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高中数学竞赛指导(第一讲)


第一讲 函数的概念 赛点直击 一、 函数的定义域 1. 几种常见的初等函数的定义域. 已知下列函数:① y = 2n P(x) ﹙ n ∈ Ν ﹚;② y =
*

P(x) ; ③ y = logQ(x)P(x) ; ④ y = tanP(x) ; ⑤ y = Q(x) cotP(x).使各函数式有意义时, P(x), Q(x)的约束条 件分别为: ① P(x) ≥0;②Q(x) ≠0; ③ 0<Q(x)≠1 且 P(x)>0;④P(x) ≠kπ + ∈Ζ ﹚; ⑤P(x)≠kπ ﹙k∈Ζ ﹚ 2. 复合函数的定义域 已知函数 f(x)的定义域为 【a,b】 ,求函数 y=f[g(x)] 的定义域的问题。其解题步骤为由 a≤g(x)≤b,解 出 x 的范围,即为函数 y=f[g(x)]的定义域. 若函数关系式是由图像给出的, 则可由图像直接观察 函数的定义域. 若函数关系式表示的是一个实际问题中的两个变量 之间的关系,则要注意实际问题中变量的范围. 二、 函数的值域 π ﹙k 2

根据函数表达式的形式,值域的求法也各不相同,一般 有以下几种求法: 1. 配方法 如果所给出的函数是二次函数或可化为二次函数的 形式,一般可采用配方法进行求解.在求解时要注意 作为二次函数形式的自变量的取值范围. 2. 利用函数的单调性 如果所给出的函数是熟悉的已知函数的形式, 那么可 根据函数的图像或利用函数的单调性来判断.在利用 函数的单调性求解时,一定要注意其单调区间. 3. 反函数法 若某函数存在其反函数, 则可利用互为反函数的两个 函数的定义域和值域的互反性, 该求其反函数的定义 域. 4. 判别式法 若将 y 看成常数,所给函数 y=f(x)便可看成是关于 x 的方程;若是关于 x 的二次方程,则可利用判别式 Δ ≥0 来求 y 的取值范围,但需注意取等号的问题. 5. 变量代换法 一个复杂的函数, 如果将其中得到某个式子看成一个 整体, 通过变量代换, 就可以化为我们熟知的表达式, 这时要注意所代换的表达式的取值范围.

6. 利用基本不等式 利 用 代 数 基 本 不 等 式 x + y ≥ 2 xy ,x + y + z ≥ 3 3 xyz ﹙x,y,z>0﹚等来求函数的值域,也是一种 行之有效的方法, 但是在使用时要注意是否符合公式 的基本要求以及能否取到等号的问题 三、 函数的对应关系 自变量 x 与函数 y 的对应关系是指对于自变量 x 的一个 确定的数值 x0(定义域内) ,应以何种方式求出函数 y 的对应值 y0 ,对应关系一般用 f,g 等字母表示. 对应关系一般有显式和隐式之分.显式一般是用 y=f(x) 或其图像, 隐式一般可用 f 所满足的一些条件的形式给 出,例如函数方程的形式.

赛题解析 1. 求下列函数的定义域: x(3-x) ; 2 lg(x-3) 1 (2 ) y = x x a -k·b (1 ) y = 解: (1)要使 y 有意义,则: x(3-x)≥0,
2

0≤x≤3

(x-3) >0,即: x≠3 (x-3) ≠1,
2

x≠2 且 x≠4

故定义域为[0,2)∪(2,3). (2)由题意知,函数的自变量 x 的取值范围是 a x x x a -kb >0 ,即( ) >k.因 a>0,b>0,a≠1,b≠1.则 b ① 当 a>b>0,k>0 时, 定义域为{x|x>㏒a k}
b

② 当 b>a>0,k>0 时, 定义域为{x|x<㏒a k}
b

③ 当 0<a=b≠1,且 0<k<1 时, 定义域为 R. ④ 当 k≤0 时,定义域为 R. 说明(1)求函数的定义域一般可转化为求不等式的解,对 于参数,应予以讨论 (3) 函数的定义域一般应表示为集合形式或用区间表 示

2. 已知 a∈(-

1 ,0],函数 f(x)的定义域是(0,1],求 2

g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域. 【分析】g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域是 f(x+a), f(x-a),f(x)的定义域的交集,解题时应注意参数 a 的取值 范围,有时应对 a 进行分类讨论. 解:由题意得:0<x+a≤1, 0<x-a≤1, 即 0<x≤1, ﹣a<x≤1-a a<x≤1+a 0<x≤1 ① ② ③

∵﹣

1 <a≤0 , 2 1 3 , 1≤1-a< , 2 2 1 <1+a≤1. 2

∴0≤﹣a<

∴不等式组的解为﹣a<x≤1+a. ∴g(x)的定义域为(﹣a,1+a]. 【说明】本题中 a∈(1 ,0]给得恰到好处,不然就得对 a 进 2

行分类讨论了;若 a 的取值范围使得由①,②,③组成的不 等式无解,这时我们千万不能称 g(x)的定义域是空集,因函 数的定义域和值域均不能为空集,而要说这时不存在函数 g(x).

3. 求下列函数的值域. (1)y=x+ 1-2x 10 +10 (2)y= x -x 10 -10
x -x

(2x-x?+3) (3)y=㏒0.5 (4)y= x?+2x+2 + x?-2x+2 (5)y=|x+1|+|x-1|+|x+2| x?+4x+3 (6)y= x?+x-6 (7)y=x?+ 1 (x>0) x

解: (1)令 t= 1-2x (t≥0),则: 1 -t ? (t-1)? x= ,y=1- 2 2 又 t≥0, 故 y=1- (t-1)? ≤1 , 即函数的值域为(-∞,1] 2

(2)因为 y=

10 +10
x

x

-x -x

10 -10



10 +1 10 -1
2x

2x

,所以 10 =

2x

y+1 (y≠1) y-1

且反函数为 y= 由

1 x+1 lg 2 x-1

x+1 >0 知反函数的定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞),故原 x-1

函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

(3)因为 2x-x?+3=-﹙x-1﹚?+4,所以 0<2x-x?+3≤4.又 0.5<1,由 y=㏒
域为[-2,+∞﹚

x
0.5

的单调性可知值

(4) 方 法 一 :

y = 4

x?+2x+2 +

x?-2x+2 ≥

2 (x?+2)? -4x? =2

4

4 4 x +4 ≥2 4 =2 2

(当且仅当 x=0 时取等号),故值域为[2 2 ,+∞﹚ 方法二: y= x?+2x+2 + x?-2x+2 表示为动点 P(x,1)到定点 A(1,0),B(-1,0)的距离之和,故 y≥2 2 ,即

值域为[2 2 ,+∞﹚

(5) y=|x+1|+|x-1|+|x+2|表示数轴点坐标为 x 的点 P 到点 A(-1),B(1),C(-2)的距离之和。画图,观察动点 P 的位 置,显然可以知当 P 点落在 A(-1)点时,达到最小值 3,故 值域为[3,+∞﹚

(6) 由于 y =

x?+4x+3 (x+3)(x+1) 3 = =1+ (x ≠ x?+x-6 (x+3)(x-2) x -2 2 2 2 , 即值域为 (- ∞ , ) ∪ ( ,1) ∪ 5 5 5

-3), 所以 y ≠ 1, 且 y ≠ (1,+ ∞)

(7) 由 于 x > 0 , 所 以 y = x ? +

1 1 1 =x?+ + ≥ x 2x 2x 1 ,即 x = 2x

3 3 3 4 2

1 1 x?· · 2x 2x

3 3 2 = 2

, 当且仅当 x ?=

3 3 2 时等号成立,所以值域为[ 2

,+∞﹚.

4. 设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 于 k∈Ζ , 用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1].已知当 x∈I0 时, f(x) =x?.

(1) 求 f(x)在 Ik 上的解析式;
(2) 对正整数 k,求集合 Mk=﹛a|使方程 f(x) =ax 在

Ik 上有两个不等式的实根﹜ 解: (1)由已知得 f(x-2k)=f(x), k∈Ζ . 由于当 x∈Ik=(2k-1,2k+1]时,x-2k∈I0=(-1,1] 而当 x∈I0 时,有 f(x) =x?,所以 f(x-2k)=(x-2k)?, x∈Ik , k∈Ζ 即:f(x)=(x-2k)?, x∈Ik , k∈Ζ (2)当 k∈Ν 且 x∈Ik 时,由(1)知,所求集合 Mk 是 使方程(x-2k)?=ax 在(2k-1,2k+1]( k∈Ν )上有两个 不相等的实根的 a 的集合,而方程(x-2k)?=ax 可化为 x?-(4k+a)x+4k?=0,此方程在区间 Ik( k∈Ν )上恰 有两个不相等的实根的充要条件是 a 满足 Δ =(4k+a)?-16k?=a(a+8k)>0, 1 [4k+a- a(a+8k) ]>2k-1, 2 1 [4k+a+ a(a+8k) ]≤2k+1. 2 化简得: a(a+8k)>0, ① ② ③
* * *

a(a+8k) <2+a, a(a+8k) ≤2-a, 由(1)知 a>0 或 a<-8k 当 a>0 时,2+a>2-a,

则由②③得 a(a+8k) ≤2-a,即: a(a+8k)≤(2-a)? , 2-a>0 , 解得 0<a≤ 1 .当 a<-8k 时,2+a<2-8k<0,不等式 2k+1

a(a+8k) <2+a 无解. 综上所述,a 满足 0<a≤ 1 2k+1 1 * , k∈Ν ﹜ 2k+1

故所求集合为 Mk=﹛a|0<a≤

5. 设 0≤a<1 时, 函数 f(x)=(a-1)x?-6ax+a+1 恒为正, 求 f(x)的定义域. 【分析】若将 f(x)改写成 g(a)( 0≤a<1),可知 g(a)的 图像是一条线段(无右端点) ,且位于 a 轴的上方. 解:设 g(a)=(a-1)x?-6ax+a+1=(x?-6x+1)a+1 -x?(0≤a<1),则 g(a)是定义在[0,1﹚上的一次函数或 常数,故其图像是条线段(有左端点无右端点) ,由已知 得 g(a)>0 恒成立,故该线段应在 a 轴上方. ∴g(0) >0, .g(1) ≥0, ∴-1<x≤ 即:1-x?>0 x?-6x+1+1-x?≥0

1 1 ,∴f(x)的定义域是(-1, ] 3 3

a 6. 已知函数 f(x)=x?-ax+ (a>0),x∈[0,1],求 f(x)的 2 最小值 g(a),并求 g(a)的最大值. a a a? 解:f(x) =(x- )?+ - . 2 2 4 当 0≤ a a a a? ≤1,即 0<a≤2 时,g(a)=f( )= - ; 2 2 2 4

a a 当 >1,即 a>2 时,g(a)=f(1) =1- . 2 2

a a? - 2 4 ﹐ 0<a≤2 故 g(a)= a ﹐ a>2 1- 2 1 易知 maxg(a)= 4

7. 设 f(x)=ax?+bx+c,证明:对一切整数 n,f(n)都为整 数的充要条件是 2a,a+b,c 均为整数. 【分析】考虑 a+b,得: x(x-1) f(x)=ax?-ax+(a+b)x+c=2a +(a+b)x+c 2 证明:由 x?=2 x(x-1) +x 知 2

x(x-1) .f(x)=2a +(a+b)x+c. 2 若对任意 n ∈ Ζ ,f(n) ∈ Ζ , 则 f(0) = c,f(1) = a + b + c,f(2)=2a+2(a+b)+c 均为整数, 所以 a+b,c,2a 均为 整数. 反之, 若 2a,a+b,c, 则对于任意整数 n,n 与 n-1 中必有 一个为偶数,即 n(n-1) ∈Ζ ,故: 2

n(n-1) f(n)=2a· +(a+b)n+c∈Ζ 2

8. 设 f(x)对 x>0 有意义,f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),且 f(x)>f(y)成立的充要条件是 x>y>0.求: (1)f(1)和 f(4)的值; (2)当 x 在什么范围取值时 f(x)+f(x-3)≤2.

解:(1)由于 f(2)=1,且对于 x>0,y>0, f(xy)=f(x) +f(y),则令 x=1,y=2,得 f(2)=f(2)+f(1),得:f(1)=0. 令 x=2,y=2,得:f(4) =f(2)+f(2)=2 (2)由条件 f(xy)=f(x)+f(y),得 f(x)+f(x-3)=f(x?-3x) . 又 f(4)=2,则由 f(x)+f(x-3)≤2,得 f(x?-3x) ≤f(4)

由条件 f(x)>f(y)成立的充要条件是 x>y>0,所以 有: x?-3x≤4, x>0, x-3>0. 解得:3<x≤4.

9. 已知α , β 是方程 4x?-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实 根,函数 f(x)= 2x-t 的定义域为[α , β ].求 g(t)= x?+1

maxf(x)-minf(x). 解:设α ≤x1<x2≤β ,则 4x1?-4tx1-1≤0, 4x2?-4tx2-1≤0, ∴4(x1?+x2?)-4t(x1+x2)-2≤0, ∴2x1x2-t(x1+x2)- 1 <0. 2

2x2-t 2x1-t 而 f(x2)-f(x1)= - x2?+1 x1?+1 = (x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2] (x2?+1)(x1?+1)

1 又 t(x1+x2)-2x1x2+2>t(x1+x2)-2x1x2+ >0, 2 ∴f(x2)-f(x1) >0. 故 f(x)在区间[α , β ]上是增函数. ∵α +β =t, α β =- 1 , 4

∴g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β )-f(α ) (β -α )[t(α +β )-2α β +2] = α ?β ?+α ?+β ?+1 5 t?+1 (t?+ ) 2 8 t?+1 (2t?+5) = = . 25 16t?+25 t?+ 16

巩固练习 x? 1. 函数 f(x)满足 f(x?-3)=lg ,那么 f(x) 6-x? 的定义域是 ( ) A.(D.(6 , 6 )

B.(-3,3)
6 )

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

6 ,0)∪(0,

2. 函数 y= x-4 + 15-3x ,下述判断中正确的 是:( )

A.最大值是-2,最小值是 0 B.最大值是 3,最小值是 2 C.最大值是 3,最小值是 1 D.最小值是 2,最小值是 1 3. 函数 f(x) =ax?+c,满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2) ≤5,那么 f(3)的取值范围是:( A. [7,26] B.[-4,15] )

C.[-1,20]

26 25 D.[, ] 3 3 4. 若 f(x)= A. x+|x| x ﹐ x≤0 C. ﹛ 0 ﹐ x>0 5. 函数 f(x)= A.{x|x>0} C.{x|x≥0} 6. 关于 x 的方程 9 要条件是:( ) A .a≥-4 7. 函数 y= A.(-2,-1) C.[-1,+∞) B.-4≤a≤0 C.-3≤a<0 D .a<0
-|x-2|

1 (x+|x|),则 f[f(x)]是:( 2 B.0 D. ﹛ (x+1)? |x|-x

)

|x|-x x ﹐ x≥0 0 ﹐ x<0

的定义域是:( ) B.{x|x<0 且 x≠-1} D.{x|x≠0 且 x≠-1,x∈R}

-4·3

-|x-2|

-a=0 有实根的充



3 -2 ﹐ x ≤1 的值域为:( ) 1-x 3 -2 ﹐ x >1 B.[-1,0) D.(-2,+∞)

x-1

1+x 3x+x? 8. 若 f(x)=lg (-1<x<1),那么 f( ) 1-x 1+3x? 用 f(x)来表示是: ( A. -f(x) C.3f(x) ) B.2f(x) D. [f(x)]?

9. 对 x∈R,设 f(x)是 4x+1,x+2,-2x+4 三个函 数中的最小者,那么 f(x)的最大值是: ( )

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

8 D. 3

10. 函数 y= x?+x+1 - x?-x+1 的值域是( ) A.(-1,1) B.(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-∞,-3)∪(3,+∞)

11. 函数 f(x)的定义域为(-∞,1],则函数 (x?-1) f[㏒2 ]的定义域为 12. 设定义在整数集上的函数 f(x)满足 n-5 n≥2000 f(n)=﹛ ,则 f(1993)= f[f(n+8)] n<2000 (x-ka) (x?-a?) 13. 函数 y=㏒a +㏒a 的定义域为 {x|x>a},则实数 k 的取值范围是 14. 设函数 f(x)满足关系式 af(x )+f(-x )=bx, 其 中 a?≠1,n 为奇数,则 f(x)= 15. 函数 y= x?-1 的值域是 x?+1
n n

16. 定义在 R 上的函数 y=ax?+ax+1(a∈R)的值域 为 R 的子集的充要条件是 17. 函数 f(x)=x?-3x-2- 值为 18. 设 f(x)= 4
x x
+

3 1 + (x>0)的最小 x x?

4 +2

,则 f(

1 2 )+f( ) 1001 1001

+· · ·+f(

1000 )= 1001

19. 设 f(x)=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0<p<15,若 p≤x≤15,则 f(x)的最小值是 20. 已知函数 f(x)的定义域为[-1,1],求 x f(ax)+f( )(其中 a>0)的定义域. a 21. 函数 f 定义在整数集上,满足 .f(n)=﹛ 求 f(84). 22. 求函数 y= 2+x 1 + 1 -x ? + 1- 1-x? x 的值域. n-3 f[f(n+5)] n≥1000 n<1000

23. 函数 f(x)定义在[0,1]上,且 f(0)=f(1),如果 对不同的 x1,x2∈[0,1], 都有|f(x2)-f(x1)|<| x2 -x1|,证明:|f(x2)-f(x1)|< 1 . 2

参考答案: 1~5:B D C D B 11.[- 3 ,-1)∪(1, n b x 14. a-1 17.-6(当 x=1 时) 3 ] 6~10:C A C D A 12.1997 13.[-1,1] 16.0≤a<4 19.15

15.(-1,1) 18.500

20.当 a∈(0,1)时, 所求函数的定义域为[-a,a]; 当 a∈[1,+ ∞)时,所求函数的定义域为[- 21. f(84)=997. 1 1 , ] a a

提示: 记 f1(n)=f(n),f(m+1)(n)=fm(f(n))

,m=1,2,3, · · · ,则 f(84)=f184(999),又 fn+2(999)=fn(999) π 22. y∈[0,1)∪(1,4]. 提示:令 x=sinQ, Q∈[,0)∪ 2 π (0, ] 2 23.提示:设 0≤x1<x2≤1,分 x2-x1≤ 讨论. 1 1 及 x2-x1> 进行 2 2



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