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利用基本不等式求最值的“定”


利用基本不等式求最值的“定”
扬中市第二高级中学 刘玉 212200
摘要 基本不等式在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的运用。 求最值是高 考中的热点, 在平时的教学过程中, 要让学生知道运用基本不等式求最值的条件, 即我们经常强调的“一正二定三相等” 。本文主要是笔者在平时教学之余,把自 己对利用不等式求最值时“定”的条件做一些分析。 关键词 一正二定三相等 基本不等式 最值

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分, 它的重要性不仅在 题型的多样、方法的灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中 的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此 类实际问题的有力工具.本文着重阐述利用基本不等式求最值时如何 利用定值。 一、 基本不等式的主要形式及注意点 1. 基本不等式的主要形式: 为 a 和 b 的算术平均数,
a?b 2
ab

?

a b , a , b ? 0 ????①, 其中

a?b 2



称为 a 和 b 的几何平均数。而我们经常
ab , a , b ? 0

会用到它的变形形式: a ? b ? 2

????②.这两个式子

在形式上是一致的,而②式应用起来更加方便,比如:当 a ? 0 时, 求代数式 a ? 的最小值。
a 1

2. 通过基本不等式的主要形式,我们发现,对于两个正数 a 和 b ,如 果它们的乘积
a ? b? 2 ab

为定值,则它们的和 a ? b 有最小值,即 为定值,则它们的乘积

ab ????②;如果它们的和 a ? b

ab

有最大值,即 a b ? ? ?

a?b? ? ? 2 ?

2

????③。当然,在用完基本不等

式之后, 还要去验证一下不等式中等号成立的条件: 当且仅当 a ? b

时等号成立。利用基本不等式求最值时,一定要引导学生去验证 用不等式的这三个条件, 即我们平常经常说的 “一正二定三相等” 。 二、什么时候能用基本不等式求最值 对于三个条件中的第一和第三个条件,往往不难验证,能否运用 基本不等式,主要体现在和与积当中,要有一个定值。比如本文之前 提到的:当 a ? 0 时,求代数式 a ? 的最小值。本题中,很显然,相加
a 1

的两个正数 a 和 都是正数,而它们的乘积恰巧为定值 1,所以我们
a

1

可以运用基本不等式,得 a ?

1 a

? 2 a?

1 a

? 2

,当且仅当 a ? ,即 a ? 1 时
a

1

等式成立。而《苏教版数学必修 5》中 88 页的例 2:已知函数
y ? x? 16 x?2 , x ? ( ? 2, ? ? ) ,求此函数的最小值。本题看上去是因为 x

不一

定大于 0,不能直接运用不等式,实则不然。我们将题目适当改一下, 如:已知函数 y ? 多同学发现,
y ? x? 16 x?2 ? 2 x?

x?

16 x?2

, x ? ( 2, ? ? ) ,求此函数的最小值。很显然,很
16 x?2 ?0

x ?0



,于是直接运用基本不等式,得

16 x?2

, 做到这一步之后, 又发现根号里面含有变量 x ,

问题没有得到解决。参照课本,教师往往会教学生将函数适当变形, 得到 y ?
x? 16 x?2 ? (x ? 2) ? 16 x?2 ? 2 ,然后对前两项运用基本不等式,从

而得到函数的最小值。其实,变形的目的是使得根号下面乘起来是一 个定值才行,但是为什么要将 x 改写成 ( x ? 2 ) ? 2 ,而没有将
16 x 16 x?2

改成

,是因为第一种改法,我们可以保证对函数的恒等变形,而第二种

改写比较困难,如果恒等变形,还要再乘以含有参数 x 的一个式子
x x?2

,不利于问题的解决。

下面我们再看几个例题。 例1 已知 a , b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,求 a b 的最大值。 分析:本题正好满足基本不等式求最值的前两个条件,于是,运
a?b? 1 ?1? 用③式,我们有, a b ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 2 ? ?2?
2 2

,注意验证等号成立的条

件,当且仅当 a 变式

?b ?

1 2

时取等号。

已知 a , b ? 0 ,且 a ? 2 b ? 1 ,求 a b 的最大值。

分析:本题和例 1 题型非常类似,有的老师在讲解的时候,可能 没有注意到这两题的本质,而直接运用基本不等式,解答如下:
? ? a ? 0, b ? 0 , 1 ? a ? 2 b ? 2 a ? 2 b

, 从而得到 a b ? , 当且仅当 a ? 2 b ,
8

1

即a ?

1 2

,b ?

1 4

时等号成立。

考察整个阶梯过程,应该说没有问题,但是下次遇到类似的问题 时,学生就不一定能够想到这样的方法去做。仔细分析这两个题 目,其实是同一个题目。例 1 是两个正数 a 和 b 的和为定值,求它 们的积 a b 的最大值, 而变式题是已知两个正数 a 和 2 b 的和为定值, 求 它 们 的 积
ab ? 1 2 (a ? 2b ) ?

a ? 2b
2

的 一 半 的 最 大 值 , 于 是 我 们 有
1 ?1? ?? ? ? 8 ?2?
2

1 ? a ? 2b ? 1 ? ? ? 2? 2 2 ?

,一步到位,然后再去验证等

号能否成立。这道题的本质还是“和定积最大” ,要引导学生去探 索发现。 例2 已知 x ? 1, y ? 1 ,且 lg x ? lg y ? 4 ,求 lg x ? lg y 的最大值。

分析:本题,我们注意到,在条件 x ? 1, y ? 1 下, lg x 以及 lg y 都是 正数,因而本题仍然是“和定积最大”的一种题型,易得

? lg x ? lg y ? ?4? lg x ? lg y ? ? ? ?? ? ? 4 2 ? ? ?2?

2

2

例3

已知 0 ?

x?

2

,求函数 f ( x ) ?

x ( 2 ? x ) 的最大值。
2 2 2

分析:本题和例 2 是同一题型,只要注意 x

? (2 ? x ) ? 2
2

为定值,

问题就迎刃而解。但是,适当将题目改变一下,我们看下面一个 例题 例4 已知 0 ?
x? 2

,求函数 f ( x ) ?
2

x (4 ? 2 x ) 的最大值。
2 2 2 2

分析: 本题和例 3 区别在于,x

? (4 ? 2 x ) ? 4 ? x

, 其结果不为定值,

于是,学生可能想到,此处不能利用基本不等式求解。仔细观察 发现,相加之后不为定值的原因在于 x 前的系数不是相反数,如
2

果变为相反数,就可以把 x 项消去。而办法并非唯一,
2

解法一
2

?0? x?

2 ? 2 x ? 0, 4 ? 2 x ? 0
2 2

,从而
2

2 2 1 ? 2x ? 4 ? 2x ? f ( x) ? x (4 ? 2 x ) ? ? 2 x (4 ? 2 x ) ? ? ? ? 2, 2 2? 2 ? 2

1

2

2

当且仅当 2 x 解法二? 0 ?
2

2

? 4 ? 2x

2

,即 x ? 1 时,等号成立。
2 2

x?

2 ? x ? 0, 2 ? x ? 0

,从而
2

? x2 ? 2 ? x2 ? f ( x) ? x (4 ? 2 x ) ? 2 x (2 ? x ) ? 2 ? ? ? 2 2 ? ?
2 2 2



当且仅当 x

2

? 2?x

2

,即 x ? 1 时,等号成立。



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