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【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理):《数学归纳法》


数学归纳法
分层训练 A 级 基础达标演练 (时间:30 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在进行第二步证明 时,给出四种证法. ①假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立; ②假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立; ③假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立; ④假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立. 正确证法的序号是________. 解析 ①②③中,k+1 不一定表示奇数,只有④中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 ④ 2.用数学归纳证明:对任意的 n∈N 3
+1)+2 *, 4n+2

n

n

+5

2n+1

能被 14 整除的过程中,当 n=k+1 时,3

4(k

+5

2(k+1)+1

可变形为________. +5
2k+1

答案 3 (3

4

4k+2

)-5

2k+1

×56
n
*

3.(2010·寿光一中模拟)若存在正整数 m,使得 f(n)=(2n-7)3 +9(n∈N )能被 m 整除, 则 m=________. 解析 f(1)=-6,f(2)=-18,f(3)=-18,猜想:m=-6. 答案 6 4.用数学归纳法证明“n +(n+1 ) +(n+2) (n∈N )能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n =k+1 时的情况,只需展开的式子是________. 解析 假设当 n=k 时,原式能被 9 整 除,即 k +( k+1) +(k+2) 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1) +(k+2) +(k+3) 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3) 展开,让其出现 k 即可. 答案 (k+3)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 *

5. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 上________.

2

n4+n2
2

, 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加

解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k , 当 n=k+1 时,
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2

左侧=1+2+3+?+k +(k +1)+?+(k+1) , ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+
2 2 2

2

2

2

1) .

2

[来源:Zxxk.Com]

答案 (k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1)
2 2 2 2

2

2

2

2

6.若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是______ __. 解析 ∵f(k)=1 +2 +?+(2k) , ∴f(k+1)=1 +2 +?+(2k) +(2k+1) +(2k+2) ; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 1 2an * 7.(2012·苏中三市调研)已知数列{an}满足:a1= ,an+1= (n∈N ). 2 an+1 (1)求 a2,a3 的值; (2)证明:不等式 0<an<an+1 对于任意的 n∈N 都成立. 2 4 (1)解 由题意,得 a2= ,a3= . 3 5 (2)证明 ①当 n=1 时,由(1),知 0<a1<a2,即不等式成立. ②设当 n=k(k∈N )时,0<ak<ak+1 成立, 则当 n=k+1 时,由归纳假设,知 ak+1>0. 而 ak+2-ak+1= 2ak+1 2ak - ak+1+1 ak+1
* * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2ak+1 ak+ -2ak ak+1+ = ak+1+ ak+ =

ak+1-ak ak+1+ ak+

>0,

∴0<ak+1<ak+2,即当 n=k+1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0<an<an+1 对于任意 n∈N 成立. 8.(2011·盐城调研)已知数列{an}满足 an+1=-an+pan(p∈R),且 a1∈(0,2),试猜想 p 的 最小值,使得 an∈(0,2)对 n∈N 恒成立,并给出证明. 证明 当 n=1 时,a2=-a1+pa1=a1(-a1+p). 因为 a1∈(0,2),所以欲使 a2∈(0,2)恒成立,
2 * 2 *

p>a1, ? ? 则要? 2 p<a1+ ? a1 ?

恒成立,解得 2≤p≤2 2,

由此猜想 p 的最小值为 2. 因为 p≥2,所以要证该猜想成立, 只要证:当 p=2 时,an∈(0,2)对 n∈N 恒成立. 现用数学归纳法证明:
*

①当 n=1 时结论显然成立; ②假设当 n=k 时结论成立,即 ak∈(0,2), 则当 n=k+1 时,ak+1=-ak+2ak=ak(2-ak), 一方面,ak+1=ak(2-ak)>0 成 立, 另一方面,ak+1=ak(2-ak)=-(ak-1) +1≤1<2, 所以 ak+1∈(0,2),即当 n=k+1 时结论也成立. 由①②可知,猜想成立,即 p 的最小值为 2.
2 2

分层训练 B 级 创新能力提升 1 1 1 127 * 1 .用数学归纳法证明不等式 1 + + +?+ n-1> (n ∈ N ) 成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 ________.

?1?n 1-? ? 1 1 1 1 ? 2? 解析 右边=1+ + +?+ n-1= =2- n-1,代入验证可知 n 的最小值是 8. 2 4 2 1 2 1- 2
答案 8 1 1 1 1 1 1 1 1 2.用数学归纳法证明 1- + - +?+ - = + + ,则当 n=k+1 时, 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 左端应在 n=k 的基础上加上________. 1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1- + - +?+ - 当 n=k+1 时, 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1- + - +?+ - + - . 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 答案 1 1 - 2k+1 2k+2

1 3. 在数列{an}中, a1= 且 Sn=n(2n-1)an, 通过计算 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式是________. 3 1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3, 1 1 即 a3= (a1+a2)= ; 14 35 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28 a4, 1 1 即 a4= (a1+a2+a3)= . 27 63 1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a2= = ,a3= = ,a4= , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9
[来源:Zxxk.Com]

故猜想 an= 答案 an=
2 2

1

n-
1

n+ n+
2

.

n-
2

4. 已知 Sn=1 -2 +3 -4 +?+(-1) 所以猜想原式=________.

n-1

·n , 当 n 分别取 1,2,3,4 时的值依次为________, + 2 + 2 + 2
4-1

2

解析 当 n=1 时,S1=1 =1=(-1) 当 n=2 时,S2=1 -2 =-3=(-1)
2 2 2 2 2

2

1-1

·

2-1

· ·

当 n=3 时,S3=1 -2 +3 =6=(-1)
2 2 2 2

3-1

当 n=4 时,S4=1 -2 +3 -4 =-10=(-1) ∴猜想 Sn=(-1)
n-1

·

+ 2

·

n n+
2

.
n-1

答案 1,-3,6,-10 (-1)

·

n n+
2

1 5.(2010·全国卷)在数列{an}中,a1=1,an+1=c- .

an

5 1 (1)设 c= ,bn= ,求数列{bn}的通项公式; 2 an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围. 5 1 an-2 解 (1)an+1-2= - -2= , 2 an 2an 1 2an 4 = = +2,即 bn+1=4bn+2. an+1-2 an-2 an-2

bn+1+ =4?bn+ ?,又 a1=1, 3

2 3

? ?

2?

?

故 b1=

1

a1-2

=-1,

? 2? 1 所以?bn+ ?是首项为- ,公比为 4 的等比数列, 3 3 ? ?

bn+ =- ×4n-1,bn=-

2 3

1 3

4

n-1

3

2 - . 3

(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1,得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1. 1 ①当 n=1 时, a2=c- >a1,命题成立;

a1

②设当 n=k 时,ak<ak+1,

则当 n=k+1 时,ak+2=c-

1

ak+1

1 >c- =ak+1.

ak

故由①②知当 c>2 时,an<an+1. 1 1 当 c>2 时, 因为 c=an+1+ >an+ ,

an

an

所以 an-can+1<0 有解, 所以

2

c- c2-4
2

<an<

c+ c2-4
2

,令 α =

c+ c2-4
2



10 当 2<c≤ 时,an<α ≤3. 3 10 1 1 1 当 c> 时,α >3,且 1≤an<α ,于是 α -an+1= (α -an)< (α -an)< 2(α - 3 anα 3 3

an-1)<?< n(α -1).
1 所以 α -an+1< n(α -1), 3 α -1 当 n>log3 时,α -an+1<α -3,an+1>3,与已知矛盾. α -3 10 因此 c> 不符合要求. 3

1 3

? 10? 所以 c 的取值范围是?2, ?. 3? ?
6.(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{an}中,对于一切的 n∈N 均有 an ≤an-an+1 成立.
[来源:Zxxk.Com]

*

2

(1)证明:数列{an}中的任意一项都小于 1; 1 (2)探究 an 与 的大小,并证明你的结论.

n

(1)证明 由 an≤an-an+1,得 an+1≤an-an. 因为在数列{an}中,an>0, 所以 an+1>0.所以 an-an>0.所以 0<an<1. 故数列{an}中的任意一项都小于 1. 1 (2)解 由(1)知 0<an<1= , 1 1?2 1 1 1 ? 2 那么 a2≤a1-a1=-?a1- ? + ≤ < , 2? 4 4 2 ? 1 由此猜想:an< (n≥2),下面用数学归纳法证明:
2

2

2

n

①当 n=2 时,显然成立;

1 1 ②当 n=k 时(k≥2,k∈N)时,假设猜想正确,即 ak< ≤ , k 2 1?2 1 1 ? ?1 1?2 1 1 1 k-1 k-1 2 那么 ak+1≤ak-ak=-?ak- ? + <-? - ? + = - 2= 2 < 2 = , 2? 4 k k -1 k+1 ? ?k 2? 4 k k 故当 n=k+1 时,猜想也正确. 1 * 综上所述,对于一切 n∈N ,都有 an< .

n


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