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最新人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》精品课件_图文

24.1.4 圆周角

1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单 应用; 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用; 3.渗透由“特殊到一般”,由“一般到特殊”的数 学思想方法.

C

C

O

O

B

A

B

B A
A
C
O

圆周角:顶__点__在__圆__上__,并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

C



O



B

A

分类讨论

C
O A
B

C





O

A

完全归纳法 B

圆周角定理

理解定理 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为:一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角 的二倍;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等,圆周角是否相等?反过来呢? 什么时候圆周角是直角?反过来呢? 直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?

想一想 1.如下左图,比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.

C E
D

E

A

F

O

AOB

D BC

2.如上右图,如果弧AB=弧CD,那么∠E和∠F是什么关系?

反过来呢? 3.如下图,⊙O1和⊙O2是等圆,

如果弧AB=弧CD,那么∠E和 A

F

∠F是什么关系?

O2

反过来呢?

B

E
O1 D C

推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
思考:1、“同圆或等圆”的条件能否去掉? 2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量也相等.

B
E

A

O

D

C

F

C

O

A

B

D

推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是90°; 90°的圆周角所对的弦是直径.

推论3: 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半, 那么这个三角形是直角三角形.

C E

D

O

A

B

例题

如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线

交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.

C

【解析】

∵AB是直径, ∴ ∠ACB=

在Rt△ABC中∠,ADB=90°.

A

O

B

BC ? AB2 ? AC 2 ? 102 ? 62 ? 8

∵CD平分∠ACB,

D

? ?ACD ? ?BCD. ∴AD=BD.

又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

? AD ? BD ? 2 AB ? 2 ?10 ? 5 2(cm)

2

2

跟踪训练
1、如图,在⊙O中,∠ABC=50°, 则∠AOC等于( D ). A.50° B.80° C.90° D.100°

A
BO C

2、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆

周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC

C

等于( B ).

A.30° B.60° C.90° D、45°

A

B

P

1.如图,∠A=50°,∠AOC=60° BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( B ). A.70° B.110° C.90° D.120°

A
ED O

B

C

2.(南通·中考) 如图,⊙O的直径

AB=4,点C在⊙O上,∠ABC=30°,则AC的A O

B

长是( )

C

A.1

B. 2 C.

D3.2

【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角,在直角三角形中,

30°的角所对的边是斜边的一半.

3.(衢州·中考)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D是

弧BC的中点,已知∠AOB=98°,∠COB=120°.则

∠ABD的度数是



C

A

O

D

B

【解析】如图,连接OD,∵D是弧BC的中点,

∠COB=120°.∴∠CBD1= ∠CO1D=1× ∠COB=30°.

2

22

又∠AOB=98°,∠COB=120°.∴∠OAB=41°,

∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.

答案:101°

4.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O

上,∠C=30°,AB=2,则⊙O的半径是多少?

C

【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°,∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2,即半径为2.

O
A B

5.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这

个三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆)

已知:如图△ABC中,CO为AB边上的中线,且CO= 1 AB 2

求证: △ABC 为直角三角形.

C

证明: 以AB为直径作⊙O,

∵AO=BO, 12CO= AB,

A



B

∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上.

又∵AB为直径,∴∠ACB= 1×180°= 90°.
2
∴ △ABC 为直角三角形.

通过本课时的学习,需要我们掌握: 1.圆周角定义及其两个特征; 2.圆周角定理的内容及其推论; 3.思想方法:一种方法和一种思想: 在证明中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想. 分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转 化成一系列的简单问题或已证问题.



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