9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.5 等比数列的前n项和(二) 学案(人教A版必修5)


2.5

等比数列的前 n 项和(二)
自主学习

知识梳理 1. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 当公比 q≠1 时, Sn=____________=____________; 当 q=1 时,Sn=________. 2.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成________数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =________. S奇 a1 3.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1-qn)=A(qn-1).其中 A 1-q =________. 4. 解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题, 关键是在实际问题中建立等比数列模型. 自主探究 + n+1 -bn 1 n n-1 n-2 2 n a 利用等比数列前 n 项公式证明 a +a b+a b +…+b = ,其中 n∈N*a,b a-b 是不为 0 的常数,且 a≠b.

对点讲练 知识点一 等比数列前 n 项和的证明问题 例 1 设 {an} 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 其 前 n 项 和 , 证 明 : log0.5Sn+log0.5Sn+2 >log0.5Sn+1. 2

总结 本题关键是证明 Sn· Sn+2<S2 n+1.证明时要分 q=1 和 q≠1 两种情况. 变式训练 1 已知等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 Sn,S2n,S3n,求证: 2 S2 + S n 2n=Sn(S2n+S3n).

知识点二 等比数列前 n 项和的实际应用 例 2 为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨,该矿区计 划从 2010 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口,问 2010 年最多出口多 少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35.

总结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键, 运算中往往要运用指数或对数不等 式, 常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算, 对其结果要按照要求保留一定的 精确度. 变式训练 2

一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是 它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗?

知识点三 等差数列、等比数列的综合问题 1?an 21 1 设{an}是等差数列,bn=? ?2? ,已知:b1+b2+b3= 8 ,b1b2b3=8,求等差数列

例 3 的通项 an.

总结 (1)一般地,如果{an}是等差数列,公差为 d,且 cn=can (c>0 且 c≠1),那么数列 {cn}是等比数列,公比 q=cd.

(2)一般地,如果{an}是各项为正数的等比数列,公比为 q,且 cn=logaan(a>0 且 a≠1), 那么数列{cn}为等差数列,公差 d=logaq. 变式训练 3 在等比数列{an}中,an>0 (n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8= 25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; S1 S2 Sn (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 + +…+ 最大时,求 n 的值. 1 2 n

1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性 质既有类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题 的运算量,从而减少错误. 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体 会两种情形中解方程组的方法的不同之处. 3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定 a1 与项数 n 的实际 含义,同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题. 课时作业 一、选择题 1.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内, 该厂的总产值为( ) A.1.14a B.1.15a 5 C.10×(1.1 -1)a D.11×(1.15-1)a 2 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 ) 1+a2+…+an等于( 1 n n 2 2 A.(2 -1) B. (2 -1) 2 1 C.4n-1 D. (4n-1) 3 3.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则 第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300 米 B.299 米 C.199 米 D.166 米 4.若等比数列{an}的公比 q>0,且 q≠1,又 a1<0,那么( ) A.a2+a6>a3+a5 B.a2+a6<a3+a5 C.a2+a6=a3+a5 D.a2+a6 与 a3+a5 的大小不确定 5.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则 a3+a4+a5+a6+a7 +a8 等于( ) 21 19 9 3 A. B. C. D. 16 16 8 4 1 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题 - 6.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t,则 t=________. 7. 如果 b 是 a, c 的等差中项, y 是 x 与 z 的等比中项, 且 x, y, z 都是正数, 则(b-c)logmx +(c-a)logmy+(a-b)logmz=______. 1 8.等比数列{an}的首项 a1=511,公比 q= ,记 Cn=a1· a2· a3· …· an,则当 Cn 达到最大 2

时,n 的值是________. 三、解答题 9.设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数 列.

10. 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游业, 1 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计 5 为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入?

§ 2.5
知识梳理 a1?1-qn? a1-anq 1. na1 1-q 1-q 2.(1)等比 (2)q a1 3. q-1 自主探究

等比数列的前 n 项和(二)

b 证明 ∵a≠0,b≠0,a≠b,∴ ≠1. a - - ∴左端=an+an 1b+an 2b2+…+bn b?n? b b?2 +…+? =an?1+a+? a a ? ? ? ?? ? b ? ?n+1? an+1?1-?b?n+1? an? 1 - ? ?a? ? ? ?a? ? = = b a-b 1- a



an 1-bn 1 =右端. a-b
+ + + +

an 1-bn 1 - - ∴an+an 1b+an 2b2+…+bn= . a-b 对点讲练 例 1 证明 设{an}的公比为 q, 由题设知 a1>0,q>0, 当 q=1 时,Sn=na1,从而 Sn· Sn+2-S2 n+1 2 =na1· (n+2)a1-(n+1)2a2 1=-a1<0. a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= , 1-q n n+2 n+1 2 a2 ? a2 ? 1?1-q ??1-q 1?1-q n 从而 Sn· Sn+2-S2 = - =-a2 + 2 2 n 1 1q <0. ?1-q? ?1-q? 综上知,Sn· Sn+2<S2 n+1, ∴log0.5(Sn· Sn+2)>log0.5S2 n+1. log0.5Sn+log0.5Sn+2 即 >log0.5Sn+1. 2 变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q,首项为 a1, 当 q=1 时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, 2 2 2 2 2 2 2 ∴S2 n+S2n=n a1+4n a1=5n a1, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2a2 1, 2 2 ∴Sn+S2n=Sn(S2n+S3n). a1 当 q≠1 时,则 Sn= (1-qn), 1-q a1 a1 S2n= (1-q2n),S3n= (1-q3n), 1-q 1-q 2 ? a1 ?2 [(1-qn)2+(1-q2n)2] ∴S2 n+S2n= 1-q · ? ? a1 ?2 ? n 2 = 1-q · (2+2qn+q2n). ? ? (1-q ) · a1 n 2 又 Sn(S2n+S3n)=?1-q?2· (2+2qn+q2n), ? ? (1-q ) · 2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n). 方法二 根据等比数列性质, 有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn), S3n=Sn+qnSn+q2nSn, 2 2 n 2 2 n 2n ∴S2 n+S2n=Sn+[Sn(1+q )] =Sn(2+2q +q ), 2 n 2n Sn(S2n+S3n)=Sn(2+2q +q ). 2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n). 例 2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比 q=1-10% =0.9, - ∴an=a· 0.9n 1 (n≥1). a?1-0.910? (2)10 年的出口总量 S10= 1-0.9 =10a(1-0.910). 8 ∵S10≤80,∴10a(1-0.910)≤80,即 a≤ , 1-0.910 ∴a≤12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨. 4 变式训练 2 解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意,得 an+1= an, 5

4 因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q= 的等比数列. 5 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为: a1?1-qn? Sn=a1+a2+…+an= 1-q 4 ? ?n? 25×? ?1-?5? ? ?4?n? = =125×? ?1-?5? ?<125. 4 1- 5 故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 例 3 解 设等差数列{an}的公差为 d, ?1? bn+1 ?2?an+1 ?1? 1?d 则 = =?2?an+1-an=? 2? . ? bn ?1?an ? 2? 1?d ∴数列{bn}是等比数列,公比 q=? ?2? . 1 1 ∴b1b2b3=b3 2= ,∴b2= . 8 2 17 1 b =2 b1+b3= ? ? 8 ?b1=8 ? 1 ∴ ,解得? 或? 1 . 1 b3= ? ? 8 ? b = 2 ? b1· b3= 3 4

? ? ?

1 ? ?b1=8 当? 时,q2=16,∴q=4(q=-4<0 舍去) ? ?b3=2 1? n-1 2n-5 - 此时,bn=b1qn 1=? 4 =2 . ?8?· 1?5-2n ?1? 由 bn=? ?2? =?2?an, ∴an=5-2n. b =2 ? ? 1 1 1 1? 2 ? 当? 1 时,q =16,∴q=4?q=-4<0舍去? b = ? ? 3 8 - ?1?n-1=?1?2n-3=?1?an, 此时,bn=b1qn 1=2· ?4? ?2? ?2? ∴an=2n-3. 综上所述,an=5-2n 或 an=2n-3. 变式训练 3 解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, 2 ∴a2 3+2a3a5+a5=25, 又 an>0,∴a3+a5=5.又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4, 而 q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1. 1?n-1 1 5-n ∴q= ,a1=16,∴an=16×? ?2? =2 . 2 (2)bn=log2 an=5-n,∴bn+1-bn=-1, ∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, n?9-n? Sn 9-n ∴Sn= ,∴ = , 2 n 2 Sn Sn ∴当 n≤8 时, >0;当 n=9 时, =0; n n

Sn 当 n>9 时, <0. n S1 S2 S3 Sn ∴当 n=8 或 9 时, + + +…+ 最大. 1 2 3 n 课时作业 1.D [注意去年产值为 a,今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11×(1.15-1)a.] - 2.D [易知{an}为等比数列且 an=2n 1. 2 2 ∴{an}也是等比数列,a1=1,公比为 4. n 1 2 2 2 1-4 ∴a1+a2+…+an= = (4n-1).] 1-4 3 1?8 39 3.A [小球 10 次着地共经过 100+100+50+…+100×? ?2? =29964≈300(米).] 4.B [(a2+a6)-(a3+a5)=a1(q+q5)-a1(q2+q4) =a1q(q4-q3-q+1)=a1q(q-1)2(q2+q+1) ∵a1<0,q>0 且 q≠1,q2+q+1>0, ∴a1q(q-1)2(q2+q+1)<0, ∴a2+a6<a3+a5.] 5.A 1 6.- 3 解析 显然 q≠1,此时应有 Sn=A(qn-1), 1 n 1 又 Sn= · 3 +t,∴t=- . 3 3 7.0 解析 ∵a,b,c 成等差数列,设公差为 d, 则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz =-dlogmx+2dlogmy-dlogmz y2 =dlogm =dlogm1=0. xz 8.9 1?n-1 解析 由 an=511×? ?2? >1,解得 n≤9. 即 a1>a2>…>a9>1>a10>a11>…. ∴当 n=9 时,Cn 最大. 9.证明 设{an}、{bn}的公比分别为 p、q,p≠0,q≠0,p≠q,cn=an+bn. 要证{cn}不是等比数列,只需证 c22≠c1· c3 成立即可. 2 2 2 事实上,c22=(a1p+b1q) =a21p +b21q +2a1b1pq, c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2) =a21p2+b21q2+a1b1(p2+q2). 由于 c1c3-c22=a1b1(p-q)2≠0,因此 c22≠c1· c3,故{cn}不是等比数列. 10.解 (1)第一年投入为 800 万元, 1? 第二年投入为 800×? ?1-5?万元,…, 1?n-1 第 n 年投入为 800×? ?1-5? 万元. 所以 n 年内总投入为: 1 1 1- ?+…+800×?1- ?n-1 an=800+800×? ? 5? ? 5? 4 4 - n 1 ? ? =800×?1+5+…+? ?5? ? ?

?4?n? =4 000×? ?1-?5? ?.
1? 第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400×? ?1+4?万元,…,第 n 年旅 1 1+ ?n-1 万元,所以 n 年内的旅游业总收入为: 游业收入为 400×? ? 4? 1? ? 1?n-1 bn=400+400×? ?1+4?+…+400×?1+4? 5?n-1? 5 =400×?1+4+…+? ?4?

?

?

?5?n-1?. =1 600×? ??4? ? (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则 bn-an>0, ?5?n ? ? ?4?n? 即 1 600×? ??4? -1?-4 000×?1-?5? ?>0, 5?n ?4?n 化简得:2? ?4? +5?5? -7>0, 4?n 2 设 x=? ?5? ,则 5x -7x+2>0, 2 解得 x< 或 x>1, 5 4?n ∵n≥1,∴x=? ?5? <1,∴x>1(舍去), 4?n 2 即? ?5? <5,由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.


赞助商链接

更多相关文章:
...二章数列25等比数列前n项和教案2人教A版必修5(数...
江苏省徐州市高中数学第二章数列25等比数列前n项和教案2人教A版必修5(数学教案) - 2.5 等比数列前 n 项和 教学 目标 教学重 难点 教学 参考 授课 方法教...
...2.5.1 等比数列的前n项和课时训练 新人教A版必修5
2015-2016学年高中数学 2.5.1 等比数列的前n项和课时训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。课时训练 13 一、等比数列前 n 项和公式的应用 等比数列...
...数列232等比数列的前n项和二学案人教B版必修5(数...
版高中数学第二章数列232等比数列的前n项和二学案人教B版必修5(数学教案) - 2.3.2 学习目标 等比数列的前 n 项和(二) 1.熟练应用等比数列前 n 项和...
高二人教A版必修5教案精选:2.5 等比数列的前n项和裂项...
高二人教A版必修5教案精选:2.5 等比数列的前n项和裂项法(一) - 数列求和之裂项相消法求和(一) 安徽省凤台县第一中学 教学目标: 葛广旭 1 知识与技能目标 ...
数学:新人教A版必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习)
数学:新人教A版必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习) - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
...二章数列233等比数列的前n项和二学案苏教版必修5(数...
版高中数学第二章数列233等比数列的前n项和二学案苏教版必修5(数学教案)_数学_高中教育_教育专区。2.3.3 学习目标 等比数列的前 n 项和(二) 1.熟练应用...
数学:新人教A版必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习)
数学:新人教A版必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习) - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
高中数学24等比数列学案人教A版必修5(数学教案)
高中数学24等比数列教学案人教A版必修5(数学教案)...前 n 项和为 Sn,请填写下表: 2.计算: ( 1 ...高中数学2.5等比数列的前... 6人阅读 9页 ¥...
...第二章 课时10《等比数列的前n项和》(1)学案
2014人教A版数学必修五 第二章 课时10《等比数列的前n项和》(1)学案_初二数学_数学_初中教育_教育专区。江苏省宿迁市马陵中学高中数学 必修 5 第二章 课时 ...
(浙江版)2018年高中数学 复习课(二)数列学案人教A版必修5
(浙江版)2018年高中数学 复习课(二)数列学案人教A版必修5_高三数学_数学_...5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ?...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图