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福建省西山高中高二数学 311变化率问题 学案


§3.1.1 变化率问题 [自学目标]: 了解导数概念的实际背景 [重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解 [难点]:平计算均变化率的 [教材助读]: 1、我们把式子 2、习惯上用 ?x 表示 称为函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率 ,即 ?x = 可把 ?x 看作是相对于 x1 的 。于是平均变化 一个增量,可以用 x1 ? ?x 代替 x2 ,类似地, ?y ? 率可表示为 [预习自测] 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 4 气球的体积 V (单位: L )与半径 r (单位: dm )之间的函数关系是 V ( r ) ? ?r 3 3 3V 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3 4? 思考: 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h ( 单位 : m ) 与起跳后的时间 t (单位: s )存在函数关系 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 .如何用运动员在某些时间段内 的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 65 探究 : 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度 , 并 49 思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么 问题吗? (二)平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, x2 ? x1 称为函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. 2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量” 可用 x1 ? ?x 代替 x2 ,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 则平均变化率为 f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x 思考: 观察函数 f ( x) 的图象 平均变化率 ?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1 请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂 上与老师和同学探究解决。 [合作探究 展示点评] 探究一:平均变化率的概念 2 例 1 已知函数 f ( x) ? ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及 ?y ? 临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) 则 . ?x 探究二:求函数在某点处附近的平均变化率. 例 2 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率. [当堂检测] 1.质点运动规律为 s ? t 2 ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为多 少? 2.物体按照 s(t ) ? 3t 2 ? t ? 4 的规律作直线运动,求在 4 s 附近的平均变化 率. [拓展提升] 1.计算函数 f ( x) ? x2 从 x ? 1 到- x ? 1 ? ?x 的平均变化率,其中 ?x 的值为: (1)2; (2)1; (3)0.1; (4)0.01; (5)思考:当 ?x 越来越小时,函数 f ( x) 在区间 ?1,1? ?x? 上的平均变化率有怎

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