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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版


8.6

空间向量及其运算

-2-

考纲要求:1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意 义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线 性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

-3-

1.空间向量 (1)定义:在空间中,既有大小又有方向的量叫作空间向量,其大 小叫作向量的长度或模. (2)向量的夹角:过空间任意一点 O 作向量 a,b 的相等向量和 ,则∠AOB 叫作向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,规定 0≤<a,b>≤π. π 当<a,b>= 时,a⊥b;当<a,b>=0 或 π 时,a∥b. 2.向量、直线、平面 (1)直线 l 的方向向量:设 A、B 是直线 l 上任意两点,则称为 直线 l 的方向向量. 与平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向 量. (2)平面的法向量:如果直线 l 垂直于平面 α,那么把直线 l 的方向 向量 a 叫作平面 α 的法向量.
2

-4-

3.空间向量的运算 (1)空间向量的加减法及空间向量的数乘与平面向量的加减法 及平面向量的数乘相同. (2)空间向量的数量积:空间向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos<a,b>,空间向量数量积与平面向量数量积的运算律相 同. (3) 设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求 · = 0, 法向量的方程组为 . · = 0 4.空间向量中的有关定理 (1)定理:空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在 实数 λ,使得 a=λb. (2)空间向量基本定理:如果向量 e1,e2,e3 是空间三个不共面的向 量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ1,λ2,λ3,使得 a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个空间的 一个基底.

-5-

5.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 b 数量积 a· a=λb(b≠0) 共线 a· b=0(a≠0,b≠0) 垂直 模 夹角 |a| <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>= 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
2 2 2 1 + 2 + 3 1 1 + 2 2 + 3 3
2 + 2 + 2 · 2 + 2 + 2 1 2 3 1 2 3

-61 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件. ( × ) (2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若 =x+y+z (其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面. ( × ) (3)对于空间非零向量a,b,a⊥b?a· b=0. ( √ ) (4)空间中任意不共线的三个向量都可构成空间的一个基底. ( × ) (5)空间中任意两个非零向量共面. ( √ )

-71 2 3 4 5

2.若x,y∈R,有下列命题: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb;

③若=x+y,则 P,M,A,B 共面; ④若 P,M,A,B 共面,则=x+y.
其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

关闭

①正确,②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成立.③正确. ④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则=x+y不正确.
关闭

B
解析 答案

-81 2 3 4 5

3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在 这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则CD的长为 .

关闭

设 =a, =c, =d, 由已知条件 |a|=4,|c|=6,|d|=8,< a,c>=90°,<a,d>=90°,<c,d>=60°, | |2=| + + 1 |2=|-c+a+d|2=a2+c2+d2- 2a· c+2a· d-2c· d=16+ 36+ 64-2×6×8× =68,关闭 2 2√ 17 |= cm 则 | 2√17.
解析 答案

-91 2 3 4 5

4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和 BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为 .
关闭

以 D 为原点 ,DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),A 1(1,0,1),B1(1,1,1), B(1,1,0),C(0,1,0),

∴M 1, 2 ,1 ,N 1,1, 2 ,
∴ = 0, ,1 , = 1,0,
2 1

1

1

1 2

,
2 5

∴cos< , >
=
5

·

| | 2 | |·

=

1 2

1 2 +12 × 2

12 +

1 2 2

= .
解析

关闭

答案

-101 2 3 4 5
关闭

5.(教材习题改编P98T4)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边 解 :设 =a, =b, =c.则 和对角线长都等于 1, 点E,F, G分别是 ,AD ,CD的中点,计算: |a|=|b|=|c|=1,<a ,b>=<b ,c>=<c ,a>AB =60 °.
(1) = = c- a,=-a, =b-c,
2 1 1 1 2

· =

1 2

-
1 2 2

2 1

(2) · = (c-a)· (b-c)= (b· c-a· b-c +a· c)=- . (3) = + + = a+b-a+ c- b=- a+ b+ c, | |2= a2+ b2+ c2- a· b+ b· c- c· a= ,则 | |= . 4 4 4 2 2 2 2 2 (1) ·;(2) · ; 1 1 1 · 2 (4) = b+ c, = + =-b+ a,cos< , >= =- , 2 2 2 | || | 3 (3)EG的长;(4) 异面直线 AG与CE所成角的余弦值 . π 由于异面直线所成角的范围是 0, ,所以异面直线 AG 与 CE 所 成角的余弦值为 .
3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 √2 2 2 1 1 1 1 4 1 1

1 2 1 1 · (-a)= a - a· c= . 2 2 4 1 2

1

答案

-111 2 3 4 5

自测点评 1.理解空间向量的概念、性质、运算,注意和平面向量类比,找区 别与联系. 2.用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进 行线性运算.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1空间向量的线性运算
例1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 解 :(1) ∵P 是 C1D 1 的中点 , ,BC,C1D1的中点,试用 1 =a, =b, =c, M,N,P分别是AA11 = 1 + 1: + + 1 + 1 = 1 1 1. a,b,c∴ 表示以下各向量 (1) ;(2) a 2 + 1 ;(3) 1 1 =a+c+ =a+c+ b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点 , 1 1 1 ∴ 1 = 1 + + =-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
关闭

(3)∵M 是 AA1 的中点 ,∴ = + = 1 + =- a+ + + = a+ b+c.
2 2 1 1 1 1 2 2

1

2

2

又1 = + 1 = + 1 = + 1 = c+a, ∴ + 1 =
1 2

2 1 2 1 2

1 2

1 2

+ + + + = a+ b+ c.
2 2 2 2

1

3

1

3

答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何利用空间向量的线性运算表示所需向量? 解题心得:1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示 出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题 时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就 近表示所需向量. 2.空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的,即把空 间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来 解决.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是 △ABC的重心,用基向量 , , 表示, .

关闭

解 : = + = + = + ( ? ) = +
1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 3

2

( + )-
1 3 1 2 1 3 1 3 1 3

= + + . = ? = ? = + + ?
1 2

=- + + .
6 3 3

1

1

1

答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

关闭 考点2共线定理、共面定理的应用 证明 :(1) 连接 BG ,EG, 例 2已知 E ,F,G, H分别是空间四边形 ABCD的边AB,BC,CD,DA的 中点,用向量方法证明:

则 = + = + 2 ( + )= + + = + ,由共面向量定理知:E,F,G,H 四点共面. 1 1 1 1 (1) E , F , G , H 四点共面 ; (2)因为 = ? = 2 ? 2 = 2 ( ? )=2 , (2) BD∥ 因为 E平面 ,H,B,EFGH. D 四点不共线,所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.
答案

1

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:共线定理、共面定理有哪些应用?

解题心得:1.证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题, 如证明 A,B,C 三点共线,即证明 , 共线,亦即证明=λ (λ≠0). 2.证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明 P,A,B,C 四点共面,只要能证明=x+y ,或对空间任一点 O,有 = +x+y ,或 =x+y +z(x+y+z=1)即可.共面向 量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1 和BC上,且满足 =k1 , =k (0≤k≤1).
关闭

(1)解 向量 是否与向量 :(1) ∵ =k1 , =k, ,1 共面? ∴ = + + =k1 + +k (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行? =k(1 + )+ =k(1 + 1 1 )+ =k1 + = -k1 = -k(1 + )=(1-k) -k1 , ∴由共面向量定理知向量与向量, 1 共面 . (2)当 k=0 时 ,点 M,A 重合 ,点 N,B 重合 ,MN 在平面 ABB1A1 内 . 当 0<k≤1 时 ,MN 不在平面 ABB1A1 内 , 又由 (1)知与 , 1 共面 , 所以 MN∥平面 ABB1A1.
答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3空间向量的数量积及其应用(多维探究) 类型一 利用空间向量的数量积证明垂直 例3如图,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M,N分别是AB,CD的中点.利用空间向量证明:MN⊥AB,MN⊥CD.
关闭

证明 :设 =p, =q, =r. 由题意可知 ,|p|=|q|=|r|=a,且 p,q,r 三向量两两夹角均为 60°. 1 1 1 = ? = ( + )- = (q+r-p), ∴ · = (q+r-p)· p = (q· p+r· p-p2) 2 1 如何利用空间向量的数量积证明垂直 思考 ? = : (a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.
2 1 2 1 2 2 2

∴ ⊥ ,即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 利用空间向量的数量积求长度 例4如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把 解 :∵AB 与 CD 成 60°角 , △ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD的长. ∴<, >=60°或 120°. 又 ∵AB=AC=CD=1,AC⊥ CD,AC⊥AB,

关闭

∴| |= 2 = (BA + AC + CD)2
2 + 2 + 2 + 2 · = + 2 · 思考:如何利用空间向量的数量积求长度 ? + 2·

= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 × 1 × 1 × cos < , > = 3 + 2 < BA,CD >,

∴| |=2 或 √2,∴BD 的长为 2 或√2.
答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
关闭

类型三 利用空间向量的数量积求夹角 例5直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的 中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )

如图 ,以点 C1 为坐标原点 ,C1B1,C1A1,C1C 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ,建立空间直角坐标系, 不妨设 1 BC=CA=CC12 =1,可知点 √30 √2 1 1 1 A. N 0, ,0 ,B . . . ∴ =D.0,- 1 ,-1 , = A(0,1,1), B(1,0,1), M , C ,0
10

- , ,-1 .
2 2

1 1

2

5

2 2

10

2

2

∴ C cos< , >=| || | =

·

√30 . 10

关闭

解析

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何利用空间向量的数量积求异面直线夹角?

解题心得 :1.当题目条件有垂直关系时 ,常转化为数量积为零进 行应用 . 2.当异面直线所成的角为 α 时 ,常利用它们所在的向量转化为 向量的夹角 θ 来进行计算 .应该注意的是 α∈ 0, cos α=| cos θ|=
|· | . |||| π 2

,θ∈[0,π],所以

3.立体几何中求线段的长度可以通过解三角形 ,也可依据 |a|=√2 转化为向量求解 .

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
关闭

对点训练3 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为 解 :(1)记 =a, =b,1 =c, 端点的三条棱长都为 且两两夹角为 60° . °, 则 |a|=|b|=|c|=1,<a1, ,b>=<b ,c>=<c,a>= 60

∴a· b=b· c=c· a= . 2
=1+1+1+2×
1 2

1

|1 |2=(a+b+c)2=a2+b 2+c2+ 2(a· b+b· c+c· a) + +
2 1 1 2

=6,

∴|1 |=√6,即 AC1 的长为√6.
(2)同 (1)得 ,1 =b+c-a, =a+b, (1)求AC1的长; ∴|1 |=√2,| |=√3, (2)求BD1与AC夹角的余弦值 2. 2 1 ·=(b+c-a)· (a+b)=b -a +a· c+b· c= 1.

∴cos< 1 , >=|1|| | = ∴AC 与

√6 . 6 1 √6 BD1 夹角的余弦值为 . 6

·

答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应 用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面 问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向 量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去解决问 题.

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即 a· b=b· a,a· (b+c)=a· b+a· c成立,(a· b)· c=a· (b · c)不一定成立. 2.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意 两种角的范围不同,最后应进行转化.

-25-

易错警示——空间向量运算错误 典例1如图,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且 CQ∶QA1=4∶1,设 =a, =b,1 =c,用基底{a,b,c}表示以下向 量:

(1);(2);(3) ;(4) .

-26-

解 :如图 ,连接 AC,AD1.

1 1 1 (1) = ( + 1 )= ( + + 1 )= (a+b+c). 2 2 2 1 1 (2) = ( + 1 )= ( +2 + 1 ) 2 2 1 = (a+2b+c). 2 1 (3) = (1 + 1 ) 2 1 = [( + + 1 )+( + 1 )] 2 1 1 1 = ( +2 +21 )= (a+2b+2c)= a+b+c. 2 2 2 4 (4) = + = + (1 ? ) 5 1 4 1 1 4 = + 1 = + + 1 5 5 5 5 5 1 1 4 = a+ b+ c. 5 5 5

-27-

典例2如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是平行四边形.已

知 = , 1 =2,若 =b, =c,1 =a,试用 a,b,c 表示 .

1 2

-28-

解 :如图 ,连接 AF,则 = + . 由已知四边形 ABCD 是平行四边形 , 故 = + =b+c, 1 = 1 + =-a+c. 由已知 ,1 =2 ,

∴ = + = ? = ? 3 1 =c-3(c-a)=3(a+2c).
1 1 又=- =- (b+c), 3 3 1 1 1 ∴ = + =-3(b+c)+3(a+2c)=3(a-b+c).

1

1

1



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