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平面向量四






平面向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他

教 学 目 的
一些实际问题.

重 难 点

平面向量的公式灵活选择

【基础知识网络总结与巩固】
知识点一、向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、 相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2(θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2+y2

知识点二、平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知 识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F· s=|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角).

知识点三、平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合,由向量平行或 垂直等条件可以得到关于未知数的关系式,在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综 合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算, 其转化途径主要有两种: 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件; 二是利用向量数量积的公式和性质.

【助学· 微博】 一个转化 解决平面向量与三角函数、解析几何综合问题的前提是利用平面向量的有关知识将问题转化. 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物,在利用向量解 决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.

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考点自测
1.已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. a· b 1 解析 由 a2+a· b-2b2=-2,得 a· b=2,所以 cos〈a,b〉= = ,又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉 |a||b| 2 π = . 3 答案 π 3

2.已知共点力 F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体 M 上,产生位移 s=(2lg 5,1),则共点力对物体 做的功 W 为________. 解析 F1+F2=(1,2lg 2). 所以 W=(F1+F2)· s=(1,2lg 2)· (2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2. 答案 2 3. 已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1), ∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)· (m-1)=0,∴m=-1. 答案 -1

4.设 a,b 是两个非零向量,如果(a+3b)⊥(7a-5b),且(a-4b)⊥(7a-2b),则 a 与 b 的夹角为________.
??a+3b?· ?7a-5b?=0, ? 解析 由? ??a-4b?· ?7a-2b?=0, ?
2 ? b-15b2=0, ?7a +16a· ? 得 2 ? b+8b2=0, ?7a -30a·

a· b a· b 1 π 所以 a2=b2=2a· b,所以 cos θ= = = ,又 θ∈[0,π],故 θ= . |a||b| |a|2 2 3 答案 π 3

x2 y2 → → 5.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(3,1),其左、右焦点分别为 F1,F2,且F1P· F2P=-6,则椭圆 E 的 a b 离心率为________. → → 解析 由 F1(-c,0),F2(c,0),得F1P=(3+c,1),F2P= 9 1 → → (3-c,1),从而F1P· F2P=9-c2+1=-6,即 c=4,所以 a2-b2=16.又点 P(3,1)在椭圆上,所以 2+ 2=1.联立 a b c 4 2 2 解得 a2=18,所以 e= = = . a 3 2 3 答案 2 2 3

2

【重难点例题启发与方法总结】
考向一 向量与函数的交汇
1 2 ?→ → → → → 【例 1】 已知点 A,B,C 是直线 l 上不同的三点,点 O 是 l 外一点,向量OA,OB,OC满足OA-? ?2x +1?OB → -(ln x-y)· OC=0,记 y=f(x). (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若对任意的 x∈[1,2],不等式|a-ln x|-ln(f′(x))>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 1 2 ? → 1 2 ? → → (1)由题意,得OA=? OB+(ln x-y)· OC,且 A,B,C 三点共线,所以? ?2x +1?· ?2x +1?+(ln x-y)=1,所

1 以 y=f(x)=ln x+ x2(x>0). 2 1? 1 (2)因为 f′(x)= +x,所以|a-ln x|>ln? ?x+x?, x 1? 即 a<ln x-ln? ?x+x?或 a>ln 1? x+ln? ?x+x?恒成立.

1 1 x2 x+ ?=ln 2 =ln?1- 2 ?在[1,2]上取最小值-ln 2, 因为 ln x-ln? x + 1? ? x? ? x +1 1? 2 ln x+ln? ?x+x?=ln(x +1)在[1,2]上取最大值 ln 5,所以 a 的取值范围是(-∞,-ln 2)∪(ln 5,+∞).

[方法总结] 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题,其中转化是关键. 1 【训练 1】 已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),x=a+(t2+1)b,y=-ka+ b,m∈R,k,t 为正实数. t (1)若 a∥b,求 m 的值; (2)若 a⊥b,求 m 的值; (3)当 m=1 时,若 x⊥y,求 k 的最小值. 解 (1)因为 a∥b,所以 1· m-2· (-2)=0,m=-4.

(2)因为 a⊥b,所以 a· b=0,所以 1· (-2)+2m=0,所以 m=1. (3)当 m=1 时,a· b=0. 因为 x⊥y,所以 x· y=0. 1 2 ? b+?t+1?b2=0. 则 x· y=-ka2+? ? t -k?t +1??a· ? t? 1 因为 t>0,所以 k=t+ ≥2,当 t=1 时取等号. t 即 k 的最小值为 2

考向二
且 m⊥n.

向量与三角函数的交汇

【例 2】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m=(b,a-2c),n=(cos A-2cos C,cos B),

3

sin C (1)求 的值; sin A (2)若 a=2,|m|=3 5,求△ABC 的面积 S. 解 (1)法一 由 m⊥n,得 b(cos A-2cos C)+(a-2c)cos B=0.由正弦定理,得 sin Bcos A-2sin Bcos C+sin

Acos B-2sin Ccos B=0.因此(sin Bcos A+sin Acos B)-2(sin Bcos C+sin Ccos B)=0,即 sin(A+B)-2sin(B+ C)=0. sin C 因为 A+B+C=π,所以 sin C-2sin A=0.即 =2. sin A

法二 由 m⊥n,得 b(cos A-2cos C)+(a-2c)cos B=0. 由余弦定理,得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 a2+c2-b2 sin C c b· +a· -2b· -2c· =0.即 c-2a=0.由正弦定理,得 = =2. 2bc 2ac 2ab 2ac sin A a (2)因为 a=2,由(1)知,c=2a=4. 因为|m|=3 5,即 b2+?a-2c?2=3 5,解得 b=3. 32+42-22 7 15 所以 cos A= = .所以 sin A= . 8 2×3×4 8 1 1 15 3 15 因此△ABC 的面积 S= bcsin A= ×3×4× = . 2 2 8 4 [方法总结] 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一,考题主要以向量为载体,其中利用向量运算进行转 化,化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法. 【训练 2】 设平面向量 a=(cos x,sin x),b=(cos x+2 3,sin x),c=(sin α,cos α),x∈R. (1)若 a⊥c,求 cos(2x+2α)的值; π? (2)若 x∈? ?0,2?,证明 a 和 b 不可能平行; (3)若 α=0,求函数 f(x)=a· (b-2c)的最大值,并求出相应的 x 值.

(1)解 若 a⊥c,则 a· c=0. cos xsin α+sin xcos α=0,即 sin(x+α)=0. 所以 cos(2x+2α)=1-2sin2(x+α)=1. (2)证明 假设 a 和 b 平行, 则 cos xsin x-sin x(cos x+2 3)=0, 即 2 3sin x=0,sin x=0. π 0, ?时,sin x>0,矛盾. 而 x∈? ? 2? 故假设不成立,所以 a 和 b 不可能平行. (3)解 若 α=0,c=(0,1), 则 f(x)=a· (b-2c) =(cos x,sin x)· (cos x+2 3,sin x-2)
4

2π? =4sin? ?x+ 3 ?+1, π ∴当 x=2kπ- (k∈Z)时,f(x)max=5 6

考向三

向量与解析几何的交汇

→ 1→ → 【例 3】已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l: x=8, P 为该平面上一动点, 作 PQ⊥l, 垂足为 Q, 且(PC+ PQ)· (PC 2 1→ - PQ)=0. 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· PF的最值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y).

→ 1→ → 1→ 由(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0, 2 2 1 得|PC|2- |PQ|2=0, 4 1 x2 y2 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0,化简得 + =1. 4 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12 → → → → → → → → → → → → → (2)因PE· PF=(NE-NP)· (NF-NP)=(-NF-NP)· (NF-NP)=(-NP)2-NF2=NP2-1, x2 y2 P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0), 16 12 x2 y2 4y2 1 2 1 → 0 0 0 2 2 则有 + =1,即 x2 = 16 - ,又 N(0,1),所以NP2=x2 0 0+(y0-1) =- y0-2y0+17=- (y0+3) +20. 16 12 3 3 3 → → → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,故PE· PF的最大值为 19; → → → 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值 13-4 3,(此时 x0=0),故PE· PF的最小值为 12-4 3. [方法总结] 平面向量与平面解析几何交汇的题目,涉及向量数量积的基本运算,数量积的求解以及轨迹、直 线和圆、直线和椭圆中最值等问题,解决此类问题应从向量的坐标运算入手,这也是解决解析几何问题的基 本方法——坐标法. 3 → → → 【训练 3】 已知△OFQ 的面积为 S,且OF· FQ=1,设|OF|=c(c≥2),S= c,若以 O 为中心,F 为右焦点的 4 → 椭圆经过点 Q,当|OQ|取得最小值时,求此椭圆的方程. x2 y2 → 解 以 O 为原点,OF所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),Q 的坐标为(x1, a b → y1),从而FQ=(x1-c,y1). 1→ 3 3 因为△OFQ 的面积为 |OF|· |y1|= c,所以 y1=± . 2 4 2 3? → → ?x1-c,± 又由OF· FQ=(c,0)· 2?=(x1-c)c=1, ?

5

1 → 2 得 x1=c+ ,|OQ|= x1 +y2 1= c → 当且仅当 c=2 时,|OQ|值最小,

?c+1?2+9(c≥2). ? c? 4

25 9 ? ?4a2+4b2=1, 5 3? ? 此时 Q 的坐标为?2,± 2?.由此得? 2 ? ?a -b2=4,
?a2=10, ? x2 y2 解得? 2 故椭圆方程为 + =1. 10 6 ? ?b =6,

规范解答

怎样求解向量的综合性问题

1.平面向量与三角函数的结合,主要是指题设条件设置在向量背景下,一旦脱去向量的“外衣”,实质变成 纯三角函数的问题. 2. 平面向量与解析几何的综合题, 主要涉及中点问题, 垂直问题, 共线问题, 这些问题通常以向量形式给出. 因 此,解题时要善于进行数学语言的转化,弄清问题的实质. 3.要熟知解决平面向量及其综合交汇问题的基本方法,如构造向量法、坐标法等.最后要增强解题能力,不 断提升自己解决综合交汇问题的能力. → → → → 【示例】 在△ABC 中,已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

[审题路线图] 应用向量的数量积,将向量问题转化为三角函数与解三角形中的有关问题.在转化过程中, 要特别注意向量的夹角是三角形中的内角或外角. → → → → [解答示范] (1)因为AB· AC=3BA· BC, 所以 AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B,(3 分) 即 AC· cos A=3BC· cos B AC BC 由正弦定理知 = ,(4 分) sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B>0(6 分) 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A(7 分) (2)因为 cos C= 5 ,0<C<π,所以 5

2 5 sin C= 1-cos2C= .(9 分) 5 从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2, 即 tan(A+B)=-2, tan A+tan B 所以 =-2(12 分) 1-tan Atan B

6

4tan A 由(1)得 =-2, 1-3tan2A 1 π 解得 tan A=1 或- ,所以 tan A=1,所以 A= .(14 分) 3 4 [模板构建]向量与三角函数交汇的解题步骤: 第一步:根据题干所给的向量信息将问题转化为三角函数问题. 第二步:利用三角函数、三角恒等变换或解三角形等知识解决相应的三角问题.

【重难点关联练习巩固与方法总结】
2π 1.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a· b=0,则实数 k 的值为________. 3 2π 5 5 解析 a· b=(e1-2e2)· (ke1+e2)=ke2 e2-2e2 cos -2=2k- =0.∴k= . 1+(1-2k)e1· 2=k+(1-2k)· 3 2 4 答案 5 4

|PA|2+|PB|2 2.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 =________. |PC|2 → → → → → → → → → → → → → 解析 由PA-PB=BA,PA+PB=2PD,两式平方相加,得 2PA2+2PB2=BA2+4PD2=4CD2+4PC2=20PC2, |PA|2+|PB|2 所以 =10. |PC|2 答案 10 → → → → 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的值为________;DE· DC的最大值为 ________. 解析

→ → → → ①如图建立直角坐标系,则 D(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0).设 E(x,1),那么DE=(x,1),CB=(0,1),∴DE· CB =1. → ②∵DC=(1,0), → → ∴DE· DC=x. ∵正方形的边长为 1, → → ∴x 的最大值为 1,故DE· DC的最大值为 1. 答案 1 1 π 4.在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满 3

7



→ → |BM| |CN| → → = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD|

解析 建立平面直角坐标系,如图. → → BM CN 5 3 1 3 则 B(2,0),C? , ?,D? , ?.令 = =λ, → → ?2 2 ? ?2 2 ? BC CD λ 3 5 3 则 M? +2, λ?,N? -2λ, ?. 2 ? 2? ?2 ?2 → → ?λ ?5-2λ?+3λ ∴AM· AN=?2+2? ?· ?2 ? 4 =-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6. → → ∵0≤λ≤1,∴AM· AN∈[2,5]. 答案 [2,5]

【课后强化巩固练习与方法总结】
一、填空题 → → → 1.在△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,且|a|=1,|b|=2,|c|= 3,则 a· b+b· c+c· a=________. → → → 解析 由|a|=1,|b|=2,|c|= 3,可得|CA|2=|BC|2+|AB|2,∠B=90° ,∠C=60° ,∠A=30° ,所以 a· b+b· c +c· a=2cos 120° +2 3cos 150° +0=-4. 答案 -4 → → → → 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若AB· AC=BA· BC=1,那么 c=________. → → → → → → → → → → → → → 解析 由题知AB· AC+BA· BC=2,即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB)=AB2=2?c=|AB|= 2. 答案 2

→ → → → 3.已知△ABO 三顶点的坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,且满足AP· OA≤0,BP· OB≥0, → → 则OP· AB的最小值为________. → → → → 解析 由已知得AP· OA=(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,且BP· OB=(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0,即 x≤1,且 y≥2, → → 所以OP· AB=(x,y)· (-1,2)=-x+2y≥-1+4=3. 答案 3

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→ → → → → 4.已知平面上有四个互异点 A、B、C、D,若(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状为________. → → → → → 解析 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0, → → → → → → 得[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC)=0, → → → → → → 所以(AB+AC)· (AB-AC)=0.所以|AB|2-|AC|2=0, → → ∴|AB|=|AC|,故△ABC 是等腰三角形. 答案 等腰三角形 → → 5.如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,则AO· BC=________. → → → → → 解析 AO· BC=AO· (AC-AB) → → → → =AO· AC-AO· AB, 1→ → → → → 1→ → 因为 OA=OB,所以AO在AB上的投影为 |AB|,所以AO· AB= |AB|· |AB|=2, 2 2 → → 1→ → 9 同理AO· AC= |AC|· |AC|= , 2 2 5 → → 9 故AO· BC= -2= . 2 2 答案 5 2 为 AB,BC

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,点 D,E 分别 → → → → 的中点,且AB· CD=BC· AE,则 a2,b2,c2 成________数列.

→ → → → → → → → → → → → → → → → 解析 由AB· CD=BC· AE,得(CB-CA)· (CB+CA)=(AC-AB)· (AC+AB),即CB2-CA2=AC2-AB2,所以 a2 -b2=b2-c2,所以 a2,b2,c2 成等差数列. 答案 等差

二、解答题
2B ? 7. 已知在锐角△ABC 中的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 定义向量 m=(sin B, - 3), n=? ?cos 2B,4cos 2 -2?,

且 m∥n. (1)求函数 f(x)=sin 2xcos B-cos 2xsin B 的单调递减区间; (2)若 b=1,求△ABC 的面积的最大值. B 4cos2 -2?sin B+ 3cos 2B=2sin B cos B+ 3cos 2B=sin 2B+ 3cos 2B= (1)因为 m∥n,所以? 2 ? ?



π π 2B+ ?=0,所以 B= . 2sin? 3? ? 3 π? 所以 f(x)=sin(2x-B)=sin? ?2x-3?. 5 11 ? π π 3π 于是由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),得函数 f(x)的单调递减区间为? ?kπ+12π,kπ+12π?,k∈Z. 2 3 2

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π 1 π 3 (2)当 b=1 时,由余弦定理,得 1=a2+c2-2accos =a2+c2-ac≥ac,所以 S△ABC= acsin ≤ ,当且仅当 3 2 3 4 a=c=1 时等号成立,所以(S△ABC)max= 3 . 4

→ → → → 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(2a+c)· BC· BA+cCA· CB=0. (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3,试求AB· CB的最小值.



→ → → → (1)因为(2a+c)BC· BA+cCA· CB=0,

所以(2a+c)accos B+abccos C=0, 即(2a+c)cos B+bcos C=0, 所以(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0,

即 2sin Acos B+sin(B+C)=0, 因为 sin(B+C)=sin A≠0, 1 2π 所以 cos B=- ,所以 B= . 2 3 2π 2π 1 → → (2)因为 b2=a2+c2-2accos ,所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4,所以AB· CB=accos =- ac≥-2,当 3 3 2 → → 且仅当 a=c=2 时等号成立,所以AB· CB的最小值为-2.

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