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湖南省长沙市一中高中数学必修5教案(全套)高一数学《2.3等差数列的前n项和(二)》


2.3

等差数列的前 n 项和(二)

教学要求:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用 教学要求 它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 如果 An,Bn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,则 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式. 教学重点 教学难点:灵活应用求和公式解决问题. 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一, 复习准备 1,等差数列求和公式: Sn = 项和的公式研究 的最值.

a n A2 n 1 = . bn B2 n 1

n(a1 + an ) n( n 1) , S n = na1 + d 2 2

2,在等差数列{an}中 (2) 若 a3+a8=m, 求 a5+a6; (1) 若 a5=a, a10=b, 求 a15; (3) 若 a5=6, a8=15, 求 a14; (4) 若 a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15. 讲授新课: 二,讲授新课: 1,探究:等差数列的前 n 项和公式是一个常数项为零的二次式. ,探究: 例 1,已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = n +
2

1 n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 2

如果是,它的首项与公差分别是什么? 【结论】数列 {a n } 的前 n 项和 S n 与 a n 的关系: 结论 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, a n = S n - S n 1 ,即 a n = 练习: 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =

S1 (n = 1) . S n S n 1 (n ≥ 2)

1 2 2 n + n + 3, 求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 4 3 2 探究: 一般地, 如果一个数列 {a n }, 的前 n 项和为 S n = pn + qn + r , 其中 p, r 为常数, p ≠ 0 , q, 且 探究:
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? (是, a1 = p + q + r , d = 2 p ).

由此, 等差数列的前 n 项和公式 S n = na1 +

n(n 1)d d 2 d 可化成式子:S n = n + (a 1 ) n ,当d≠0, 2 2 2

是一个常数项为零的二次式. 2. 教学等差数列前 n 项和的最值问题: 项和的最值问题: 例题讲解: ① 例题讲解: (2)求此数列的前 n 例 2,数列 {a n } 是等差数列, a1 = 50, d = 0.6 . (1)从第几项开始有 an < 0 ; , 项和的最大值. 结论:等差数列前项和的最值问题有两种方法: 结论 (1) 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值 可由 a n ≥0,且 a n +1 ≤0,求得n的值;
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奎屯

当 a n <0,d>0,前n项和有最小值 可由 a n ≤0,且 a n +1 ≥0,求得n的值.
新疆 王新敞 奎屯

d 2 d n + (a 1 )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 2 2 练习:在等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值. 练习
(2)由 S n =

例 3,已知等差数列 5, 4

2 4 , 3 , .... 的前 n 项的和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值. 7 7

归纳: (1)当等差数列{an}首项为正数,公差小于零时,它的前 n 项的和为 S n 有最大值,可以通过

a n ≥ o 求得 n a n 1 ≤ 0
(2)当等差数列{an}首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和为 S n 有最小值,可以通过

a n ≤ o 求得 n a n 1 ≥ 0
三,课堂小结: 求"等差数列前 n 项和的最值问题"常用的方法有: (1)满足 a n > 0且a n +1 < 0 的 n 值; (2)由 S n = na1 +

n(n 1) d d d = n 2 + (a1 )n, 利用二次函数的性质求 n 的值; 2 2 2

(3)利用等差数列的性质求. 四,课外作业: 作业: 《习案》作业十四. 补充题: 依情况而定) (依情况而定 补充题: 依情况而定) ( 1.(1)已知等差数列{an}的 an=24-3n,则前多少项和最大? (2)已知等差数列{bn}的通项 bn=2n-17,则前多少项和最小? 解:(1)由 an=24-3n 知当 n ≤ 8 时,a n ≥ 0 ,当 n ≥ 9 时,a n < 0 ,∴ 前 8 项或前 7 项的和取最大值. (2)由 bn=2n-17n 知当 n ≤ 8 时, a n < 0 ,当 n ≥ 9 时, a n > 0 , ∴ 前 8 项的和取最小值. 2. 数列{an}是首项为正数 a1 的等差数列,又 S9= S17.问数列的前几项和最大? 解:由 S9= S17 得 9a5=17 a9,
∴ 2a1 + 25d = 0, ∴ a13 + a14 = 0, 所以相邻两项之和为0. 又a1 > 0,∴ a13 > 0, a14 < 0. ∴ S13最大.

说明: a13 + a14 = 0也可以这样得出S17 S9 = 0 a10 + a11 + + a17 = 0 a13 + a14 = 0 . 3.首项为正数的等差数列{an},它的前 3 项之和与前 11 项之和相等,问此数列前多少项之和最大? 解法一:由 S3=S11

3× 2 11 × 10 d = 11a1 + d, 解之得 2 2 2 n(n 1) 1 14 1 49 d = a1 < 0 ∴ S n = na1 + d = a1 n 2 + a1n = a1 (n 7) 2 + a1 13 n 13 13 13 13
得: 3a1 +

故当 n=7 时, Sn 最大,即前 7 项之和最大.

解法二:由

1 a n = a1 + (n 1)d = 13 a1 (15 2n) > 0 1 a n +1 = a1 + nd = a1 (13 2n) < 0 13

13 15 < n < ,所以 n=7,即前 7 项之和最大. 2 2 2 解法三:由 d = a1 < 0 知: {an}是递减的等差数列. 13
解得: 又 S3=S11,

∴ a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 0 ∴ a7 + a8 = 0
∴ 必有 a 7 > 0, a8 > 0 ,∴ 前 7 项之和最大.

4.已知等差数列{an},满足 an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少? 解法一:由 a n = 40 4n S n = 2n + 38n = 2( n
2

19 2 19 2 ) + 2 2

19 2 192 ∴当n = 9或n = 10时,S n最大,最大值:S10 = 2 10 ) + ( = 180 2 2
解法二:

∵ a n = 40 4n,

an ≥ 0 9 ≤ n ≤ 10 an +1 + ≤ 0 令
∴ n = 9或n = 10, S n 最大,S n 最大值:S10 = 180

.

5.已知等差数列{an},3 a5 =8 a12, a1<0,设前 n 项和为 Sn,求 Sn 取最小值时 n 的值. [分析]求等差数列前 n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由

B 2 B2 S n = A(n + ) 完成. 2A 4A
解法一:∵ 3a5 = 8a12 ,∴ 3( a1 + 4d ) = 8( a1 + 11d ), 即a1 =

n(n 1) d d d = n 2 + (a1 )n, 2 2 2 d 2 d 点 (n,Sn)是开口向上 抛物线上 一些孤立的点 ,即在函数 y = x + ( a1 ) x 的 图象上 ,其对称 轴 2 2 76 d d d a1 2 = 15.7, 距离 x=15.7 最近的整数点(16,S ), 2 = 5 x= ∴ S n 最小时n = 16. 16 d d 76 d . 由a1 < 0,∴ d > 0, 解法二: ∵ 3a5 = 8a12 ,∴ a1 = 5 d a1 2 B 2 B B 2 = 0, S n = A(n + ) , 令n + = 0, 即n + d 2A 4A 2A 2× 2

76 d. 5

由a1 < 0,∴ d > 0,

∴ S n = na1 +

d 76 + d 2 5 = 15.7(n ∈ N * ), ∴n = d ∴ n = 16时,S n 最小.


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