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甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三1月第一次联考数学(理)试卷-Word版含答案


2016 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考

数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试用 时 120 分钟.考试结束后,将试题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.已知集合 A ? {x| lg(x ? 1) ? 0} , B ={x | ?1 ? x ? 3} ,则 A ? B ? A. [?1,3] B. [?1, 2] C. (1,3] D. (1, 2] ( ) D. ?1+i ( ) D. 10 ( )

2.复数 z 满足 (1+i ) z ?| 3 ? i | ,则 z = B. 1 ? i C. ?1 ? i ? ? ? ? ? ? 3.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? A. 1+i A. 5 B. 10 C. 2 5
2

2 4.已知 p : ?m ? R, x ? mx ? 1 ? 0 有解, q : ?x0 ? N , x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 , 则下列选项中是假

命 ( ) A. p ? q 5. 函数 y ?







( q) B. p ?

?

C. p ? q

( q) D. p ?
( )

?

cosx 的图象大致是 ln | x |

A.

B.

C.

D.

6.设 k 是一个正整数, (1+ ) k 的展开式中第四项的系数为

x k

1 2 ,记函数 y ? x 与 y ? kx 的图 16

象所围成的阴影部分为 S ,任取 x ? [0, 4] , y ? [0,16] ,则点 (x,y ) 恰好落在阴影区域 S 内 ( ) A. 的 概 率 是

2 3

B.

1 3
-1-

C.

2 5

D.

1 6

7 .正项等比数列 {an } 中的 a1 , a4031 是函数

f ( x) ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点,则 3

log 6 a2016 ?
( ) B. 1 C. 2 D. 2 ( )

A. ?1

8.一个几何体的三视图如上图所示,则这个几何体的体积为 A. C.
3 (8+?) 6 3 (8+2?) 6

B. D.

3 (9 ? 2? ) 6 3 (6+?) 6

9. 阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

( )

A. 7 10.已知点 A 是抛物线 y ?

B. 9

C. 10

D. 11

1 2 x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在抛物 4 线上且满足 | PF |? m | PA | ,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A , F 为焦点的双曲线上,

则 ( ) A.







线











5 ?1 2 ?1 B. C. 2 ? 1 D. 5 ? 1 2 2 4 11.体积为 ? 的球 O 放置在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 上,且与上表面 A1 B1C1 D1 相 3

切 , 切 点 为 该 表 面 的 中 心 ,, 则 四 棱 锥 O ? ABCD 的 外 接 球 的 半 径 为 ( ) A.
10 3

B.

33 10

C. 2

D.

23 6

? | log3 x |, 0 ? x ? 3 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? .若存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 ,当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 时 ? ? cos( x),3 ? x ? 9 ? 3 ?

满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 x1 ?x2 ?x3 ?x4 的取值范围是
29 A. (7, ) 4 135 B. (21, ) 4

( )
135 D. (27, ) 4

C.[27,30)

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) .

共 90 分)

-2-

13.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( 14. 若实数 (a ? 0, b ? 0) , 且 的零点个数为

1 2 2a ? b ? mx 则当 的最小值为 m , 函数 f ( x) ? e | lnx | ?1 ? =1 , a b 8

2015? ? 2? ) 的值为 2

?x ? y ? 0 ? 15.已知不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的区域为 D , M ( x, y ) 是区域 D 内的点,点 A(?1, 2) , ?x ? 2 ?
则 z ? OA? OM 的最大值为

??? ? ???? ?

.
x 有唯一不动点,且 a( x ? 5)

16 .方程 f ( x) ? x 的根称为函数 f ( x) 的不动点,若函数 f ( x) ?
x1 ? 1613 , xn ?1 ?

1 (n ? N ? ) ,则 x2016 ? 1 f( ) xn

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 b 2 , c 2 是关于 x 的一元二次方程
x 2 ? (a 2 ? bc) x ? m ? 0 的两根.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设 B =? , ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f (? ) 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 在一次考试中,5 名同学的数学、物理成绩如下表所示: (Ⅰ)根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归直线方程; (Ⅱ)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学 中 物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E (X)

?? ? ?a ? ? bx ? ,b 附:回归方程 y
数.

? ( x ? x )(y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? ,其中 x , y 为样本平均 ? ? y ? bx ,a

2

学生 数学 ( x 分) 物理 ( y 分)

A1
89 87

A2
91 89
-3-

A3
93 89

A4
95 92

A5
97 93

19.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? CA ? AA1 ? 2 , 侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,且 D , E 分别是棱 A1 B1 , AA1 的中点,

1 AB . 4 (Ⅰ)求证: EF || 平面 BDC1 ;
点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (Ⅱ)求二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :
(第 19 题图)

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3 经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长;
(Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? ax 2 ? 2a ? e) ,其中 a ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当

1 ? a ? 1 时,求证:对任意的 x ? [0, ??) , f ( x) ? 0 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.
? x ? ?4t ? a 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),在直角坐标系 xoy 中,以 o 点为极点,x ? y ? 3t ? 1

轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆 M 的方程为

? 2 ? 6 ? sin ? ? ?8 .
(Ⅰ)求圆 M 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 a 的值.

-4-

2016 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试卷(理科)参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 4 13. ? ; 14. 1 ; 15. 2 ; 16. 2016 . 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:在△ABC 中,依题意有: b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ∴ cos A ? 2分 6分

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? ,又 A ? (0 , ? ) ,∴ A ? 2bc 2 3

(Ⅱ)解:由 a ? 3 , A?

?
3

及正弦定理得:

b c a ? ? ?2 sin B sin C sin A

∴ b ? 2sin B ? 2sin ? , c ? 2sin C ? 2sin( 故 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin ? ? 2sin( 由0 ?? ?

2? ??) 3

2? 2? ? B) ? 2sin( ??) 3 3

8分

即 y ? 2 3 sin(? ?

?
6

)? 3

10 分 12 分

2? ? ? 5? ? ? ? 得: ? ? ? ? ∴当 ? ? ? ,即 ? ? 时, ymax ? 3 3 . 3 6 6 6 6 2 3

18. (本小题满分 12 分) 解答: 1 1 (Ⅰ)? x ? (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97) ? 93 , y ? (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5 5
2 2 ? ? ( xi ? x ) 2 =(-4) +(-2) +02 +22 +4 2 =40 i ?1 5

2分

? (x
i ?1

5

i

? x( ) yi ? y )=30

? ? 30 =0.75, a ? ? 20.5 ? ? y ? bx ?b 40 ? ? 0.75 x ? 20.25 故物理分 y 对数学分 x 的回归直线方程是 y
(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,3.

6分 7分

P(X ? 0) ?

C 1 ? C 6

2 2 2 4

P(X ? 1) ?

CC 2 ? 2 C4 3

1 2

1 2

P(X ? 2) ?

C 1 ? C 6

2 2 2 4

9分

故 X 的分布列为:

X

P

0 1 6

1 2 3

2 1 6

1 2 1 ? E (X) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6
-5-

12 分

19. (本小题满分 12 分) 解答: (Ⅰ)证明(证法一):设 O 为 AB 的中点,连结 A1O, ∵AF=
1 AB,O 为 AB 的中点,∴F 为 AO 的中点, 4

又 E 为 AA1 的中点,∴EF∥A1O. 又∵D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点,∴A1D=OB. 又 A1D∥OB,∴四边形 A1DBO 为平行四边形. ∴A1O∥BD.又 EF∥A1O,∴EF∥BD. 又 EF?平面 DBC1,BD?平面 DBC1.∴EF∥平面 DBC1. (证法二)建立如图所示的坐标系.(坐标系建立仅为参考) ∵AB=BC=CA=AA1=2,D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点, AF=
1 AB. 4
1 ,0,0),B(1,0,0),D(0,0,2),C1(0, 3 ,2). 2

O
(第 19 题解图 1)

6分

z

E(-1,0,1),F(-

设平面 DBC1 的法向量为 n=(x,y,z).
???? ? ??? ? 1 ??? ? EF =( ,0,-1), BD =(-1,0,2), BC1 =(-1, 3 ,2). 2 ???? ? ??? ? n=-x+2z=0, BC1 · n=-x+ 3 y+2z=0, BD ·

y

o
(第 19 题解图 2)

x

??? ? ??? ? 1 令 z=1,则 y=0,x=2,∴n=(2,0,1). EF · n= ×2+0×0+(-1)×1=0,∴ EF ⊥n. 2

又 EF?平面 BDC1,∴EF∥平面 BDC1.

6分

(Ⅱ)解:设平面 EBC1 的法向量为 m=(x,y,z). ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? m=-2x+z=0, BC1 · n=-x+ 3 y+2z=0,令 x=1,则 BE =(-2,0,1), BC1 =(-1, 3 ,2). BE · z=2,y=- 3 ,∴m=(1,- 3 ,2).cos< m,n >=
10 . 5

|m ? n | 1 ? 2 ? (? 3) ? 0 ? 2 ? 1 10 ? ? .∴ |m || n | 5 2 2? 5
12 分

二面角 E-BC1-D 的余弦值为 20 . ( 本小题满 分 12 分 ) 解答:

(I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

3分

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1,所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联

-6-

? x2 y2 ?1 ? ? 立得到 ? 4 ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

5分

8 7

8 7
6分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D ( ?1, ), C ( ?1, ? ) ,

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)( k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 )

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

7分

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

8k 2 4k 2 ? 12 显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

8分

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

10 分

12 12 12 3 ? ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) 3 2 ? 4 | k | 2 3 ?4 | k | 2 12 |k | |k |
12 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3 (Ⅲ)另解:设直线 l 的方程为: x ? my ? 1 ?m ? R ? ,则

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 得, 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ? x1 , y1 ? , D? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 所以, S1 ?

6m 9 , y1 ? y2 ? ? ? 0. 2 2 3m ? 4 3m ? 4

8分

1 1 AB ? y2 , S 2 ? AB ? y1 , 2 2
10 分

S1 ? S 2 ?

12 m 1 1 AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 3m 2 ? 4 2 2
-7-

当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? ?

12 m 12 m ? ? 3 ?m ? R ? . 2 3m ? 4 2 3 ? 4m 2

由 3m 2 ? 4 ,得 m ? ?

2 3 .当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? 0 ? 3 3
12 分

从而,当 m ? ?

2 3 时, S1 ? S 2 取得最大值 3 . 3

21 . ( 本小题满 分 12 分 ) 解答: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x (sin x ? e) , x ? R

f ?( x) ? e x (sin x ? cos x ? e) ? e x [ 2 sin( x ? ) ? e] , 4 ? ? 当 x ? R 时, 2 sin( x ? ) ? 2 ,? f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 R 是单调递减的函数. 4
(Ⅱ)设 g ( x) ? sin x ? ax 2 ? 2a ? e , x ? [0, ??)

?

2分 4分

g ?( x) ? cos x ? 2ax ,令 h( x) ? g ?( x) ? cos x ? 2ax , x ? [0, ??) 则 h?( x) ? ? sin x ? 2a


1 ? a ? 1 时,x ? [0, ??) , 有 h?( x) ? 0 , 即 g ?( x) 在 [0, ??) 上 ? h( x) 在 [0, ??) 上是减函数, 2
6分

是减函数.

? 2? ? 2 ? a? 2 ? 0 , ? g ?( x) 存 在唯 一 的 x ? (0, ? ) , 使得 ? 又 ? g ?(0) ? 1 ? 0 , g ?( ) ? 0 4 4 2 2
g ?( x0 ) ? cos x0 ? 2ax0 =0 , 所以当 x0 ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0, x0 ) 单调递增; +?) 单调递减.因此在区间 [0, ??) 当 x0 ? ( x0 , +?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ( x0,
2 g ( x) max ? g ( x0 ) ? sin x0 ? ax0 ? 2a ? e

8分

1 cos x0 ,将其代入上式得 2a 1 1 1 ? 2a ? e g ( x) max = sin x0 ? cos 2 x0 ? 2a ? e ? sin 2 x0 ? sin x0 ? 4a 4a 4a 1 2 1 ? 2 2 t ?t ? ? 2a ? e , t ? (0, ) 令 t ? sin x0 , x0 ? (0, ) ,则 t ? (0, ) ,即有 p (t ) ? 4a 4a 4 2 2 1 2 因为 p (t ) 的对称轴 t ? ?2a ? 0 ,所以函数 p (t ) 在区间 (0, ) 上是增函数,且 ? a ? 1 2 2 1 2 2 1 2 15 所以 p (t ) ? p ( ( ? a ?1 ) ,即任意 x ? [0, ??) , )? ? ? 2a ? e ? ? ?e?0 , 2 2 2 8a 2 8
因为 cos x0 ? 2ax0 =0 ,所以 x0 =

g ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? e x g ( x) ? 0 ,因此任意 x ? [0, ??) , f ( x) ? 0
-8-

12 分

22.(本小 题满分 10 分 ) 解答: (Ⅰ)因为 AM 是圆 O 的切线,所以 ?MAB ? ?ACB ,且 ?M 是公共角,

AC AM 5 5 5分 ? ? ,所以 AC ? AB AB MB 2 2 75 63 2 (Ⅱ)由切割线定理得 MA ? MB · MC ,所以 MC = ,又 MB ? 6 ,所以 BC = 2 2 AC CE 5 5 45 又 AD 是 ?BAC 的角平分线,所以 , ? ? ,所以 CE ? BE ,所以 CE ? AB BE 2 2 2 25 405 BE ? 9 .所以由相交弦定理得 AE · DE ? CE · BE ? ? 9 ? 10 分 2 2
所以 ?ABM ? ?CAM ,所以 23.(本小 题满分 10 分 ) 解答: (Ⅰ) 因为 ? 2 ? 6 ? sin ? ? ?8 ? x 2 ? y 2 ? 6 y ? ?8 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 所以圆 M 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1
? x ? ?4t ? a (Ⅱ) 把直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数)化为普通方程得: 3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 ? y ? 3t ? 1

5分

因为直线 l 截圆 M 所得弦长为

3 , 且 圆 M 的 圆 心 M (0,3)到 直 线 l 的 距 离
a? 9 2
10 分

d=

|16 ? 3a | 3 1 9 37 37 ,所以 a ? 或 ? 12 ? ( ) 2 = ? a ? 或 a ? 5 2 2 2 6 6

注:只要写对圆的方程,可以不化为标准方程,就可得 5 分,其它解法斟酌给分 24.(本小 题满分 10 分 ) 解答: (Ⅰ)若 |x ? 2 | ?|x ? 2 |? 18 ,则 ?

?

x ? ?2

??( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18

或?

?

?2 ? x ? 2

?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18

或 5分

x?2 ? ,解得 ?9 ? x ? 9 ,? A ? (?9,9) ? ?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18

(-9,9) (Ⅱ) ? ?a, b ? A ? ?a, b ? ,? a ? b ? (?18,18) ? x ?
?(x ? 4 ? m) min ? m ? 4 ,由题可知, m ? 4 ? 18 ,? m ? 14 x

4 4 ? m ? 2 x? ? m, x x
10 分

-9-


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