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上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版,含答案)


静安区 2013 学年高三年级第一学期期末数学理试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2014.1

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 , ,则 .

2.(理)已知



,则

的值是

.

3.当

时,函数

的值恒大于 1,则实数 的取值范围是

.

4.关于未知数 的实系数一元二次方程 出一个一元二次方程为 .

的一个根是

(其中为虚数单位),写

5.(理)某班有 38 人,现需要随机抽取 5 人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可 能抽取情况有 种. (结果用数值表示) 6.(理)不等式 的解集是 .

7.若

(其中 、 为有理数),则

.

8.(理)已知方程 是 .

,则当

时,用列举法表示方程的解的集合

9.(理)如图,平面内有三个向量 夹角为 30°,且| μ 的值为 . |=| |=2,|



、 |=

,其中 ,若

与 =λ

的夹角为 120°, +μ





(λ 、μ ∈R),则λ +

10.设某抛物线

的准线与直线

之间的距离为 3,则该抛物线的方程为

.

11.(理)已知

,且

,则

的值用 表示为

.

12. (理) 已知椭圆 分别交椭圆 于 、

, 过椭圆 两点.则直线

上一点 .

作倾斜角互补的两条直线





的斜率为

13.(理)若圆

与圆 的直径两个端点,则动点 的轨迹方程为

的两个交点始终为圆 .

14.(理)已知不等式 为 .

的解集为

,则

,且

的值

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.(理)“ 直”的 A.充要条件;

”是“直线

与直线 ( B.充分不必要条件; D.既不充分也不必要条件. )

互相垂

C.必要不充分条件; 16.已知命题 那么 :如果 ,那么

;命题

:如果

,那么

;命题 :如果 ( )



.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 是命题 的否命题,且命题 是命题 的逆命题.

① 命题

② 命题

是命题

的逆命题,且命题 是命题

的否命题.

③ 命题

是命题

的否命题,且命题 是命题

的逆否命题.

A.①③;

B.②;

C.②③

D.①②③

17.已知函数

的值域是

,则实数

的取值范围是 (

)

A.



B.



C.

; D.

.

18. (理) 已知函数 若直线 与函数

是定义在实数集 的图像在

上的以 2 为周期的偶函数, 当

时,

. )

内恰有两个不同的公共点, 则实数 的值是(

A.





B.0;C.0 或



D.0 或

.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公 式为:弧田面积= (弦?矢+矢 ).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆
2

弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 9 米的弧田. (1)计算弧田的实际面积;

, 弦长等于

(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相 差多少平方米?(结果保留两位小数)

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

(理)(1)设 、

是不全为零的实数,试比较



的大小;

(2)设

为正数,且

,求证:

.

21.(理)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知双曲线

(其中

).

(1)若定点

到双曲线上的点的最近距离为

,求 的值;

(2)若过双曲线的左焦点 ,

,作倾斜角为

的直线交双曲线于 的面积 .



两点,其中

是双曲线的右焦点.求△

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设无穷数列 直线 的首项 ,前 项和为 ( ),且点 在

上(为与 无关的正实数).

(1)求证:数列



)为等比数列;

(2)记数列

的公比为

,数列

满足

,设

,求数列

的前 项和



(3) (理) 若 (1) 中无穷等比数列 求函数 的值域.



) 的各项和存在, 记



23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分.

(理)已知函数

(其中



),



的反函数.

(1)已知关于 的方程 围; (2)当 时,讨论函数

在区间

上有实数解,求实数

的取值范

的奇偶性和增减性;

(3)设

,其中

.记

,数列

的前 项的和为



),

求证:

.

2013 学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准
1. ; 2.(理) ; 3.

4.



5. (理)



6.(理)



7.169;

8.(理)



9.(理)

12;

10.



.

11.(理)



12.(理)



13.(理)



14.(理)

4;

15.(理)B ; 16.A. 17. C 18.D

19 解:(1) 扇形半径

,????????? 2 分

扇形面积等于

????????? 5 分

弧田面积=

(m )????????? 7 分

2

(2)圆心到弦的距离等于

,所以矢长为

.按照上述弧田面积经验公式计算得

(弦?矢+矢 )=
2

.?????????10 分

平方米????????? 12 分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米. ?

20(理)(1)解法 1:

=

=

??????3 分

因为 、 ?

是不全为零的实数,所以 。????????? 6 分

,即

解法 2:当

时,

;????????? 2 分



时,作差:



又因为 、

是不全为零的实数,所以当

时,

?



综上,

?

。?????????6 分

(2)证明:当 作差比较:

时,取得等号 3。????????? 7 分

>0

所以,

????????? 14 分

(文)证明:(1)

????????? 3 分

????????? 6 分

(2)由(1)得



)????????8 分

可得

???10 分

????????? 12 分



.

????????? 14 分

21(理)(1)设点

在双曲线上,由题意得:



由双曲线的性质,得

。????? 1 分

(i)若

,则当

时,

有最小值。最小值

,所以

。????? 3 分

(ii)若

,则当

时,

有最小值,此时

,解得

。????? 6 分

(2)

, =

,直线与 轴垂直时, .????????? 7 分

,此时,△

的面积

直线与 轴不垂直时,直线方程为

,????????? 8 分





解法 1:将

代入双曲线方程,整理得:

,即

????????? 10 分

所以,

????????? 11 分

=

.?????14 分

解法 2:将

代入双曲线方程,整理得:

,????????? 10 分



,????????? 11 分



到直线

距离





的面积

=

.?????14 分

21 文:(1)解法 1:设直线方程为



代入双曲线方程得:

,?2 分





.设



两点坐标分别为



,则有

;又由韦达定理知:

,?4 分

所以

,即得点

的坐标

所满足的方程

.????5 分

注:



,点

的轨迹为两条不包括端点的射线.

解法 2:设 相减得:



两点坐标分别为



,则有 (*).??2 分



,两式

又因为直线的斜率为 2,所以

,再由线段

中点

的坐标

,得

.??4 分

代入(*)式即得点

的坐标

所满足的方程

.??????5 分

(2)

, =

,直线

与 轴垂直时,

,此时,△

的面积

.????????? 6 分

直线

与 轴不垂直时,直线方程为

,????????? 7 分





解法 1:将

代入双曲线,整理得:

,即

????????? 9 分

所以,

????????? 10 分

=

.????????? 13 分

所以,

.

????????? 14 分 解法 2:参见理科解法 2。 22(1)由已知,有 ,



时,

;?????????2 分



时,有



两式相减,得

,即



综上,

,故数列

是公比为

的等比数列;???? 4 分

(2)由(1)知,

,则



于是数列

是公差

的等差数列,即

,???????? 7 分



=

????????10 分

(3)(理)由

解得:

。????????? 12 分

????????? 14 分

,当

时,

,函数

的值域为



????????? 16 分

(3) (文)不等式 上递减,则

恒成立,即

恒成立,又



.????????? 14 分

????????? 16 分

23(理)(1)

转化为求函数



上的值域,

该函数在

上递增、在

上递减,所以

的最小值 5,最大值 9。所以

的取值范围为

。????????? 4 分

(2)

的定义域为

,????????? 5 分

定义域关于原点对称, 又 奇函数。????????? 6 分 下面讨论在 上函数的增减性.



, 所以函数



任取



,设

,令

,则



,所以

因为





,所以

.????????? 7 分

又当

时,

是减函数,所以

.由定义知在

上函数是

减函数.????????? 8 分 又因为函数 是奇函数,所以在 上函数也是减函数.???????? 9 分

(3)

;???????? 10 分

因为



,所以



。?? 11 分





时,则

,??? 12 分



,??? 13 分

由二项式定理

,???????? 14 分

所以



从而



???????? 18 分 23(文):(1) (2)由(1) ????????? 4 分 ,定义域为 .?????????5 分

讨论在

上函数的单调性.

任取



,设

,令

,则



,所以

因为





,所以





所以

.????????? 7 分

又当

时,

是减函数,所以

.由定义知在

上函数

是增函数.????????? 8 分 又因为函数 是奇函数,所以在 上函数也是增函数.???????? 9 分

(3)当

时,要使

的值域是

,则

,所以

,即

,????????? 11 分



,上式化为 ;当 时,

,又 ;????????? 13 分

,所以当

时,

因而,欲使

的值域是

,必须

,所以对上述不等式,当且仅当

时成立,所以

解得



. ????????? 18 分



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