直角边
与其射影,这是解直角三角形时常用的方法. (3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.

易错提醒:对于直角三角形,射影定理一定成立,但满足
该结论的三角形不一定是直角三角形.

【变式训练】如图所示,AD,BE是△ABC的两条高,
DF⊥AB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于 点H,求证:DF2=GF·HF.

【证明】因为∠H+∠BAC=90°,

∠GBF+∠BAC=90°,
所以∠H=∠GBF.

因为∠AFH=∠GFB=90°,
所以△AFH∽△GFB, 所以

HF AF ? , BF GF

所以AF·BF=GF·HF. 因为在Rt△ABD中,FD⊥AB, 所以DF2=AF·BF,

所以DF2=GF·HF.

【加固训练】

1.如图,在△ABC中,点D,F分别在AC,BC上,且AB⊥AC,
AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.

【解析】在△ABC中,设AC为x,

因为AB⊥AC,AF⊥BC,FC=1, 根据射影定理得:AC2=FC·BC, 即BC=x2.

再由射影定理得:

AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,
所以AF=

x 2 ? 1. 过点D作DE⊥BC于点E,
因为BD=DC=1,所以BE=EC.

又因为AF⊥BC,所以DE∥AF,

所以 DE

DC ? , AF AC 所以DE= DC?AF x 2 ?1 ? . 在Rt△DEC中 , AC x
因为DE2+EC2=DC2,

2 2 x ? 1 x 即( )2 ? ( )2 ? 12, x 2 即 x 2 ? 1 x 4 =1. ? 2 x 4,即AC= . 所以x=
3

2

3

2

2.如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,

BE是∠ABC的平分线,交AD于点F,求证: DF AE ? . AF EC

【证明】因为BE是∠ABC的平分线,
所以 DF BD ,① ? AF . AB ② AE AB ? 在 Rt△ ABC中,由射影定理知, EC BC AB2=BD·BC,即 .③

BD AB ? AB BC

由①③得 DF ? AB ,④ AF BC 由②④得 DF AE ? . AF EC



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