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高中数学人教B版选修2-2配套课件: 1.2 第3课时导数的四则运算法则_图文

第一章 导数及其应用 第一章 1.2 导数的运算 第3课时 导数的四则运算法则 1 课前自主导学 3 学法归纳总结 2 课堂互动探究 4 课后强化作业 课前自主导学 其实,导数和实数一样可以进行四则运算,我们可以通 过导数的加减乘除来计算由基本初等函数通过加减乘除构成 的函数,这样我们就避免了使用导数的定义求复杂函数的导 数,使运算变得简单. 1.知识与技能 能利用导数的四则运算法则和导数公式,求简单函数的 导数.通过例题,理解复合函数的求导法则. 2.过程与方法 通过本节的学习,掌握运用导数的四则运算法则和用基 本初等函数的导数公式求导数的方法. 3.情感态度与价值观 通过用导数定义证明函数和的求导法则的过程,学会一 些变形技巧,提高逻辑推理论证能力,进一步体会数学的应 用价值,提高学习数学的兴趣. 本节重点:导数公式和导数的运算法则及其应用. 本节难点:导数公式和运算法则的应用. 1.导数的四则运算法则 设函数f(x)、g(x)是可导的,则 f′(x)±g′(x) (1)(f(x)± g(x))′=______________________ ; f′(x)g(x)+f(x)· g′(x) (2)(f(x)· g(x))′=_________________________ ; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f ? x? ? 2 ? g ? x? (3)? ′= __________________________ (g(x)≠0). ?g?x?? ? ? 2.复合函数f[ g(x)] 的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数 y′u · u′x 间的关系为y′x=____________________. 课堂互动探究 导数的四则运算 求下列函数的导数. (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x-1 (3)y= ; x+1 2x+1 x2 (4)y= x2 + . 2x+1 [ 分析] 由和、差、积、商的导数公式直接求导. [解析] (1)y′=(x4-3x2-5x+6)′ =(x4)′-3(x2)′-5x′+(6)′ =4x3-6x-5. (2)解法1:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. 解法2:∵y=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. ?x-1? ? (3)解法1:y′=? ?x+1?′ ? ? ?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ = ?x+1?2 ?x+1?-?x-1? 2 = = 2 2 . ?x+1? ?x+1? 2 解法2:∵y=1- , x+1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ∴y′=?1-x+1?′=?-x+1? ?′ ? ? ? ? ?2?′?x+1?-2?x+1?′ 2 =- = 2 2 . ?x+1? ?x+1? ?2x+1? ? x2 ? ? ? ? (4)y′=? ′ + 2 ? x ? ?2x+1?′ ? ? ? ? ?2x+1?′x2-?2x+1??x2?′ ?x2?′?2x+1?-x2?2x+1?′ = + x4 ?2x+1?2 2x2-4x2-2x 4x2+2x-2x2 = + x4 ?2x+1?2 -2x-2 2x2+2x = x3 + . ?2x+1?2 [ 说明 ] (1) 熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导 数公式,并进行简单、合理的运算,注意运算中公式运用的 准确性. (2)灵活运用公式,化繁为简,如小题(2)这种类型,展开 化为和、差的导数比用积的导数简单容易. 求下列函数的导数: (1)y=x4-3x3+2x2-4x-1; (2)y=xcosx; (3)y=sin2x; (4)y=tanx+cotx; 1 (5)y=x lnx+log x(a>0且a≠1,x>0). a 2 [解析] (1)y′=4x3-9x2+4x-4. (2)y′=x′cosx+x(cosx)′=cosx-xsinx. (3)y′ = (sin2x)′ = (2sinxcosx)′ = (2sinx)′cosx + 2sinx(cosx)′ = 2cos2x-2sin2x=2cos2x. ? sinx ? ?cosx? (4)y′=(tanx+cotx)′=?cosx?′+? sinx ?′ ? ? ? ? cos2x+sin2x -sin2x-cos2x = cos2x + sin2x -cos2x -4cos2x 1 1 =cos2x-sin2x=cos2xsin2x= sin22x . 1 0-xlna 21 (5)y′=2xlnx+x · 2 x + loga x lna =2xlnx+x-xln2x. 复合函数的导数 求下列函数的导数. (1)y=sin3x;(2)y= 3-x. [ 分析] 解答本题要严格按照复合函数求导方法进行. [ 解析] (1)设y=sinu,u=3x, 则y′x=y′u· u′x=cosu· 3=3cos3x. (2)设y= u,u=3-x, 1 则y′x=y′u· u′x= · (-1)=- . 2 u 2 3-x 1 [说明] 1.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数 间的关系为y′x=y′u·u′x(其中y′x表示y对x的导数).即y对x的导 数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 2.求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次;


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