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「精品」山东省济南市历城第二中学2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题(含解析)

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山东省济南市历城第二中学 2017-2018 学年

高二下学期 4 月月考数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1.已知集合

,则 =( )

A.

B.

【答案】A

【解析】

C.

D.





,故选 A.

2.设复数满足

,则 =( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则,求出 z,求 z 模即可.

【详解】因为

,所以

,所以 ,选 A.

【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念,属于容易题.

3.对于独立性检验,下列说法正确的是( )

A.

时,有 95%的把握说事件 与 无关

B.

时,有 99%的把握说事件 与 有关

C.

时,有 95%的把握说事件 与 有关

D.

时,有 99%的把握说事件 与 无关

【答案】B

【解析】

【分析】

根据独立性检验中卡方的概念知,选 B.

【详解】根据独立性检验中卡方的概念知,

时,有 99%的把握说事件 与 有关选 B.

【点睛】本题主要考查了独立性检验中卡方的概念,属于中档题.

1

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4.等差数列

的前 项和分别为 ,若

A.

B.

C.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列中

D. ,可求出结果.

,则 的值为( )

【详解】因为等差数列中

,所以



,故选 C.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,等差数列前 n 项和,属于中档题.

5.设函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, 单调递减,若数列 是等差数列,且 ,



的值( )

A. 恒为正数 B. 恒为负数 C. 恒为 0 D. 可正可负

【答案】A

【解析】

解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

且当 x≥0 时,f(x)单调递减,

数列{an}是等差数列,且 a3<0,

∴a2+a4=2a3<0,

a1+a5=2a3<0,

x≥0,f(x)单调递减,

所以在 R 上,f(x)都单调递减,

因为 f(0)=0,

所以 x≥0 时,

f(x)<0,x<0 时,f(x)>0,

∴f(a3)>0

∴f(a1)+f(a5)>0,

∴f(a2)+f(a4)>0.

2

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故选 A.

6.使不等式

成立的一个必要不充分条件是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

解不等式

,可得

,即

,故“

充分条件,故选 B.

”是“

”的一个必要不

7.已知变量 满足约束条件

,若使

取得最小值的最优解有无穷多个,则实数的

取值集合是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作出可行域,根据最优解有无穷多个,知直线与边界重合,分类讨论即可求解.

【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,





,若 ,则直线

,此时取得最小值的最优解只有一个,不满

足题意;若

,则直线

在 轴上的截距取得最小值时,取得最小值,此时当直线

与直线

平行时满足题意,此时

,解得

;若

,则直线

在 轴上

的截距取得最小值时,取得最小值,此时当直线

与直线

平行时满足题意,此时

,解得 .综上可知,

或 ,故选 B.

【点睛】本题主要考查了线性规划中可行域及最优解问题,以及分类讨论思想,属于中档题.

8.已知

,则 的大小关系为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

3

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【分析】

构造函数

,求导



,当

,所以函数在 上增函数在

上减函数,所以 , 即可得出结论.

【详解】因为





,当

,所以函数在 上增函数在

上减函数,所以 , ,故选 C. 【点睛】本题主要考查了观察推理能力,函数的极值,函数的导数在单调性极值方面的应用,属于 中档题. 9.在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”; 乙说:“丙应负主要责任”;丙说“甲说的对”;丁说:“反正我没有责任”,四人中只有一个人 说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是( ) A. 丁 B. 乙 C. 丙 D. 甲 【答案】D 【解析】 【分析】 利用反证法,可推导出丁说的是真话,甲乙丙三人说的均为假话,进而得到答案. 【详解】假定甲说的是真话,则丙说“甲说的对”也为真话,这与四人中只有一个人说的是真话相 矛盾,故假设不成立,故甲说的是谎话; 假定乙说的是真话,则丁说:“反正我没有责任”也为真话, 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾, 故假设不成立,故乙说的是谎话; 假定丙说的是真话,由①知甲说的也是真话,这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾,故假设不 成立,故丙说的是谎话; 综上可得:丁说是真话,甲乙丙三人说的均为假话,即乙丙丁没有责任,故甲负主要责任,故答案 为:甲 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,以实际问题为背景考查了逻辑推理,属于中档题.解题时 正确使用反证法是解决问题的关键.

10.已知函数

,若

,则实数的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

4

【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数的增减性和奇偶性,转化
【详解】由函数

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,即可求解. ,可得
,所以函数 为奇函数,



,因为

,所以

,所以函数 为单调递增函数,因



,即

,所以



解得

,故选 D.

【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题,其中解答中函数的奇偶性和

函数的单调性,转化为不等式

是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,

对于解函数不等式:首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为

的形式,然后根

据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 与 的取值应在外层函数的

定义域内是试题的易错点.

11.已知椭圆

与抛物线

有相同的焦点为 原点,点 是抛物线准线上一动点,点 在

抛物线上,且

,则

的最小值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

易知抛物线方程为

,利用抛物线定义确定出 A 点坐标,求出 A 关于准线的对称点 B,则

,利用三点共线即可求出最值.

【详解】由题意,椭圆

,即 ,则椭圆的焦点为

,不妨取焦点

抛物线

, 抛物线的焦点坐标为 , 椭圆

与抛物线

有相同的焦点 ,

,即 ,则抛物线方程为

,准线方程为



准线的距离为

,即 点的纵坐标 ,

5

,由抛物线的定义得: 到

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又点 在抛物线上,

,不妨取点 坐标 ,

即 三点共线时,有最小值,最小值为

, 关于准线的对称点的坐标为

,则

,故选 A.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,抛物线的标准方程,抛物线的

定义及利用三点共线求两线段和的最小值,属于难题.

12.已知函数

,与函数

,若 与 的图象上分别存在点 ,使得 关

于直线 对称,则实数 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

求出 的反函数 ,则方程

在 上有解,即可求出 k 的取值范围.

【详解】由题设问题可化为函数

的反函数

的图像与

在区间 上有解的问题.

即方程

在区间 上有解,由此可得

,即

,所以

.

【点睛】本题主要考查了互为反函数的概念,以及方程有解求参数的取值范围,属于难题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.在等比数列 中,已知

,则

=________________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式,可求出公比,利用



的关系求解.

6

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【详解】由

,即

,∴ ,

所以

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,属于中档题.

14.设正实数 , 满足

,则 的最小值是



【答案】9

【解析】

试题分析:

,所以

,当且仅当

时,取最小值 9.

考点:基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等

式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的

条件)的条件才能应用,否则会出现错误.

15.对于三次函数

,给出定义:设 是

的导数, 是 的导数,

若方程

有实数解 ,则称点

为函数

的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一

个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数

,则

=_________________.

【答案】 【解析】 【分析】

由题意可得

,所以对称中心为 ,利用中心对称可求出结果.

【详解】由题可得:

,所以对称中心为 ,设 上任意一点



因为关于 对称,所以 关于其对称的对称点为

在 上,且

,所以

,故 【点睛】本题主要考查了函数的对称中心及其对称中心的性质,属于中档题.解题时,自变量和为对 称中心横坐标的 2 倍等于 1 时,则对应函数值和为对称中心纵坐标和的 2 倍等于 2,这是此类问题 的解题关键. 16.给出下列命题:
7

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①设 表示不超过 的最大整数,则

②定义:若任意 ,总有

,就称集合 为的“闭集”,已知

的“闭集”,则这样的集合 共有 7 个;

③已知函数 为奇函数,

在区间

上有最大值 5,那么 在

其中正确的命题序号是__________.

【答案】①②

【解析】

对于①,如果

,则

,也就是

; 且 为6 上有最小值 .
,所以

,进一步计算可以

得到该和为

,故①正确;对于②,我们把

分成四组:

,由题设可知 不是“闭集”中的元素,其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”

中同时出现或同时不出现,故所求的“闭集”的个数为

,故②正确;对于③,因为 在

上的最大值为 ,故 在

上的最大值为 ,所以 在

上的最小值为 , 在

上的

最小值为 ,故③错.综上,填①②.

点睛:(1)根据

可以得到

,因此

,这样的 共有 ,

它们的和为 ,依据这个规律可以写出和并计算该和.

(2)根据闭集的要求,

中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中,

故可以根据子集的个数公式来计算.

(3)注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题

考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

17.在

中,内角

所对的边分别为 ,已知



(Ⅰ)求角 的大小;

(Ⅱ)若

的面积

,且 ,求



【答案】(Ⅰ) 。(Ⅱ) 。 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由余弦定理把已知条件化为

,再由正弦定理化为角的关系,最后由

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两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得

,从而得 角;

(Ⅱ)由三角形面积公式求得

,再由余弦定理可求得

定理得

,计算可得结论.

试题解析:

(Ⅰ)因为

,所以由



,由正弦定理得



,∵





,即





,∴

,∴

,∵

,∴ .

,从而得
, ,

(Ⅱ)∵

,∴











,即





.

,再由正弦

18.已知数列 满足

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)设

,求数列 的前 项和 .

【答案】(1)

;(2)

【解析】 【分析】

(1)利用累加法得

;(2)

,利用裂项相消法,得

.

【详解】因为

,又

.因为 也满足

,所以

.

(2)因为

,所以



所以

.

,所以

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【点睛】本题考查累加法求通项,裂项相消求和.在常规数列求通项的题型中,累加法、累乘法是常 见的求通项方法,熟悉其基本形式.数列求和的题型中,裂项相消法、错位相减法是常见的求和方法, 熟悉其基本结构. 19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨 标准煤)的几组对照数据:

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请根据上表提供的数据, 关于 的线性回归方程



(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品生产能耗为 95 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生

产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考公式:



【答案】(1) 线性回归方程 24.65 吨标准煤. 【解析】 试题分析:(1)由系数公式可知

;(2) 预测产生 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低





,所以线性回归方程

(2)

时,

,所以预测产生 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低

19.65 吨标准煤

考点:本题考查了线性回归方程的求解及应用

点评:求回归直线方程的步骤是:①作出散点图,判断散点是否在一条直线附近;②如果散点在一

条直线附近,由公式求出 a、b 的值,并写出线性回归方程

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20.已知椭圆

的短轴长为 ,离心率 .

(1)求椭圆 的标准方程; (2)若 分别是椭圆 的左、右焦点,过 的直线与椭圆 交于不同的两点 积的最大值.

,求

【答案】(1)

;(2) .

【解析】

试题分析:(1)根据题意列出待定系数的方程组,即可求得方程;(2)把

分解为

的面 和

,所以其面积为

,设出直线的方程为

,整理方程组

表示出

,代入上式即可求得

,可换元

,则 ,则

,研究求单调性即可求得其最大值.

试题解析:(1)由题意可得

...................2 分

解得

..................3 分

故椭圆的标准方程为

..................... 4 分

(2)设



由题意知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为

………………6 分 ,





,所以,

.........8 分

又因直线与椭圆 交于不同的两点,

故 ,即

.则

..............10 分



,则 ,则

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,由函数的性质可知,函数 在

上是单调递增函数,

即当 时, 在

上单调递增,

因此有

,所以



即当 ,即 时,

最大,最大值为 3...................... 12 分

考点:椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系,考查了待定系数法和函数、

不等式的思想,属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意

;本题第(2)问解答的关键

是根据把

的特征,把它分解为



,这样其面积



大大简化了运算过程,提高了解题的准确率,最后通过换元,利用的导数研究其单调性,求得其最

大值.

21.已知函数

(是自然对数的底数, ).

(1)求函数 的单调递增区间;

(2)若 为整数, ,且当 时,

恒成立,其中 为 的导函数,求 的最大值.

【答案】(1)当 时, 的增区间为

;当 时, 的增区间为

;(2)2.

【解析】

试题分析:(1)求单调增区间,只要解不等式

,它的解集区间就是所求增区间;(2)不等式

恒成立,不等式具体化为

,由于 ,因此又可转化为

,这

样 小于

的最小值,因此下面只要求

的最小值.

,接着要讨论

的零点,由于 在

上单调递增,且

零点,即



上存在唯一的零点,设其为 ,则

,从而整数 的最大值为 2.

试题解析:(1)

.

12

,因此 在

上有唯一

,可证得 为最小值,

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,则

恒成立,所以, 在区间

上单调递增.........2 分



,当

时,

,在

上单调递增.

综上,当 分 (2)由于

时, 的增区间为 ,所以,

;当

时,

的增区间为

..... 4



时,

,故

————① 6 分



,则

函数



上单调递增,而

所以 在

上存在唯一的零点,





上存在唯一的零点. 8 分

设此零点为 ,则

.



时,

;当

时,



所以, 在

上的最小值为 .由

可得

所以,

由于①式等价于

.

故整数 的最大值为 2. 12 分 考点:导数与单调性,不等式恒成立,函数的零点.
视频

10 分

22.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为

轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为

(1)求曲线 的极坐标方程;

(2)设直线与曲线 相交于 两点,求

【答案】(1)

(2)

【解析】

的值.

13

(为参数),以 为极点, 轴的非负半 .

【分析】 (1)将参数方程化为普通方程,再将普通方程代为极坐标方程.

(2)将 代入得

,设 两点的极坐标方程分别为

的两根,利用

求解即可.

【详解】(1)将方程

消去参数得



∴曲线 的普通方程为





代入上式可得



∴曲线 的极坐标方程为:

.

(2)设 两点的极坐标方程分别为



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,则 是方程



消去得



根据题意可得 ∴

是方程 ,

的两根,



.

【点睛】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的互化,极坐标的几何意义,属于中档题.

23.设函数

的定义域为 .

(1)求集合 ;

(2)设

,证明

.

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)分段去绝对值解不等式即可;(2)将不等式平方因式分解即可证得.

【详解】(1)解:



当 时,

,解得





时,

恒成立,



时,

,解得



综上定义域

.

(2)证明,原不等式

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,原不等式得证.

【点睛】含绝对值不等式的解法由两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几

何意义求解.法一是运用分类讨论的思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不

等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的

新动向.

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