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2014宁夏石嘴山市光明中学必修5正余弦定理的应用


高中数学新课标复习讲座必修 5 正余弦定理的应用

石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标复习讲座必修 5 正余弦定理的应用
【基础回归】 1.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c。若 a=c= A.2 B.4+2 C.4-2 ,且 A=75° ,则 b 等于( D. )

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c,若 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形

cos A a ,则△ABC 一定是( ? cos B b
D.等边三角形
2 2 2

).

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c,若 (a ? c ? b ) tan B ? 3ac , 则角 B 的值为( A. ). B.

C.

D. ).

4.若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( A. B. C. D.

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边边长分别是 a,b,c.若 a2-b2= A.30° B.60° C.120° D.150°

bc,sin C=2

sin B,则 A=(

).

6.如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是 β,α(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于( ). A. B.

C.

D.

7.已知△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC= A.B. C.-

,BC= D.

.则

=(

).

6.点( a ,1)在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的右下方,则 a 的取值范围是( A. (-2,+ ? ) B. (- ? ,-2)
2

) D. (- ? ,1) )

C. (1,+ ? )

7. (2013 宁夏)已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | ? 5 ? x ? 5} ,则(
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高中数学新课标复习讲座必修 5 正余弦定理的应用

石嘴山市光明中学 潘学功

A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B?A

D.A?B

8.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察 站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 . 9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15° 的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和 最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 5 第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应以 米(如图所示),旗杆底部与

米/秒的速度匀速升旗.

10.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC 一定是钝角三角形;③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;④若 b+c=8,则△ABC 的面积为 其中正确结论的序号是 【知识解读】 1、正弦定理: . .

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) sin A sin B sin C

变式: (1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ; (3) sin A ?

a b c 。 ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2、余弦定理: b = a ? c ? 2ac cos B ;cosB= a ? c ? b ; b ? c ? 2bc cos A ? a 。 2ac

4、在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ;若 sin 2 A ? sin 2B ,则 A ? B 或 A ? B ? 90? 。 5、 在△ABC 中,A ? B ? sin A ? sin B 。 6、 三角形的面积: S ? 【典例剖析】 〖例 1〗 (2013 重庆)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c 。
2 2 2

1 1 1 bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 。 2 2 2

(1)求 C ;(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 , ? ,求 tan ? 的值。 2 5 cos ? 5

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石嘴山市光明中学 潘学功

由题意得

〖例 2〗 (2013 四川)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

A? B 3 cos B ? sin( A ? B)sin B ? cos( A ? C ) ? ? 。 2 5 ? ??? ? ??? (Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影。 3 2 A? B 【答案】解: ? ? ? 由 2cos cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5
且 2cos
2

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石嘴山市光明中学 潘学功

? ?? ? 由 cos A ? ?
由正弦定理,有

3 4 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? , 5 5

b sin A 2 a b ,所以, sin B ? . ? ? a 2 sin A sin B

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?
4

.

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2

〖例 3〗 (2013 湖北) 在 ?ABC 中, 角 A, 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。 C 对应的边分别是 a , b, c。 B, (I)求角 A 的大小;(II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。
【答案】解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

C °。 〖例4〗 (2013全国I)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90 (1)若PB=

1 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA。 2
o
o

P A B

【解析】 (1)由已知得,∠PBC= 60 ,∴∠PBA=30 , 在△PBA 中,由余弦定理得 PA = 3 ?
2

7 1 1 7 。 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 2 4 2 4
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(2)设∠PBA= ? ,由已知得,PB= sin ? , 在△PBA 中,由正弦定理得,

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石嘴山市光明中学 潘学功

3 sin ? ? ,化简得 3 cos ? ? 4sin ? , o sin150 sin(30o ? ? )

∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = 。 4 4

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 〖例 5〗 (2012 宁夏) 已知 a , B, C 的对边, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,
(1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 【解析】 (1)根据正弦定理

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

得 a ? 2R sin A , b ? 2R sin B , c ? 2R sin C , 因为 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 , 所以 (2 R sin A) cosC ? 3 (2 R sin A) sin C ? 2 R sin B ? 2 R sin C ? 0 , 即 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 , (1) 由三角形内角和定理,得 sin B ? sin(A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C , 代入(1)式得 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ? 0 , 化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1 ,即 sin(A ? 而0 ? A?? ,?

?
6

)?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,从而 A ? ? ,解得 A ? 。 6 6 6 3

1 , 2

(2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?

?

3



? ?1 bc sin ? 3 ? ?bc ? 4 ?2 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ? b ? c ? 8 2 2 2 ? ?b ? c ? 2bc cos ? a ? 4 ? 3 ? 从而解得 b ? 2 , c ? 2 。

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