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高中数学复习数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版_图文

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

主题1 复数的概念 1.方程x2=1有解吗?解是什么?方程x2+1=0在实数范围内 有解吗? 提示:方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在实数范围 内没有解.

2.若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗? 提示:有解(x=±i),但不在实数范围内. 3.添加i之后,i与原来的实数之间进行加法乘法运算的 时候,会产生怎样的新数? 提示:若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为 a+bi的新数.

结论:

1.复数的定义

形如_____________的数叫做复数,其中i叫做___

a+bi(a,b∈R)



_______,满足i2=___,全体复数所成的集合C叫做

_数__单__位__.

-1

复数集

2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_a_+_b_i_(_a_,_b_∈__R_)_,这一表 示形式叫做复数的_________,a与b分别叫做复数z的
代数形式 _____与_____. 实部 虚部

【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.

主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示 什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.

2.实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即 R ? C. 用图形语言描述:

结论:
1.复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?_________. a=c且b=d

2.复数的分类

【微思考】 怎样判断复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数? 提示:将复数化成z=a+bi(a,b∈R)的形式,再按分类判 断.

【预习自测】 1.下列命题是假命题的是 ( ) A.-i不是负数 B. i不是无理数 C.如2果a是实数,那么ai是虚数 D. 不是分数
i 3

【解析】选C.若a=0则ai=0是实数.

2.复数-3i的虚部是 ( )

A.0

B.-3

C.i

D.-3i

【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,b∈R)的形式,

实部a=0,虚部b=-3.

3.若x,y∈R,z=x+yi是虚数,则有 ( )

A.x=0,y∈R

B.x≠0,y∈R

C.x∈R,y=0

D.x∈R,y≠0

【解析】选D.z=x+yi是虚数,只需y≠0即可.

4.设i为虚数单位,若关于x的方程 x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=________.

【解析】关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一 实根为n,可得n2-(2+i)n+1+mi=0. 所以 ?n2 ? 2n ?1 ? 0, 所以m??=mn?=1n.? 0. 答案:1

类型一 复数的概念 【典例1】(1)(2017·成都高二检测)已知复数z=(a-1)(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别 是________.

(2)已知log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的 取值集合为________.

【解题指南】(1)根据实部、虚部的值列方程求解即可. (2)由复数的概念知任意两个虚数是不能比较大小的, 只有两个实数才能比较大小,因此一经出现与复数有关 的不等式,不等式的两边的数必定是实数.本题中不等 式右边是实数1,因此左边必定为实数,即 log2(x2+2x+1)=0,从而不等式为log2(x2-3x-2)>1.

【解析】(1)由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.
答案:3,3
? ? (2)由题意 ??log2 x2 ? 3x ? 2 >1, 解得x=-2,所以实数x的取 ? ? 值集合为{-???2lo}g.2 x2 ? 2x ?1 ? 0,
答案:{-2}

【方法总结】判断与复数有关的命题是否正确的策略 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚 部,且注意虚部不是bi,而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数 和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即 可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否 定,后肯定”的方法进行解答.

【巩固训练】判断下列命题的真假. (1)复数a+bi不是实数. (2)若复数z=3+bi>0(b∈R),则b=0.

【解析】(1)假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数. (2)真命题,只有实数才可以比较大小,既然有3+bi>0, 则说明z=3+bi为实数,故b=0.

【补偿训练】设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是 “复数a-bi为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故 ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故 “ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.

类型二 复数的分类
【典例2】设
z ? log1 ?m ?1? ? ilog2 ?5 ? m?(m?R).
(1)若z是虚数,求m的2 取值范围.
(2)若z是纯虚数,求m的值.

【解题指南】(1)先根据虚数的概念,由z是虚数得其虚 部不为0;再根据对数的性质及z是虚数得到m的不等式 组,解不等式组求出m的范围. (2)因z是纯虚数,由其虚部不为0,实部为0得到m的不等 式组,并求出m的值.

【解析】(1)因为z是虚数,故其虚部log2(5-m)≠0,

m应满足的条件是 ?m ?1 ? 0, ??5 ? m ? 0, ??5 ? m ? 1,

解得1<m<5,且m≠4.

(2)因为z是纯虚数,故其实部

log

(m-1)=0,虚部
1

log2(5-m)≠0,

2

m应满足的条件是 ?m ?1 ? 1, ??5 ? m ? 0, ??5 ? m ? 1,

解得m=2.

【延伸探究】

本例条件不变,当m为何值时,z为实数?

【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足

的条件是 ?5 ? m ?1, ??m ?1 ? 0,

解得m=4.

【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.

(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 ?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.

2.复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下 是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有 意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非 常关键,解答后进行验算是很必要的.

(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体 的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与 虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的 重要思路之一.

【巩固训练】实数k为何值时,复数z=(1+i)k2(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚 数.(4)零.

【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k4)+(k2-5k-6)i. (1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1. (2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.

(3)当 ?k2 ? 3k ? 4 ? 0, 时,z是纯虚数,解得k=4.

? ?k

2

?

5k

?

6

?

0

(4)当 ?k2 ? 3k ? 4 ? 0, 时,z=0,解得k=-1. ??k2 ? 5k ? 6 ? 0

类型三 复数的相等 【典例3】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i,z2=(3x+2y)-yi, 若z1=z2,实数x=________,y=______. (2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根, 求实数m的值及方程的实数根.

【解题指南】(1)根据实部与实部相等,虚部与虚部相 等,列方程组求解. (2)设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R) 的形式解决.

【解析】(1)由复数相等的充要条件得 解得 ?x ? ?9,

?x ? y ? 3x ? 2y, ??x ? 3 ? ?y,

答案:??-y9? 6.6

(2)设a是原方程的实数根, 则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0,

所以a=- 1 且(? 1 )2 ?(? 1 )+3m=0,

2

2

2

所以m= 1 .

所以m= 12 ,方程的实数根为x=- .

1

1

12

2

【延伸探究】 1.若将本例(2)中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求 解?

【解析】设方程的实数根为x0,代入方程,由复数相等

的定义,得

?x ?

2 0

?

mx0

?

?1,

解得

?2x或0 ? ?m,

因此,???当mx0m??=?1-,22时,原???mx方0 ??程2?,的1, 实数根为x=1,

当m=2时,原方程的实数根为x=-1.

2.若将本例(2)中的方程改为3x2- m x-1=(10-x-2x2)i, 2
如何求解?

【解析】设方程的实数根为x0,则原方程可变为

3

x

2 0

-

m 2

x0-1=(10-x0-2

x

2 0

)i,由复数相等的定义,得:

因?????130此x?02 ,?x当0m2?mx2=0x1?02 11?时?0,0,, 原解方得程???的mx0实??12数1, 根或为?????mxx0=??2?;?7521,, ?? 5

当m=- 时,原方程的实数根为x=- .

71

5

5

2

【方法总结】复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等, 虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题, 为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数 化思想的体现.

(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能 比较大小的.

【补偿训练】1.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy的

值是 ( )

A.1

B.2

C.-2

D.-1

【解析】选A.若实数x,y满足式子(1+i)x+(1-i)y=2,

则式子里的虚部为0,所以方程组 ?x ? y ? 2,

所以x=y=1,所以xy=1.

??x ? y,

2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,i为虚数单位. 求实数x,y的值.

【解析】根据复数相等的充要条件, 由(2x-1)+i=y-(3-y)i,



?2x ?1 ? y,

即x??=1

?

??3? y?,
,y=4.

5 2

解得 ??x ? 5 , ?2 ??y ? 4.

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 (1)转化法,非标准的复数形式化为标准代数形式. (2)方程思想,利用复数相等的意义,列方程(组)解决问 题.



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