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1.3.2球的体积和表面积(上课用)


1.3.2 球的体积 和表面积

讲授新课
1.球的概念

A C R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. A C R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. C A R O

B

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

S=4?R

2

3. 球的体积
半径是R的球的体积是

3. 球的体积
半径是R的球的体积是

4 3 V ? πR . 3

命题方向

球的表面积与体积

[例 1] 一个球的体积为 36πcm3,则此球的表面积 为________.

4 3 [解析] 由 πR =36π得,R=3, 3 ∴S 表=4πR2=36π(cm2).故填 36πcm2.

1.如果两个球的体积之比为8∶27,那么两 个球的表面积之比为( C )
A.8∶27 B.2∶3 C. 4 ∶ 9 D. 2 ∶ 9
4 3 πr 3 8 解析: 设这两个球的半径分别是 r, R, 则 = , 4 3 27 πR 3 r 2 4πr2 r 2 4 所以 = ,则两个球的表面积之比 =( ) = . 9 R 3 4πR2 R

2.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大 球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C ) A.1 倍 B.2 倍 9 C. 倍 5 7 D. 倍 4

解析:根据球的表面积等于其大圆面积的 4 倍,可设最 小的一个半径为 r,则另两个为 2r、 3r,所以各球的表面积 36πr2 9 分别为 4πr 、16πr 、36πr , 2 = (倍 ). 4πr + 16πr2 5
2 2 2

探究一 若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= a ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

[例 1] 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点 都在一个球面上,则该球的表面积为( B ) A.3πa
2

B.6πa

2

C.12πa

2

D.24πa

2

[解析]

由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,则长方

体的体对角线为 ?2a?2+a2+a2= 6a,又长方体的外接球的直 径 2R 等于长方体的体对角线,所以 2R= 6a,则 S 球=4πR2=
? 4π? ? ?

6 ? ?2 2 = 6π a . a ? 2 ?

变式 1:正方体的内切球与外接球的半径之比 为(

C

) B. 3∶2 D.2∶ 3

A. 3 ∶1 C. 3 ∶3

探究二
?

截面问题

用一个平面α去截一个球O,截面是圆面

球的截面的性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d,球的半径为R,则

d ? R ?r
2 2

2

R
?

O

r

d

例2 用与球心距离为1的平面去截球, 所得的截面面积为π,求球的体积.
如图,截面圆的圆心 为O1,半径为O1A
由题设条件知, OO1=1,O1 A=1, ? OA= 2, 4 8 2 3 ? 球的体积V= ? OA = ?, 3 3

变式2: 已知球的两平行截面的面积为5π 和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,求这个球的表面积.

命题方向 根据三视图计算球的体积与表面积 [例 3] 某个几何体的三视图如图所示(单位:m)

(1)求该几何体的表面积;(2)求该几何体的体积.

[解析] 由三视图知,此几何体是一个半径为 1 的半球和 一个棱长为 2 的正方体组成, (1)S =S 半球+S 正方体表面积-S 圆 1 = ×4π ×12+6×2×2-π×12 2 =24+π (m 2) (2)V =V 半球+V
正方体

1 4 = × π ×13+23 2 3 2 =8+ π (m 3) 3

能力提高:圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,
若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半

径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),
则球的半径是________cm.
解析:设球的半径为 r, 4 3 则 6r·π r =8π r +3× π r ?r=4(cm). 3
2 2



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