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江苏省扬州中学2011-2012学年高一下学期期中考试 数学


2011 2012 江苏省扬州中学 2011~2012 学年第二学期期中考试

高一数学试卷
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 1. sin 15° ? cos 15° = . 2.已知一个等差数列的前三项分别为 ? 1, x, 3 ,则它的第五项为 3.已知不等式 ax + bx ? 1 > 0 的解集为 {x | 3 < x < 4} ,则 a =
2 2 2

2012.04.24




2

4.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a + c ? ac = b ,则角 B 的大小 为 .
2 *

5.已知 S n 是数列{ a n }的前 n 项和,且满足 S n = n + 2n( n ∈ N , n ≥ 1), 则数列{ a n }通项公 式 an = .

6.在锐角三角形中, A、 C 所对的边分别为 a, b, c , a = 1, B = 2 A , 角 B、 若 则 7.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则 8.已知 α , β 为锐角, cos α =

b = cos A



S5 = S2

.

4 1 , tan(α ? β ) = ? , 则 tan β = . 5 3 3 9.在 ? ABC 中, ∠A = 60° , AC = 3 ,面积为 3 ,那么 BC 的长度为 2



10. 若 关 于 x 的 不 等 式 ( m + 1) x 2 ? mx + m ? 1 > 0 的 解 集 为 φ , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 .

cos10o + 3 sin10o
11.计算:

1 ? cos80o

=



12.在 ?ABC 中,已知 sin A sin B cos C = sin A sin C cos B + sin B sin C cos A ,若 a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,则

ab 的最大值为 c2

.

13.若实数 a, b 满足 ab ? 4a ? b + 1 = 0( a > 1) ,则 ( a + 1)(b + 2) 的最小值为 14. 当 n 为正整数时,函数 N ( n) 表示 n 的最大奇因数,如 N (3) = 3, N (10) = 5, ? ? ? , 设 Sn = N (1) + N (2) + N (3) + N (4) + ... + N (2n ? 1) + N (2n ) ,则 Sn = .



小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A = { x x 2 ? 2 x ? 3 ≤0, x ∈ R} , B = { x x 2 ? 2mx + m 2 ? 4 ≤0, x ∈ R,m ∈ R} .
1

(1)若 A I B = [ 0,3] ,求实数 m 的值; (2)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 某化工企业 2011 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用 是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化, 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元)(污水处理费包括设备购 ; 买费用、运转费和维护费) (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备?

17. (本小题满分 15 分) 已知: 0 < α <

π
2

< β < π , cos( β ?

π

(1)求 sin 2 β 的值; (2)求 cos(α +

1 4 ) = , sin(α + β ) = . 4 3 5

π
4

) 的值.

2

18.(本小题满分 15 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 已知数列 {bn } 的公 比 为 q ( q > 0), a1 = b1 = 1, S 5 = 45, T3 = a 3 ? b2 . (1 )求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

(2)求

q q q + + ??? + . a1 a 2 a 2 a3 a n a n+1

19.(本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边的边长为 a、b、c ,且 b cos C = (2a ? c) cos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 y = cos 2 A + cos 2 C , 求 y 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的前项和为 S n ,已知 a1 + 2a 2 + 3a3 + L + na n = ( n ? 1) S n + 2n ( n ∈ N * ) . (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求证:数列 {S n + 2} 是等比数列; (3)抽去数列 {a n } 中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,……,第 3n ? 2 项,……,余下的项顺 序不变,组成一个新数列 {bn } ,若 {bn } 的前 n 项的和为 Tn ,求证:

12 Tn +1 11 < ≤ . 5 Tn 3

3

命题、校对:高二备课组

2011 2012 江苏省扬州中学 2011~2012 学年第二学期期中考试
…………内……………不……………要……………答……………题………………

高一数学试卷答题纸 高一数学试卷答题纸
成绩 一、填空题(每小题 5 分,计 70 分) 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 5. 10.

姓名_____________

_____ 班级___________座位号__________

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (14 分)

4

16. (14 分)

17. (15 分)

18. (15 分)

19. (16 分)

5

(请将 20 题解答写在答题纸反面)

答案
1.

1 4

2.7

3. ?

1 12

4. 60°

5. 2n + 1

6.2

7. ? 11

13 8. 9

9. 7

2 10. m ≤ ? 3 3

11. 2

3 12. 2

13.27

4n + 2 14. 3

15.解:由已知得: A = { x ? 1 ≤x ≤3} , B = { x m ? 2 ≤x ≤m + 2} .
? m ? 2 = 0, ? m = 2, (Ⅰ)∵ A I B = [ 0,3] ,∴ ? ∴? ? m + 2 ≥ 3, ? m ≥ 1.

∴m = 2.

(Ⅱ) C R B = {x | x < m ? 2或x > m + 2} . ∵ A ? C R B ∴ m ? 2 > 3 ,或 m + 2 < ?1 , ∴ m > 5, 或 m < ?3 . 16.解: 1) y = (

100 + 0.5 x + (2 + 4 + 6 + L + 2 x) 100 ,即 y = x + + 1 .5 ( x ∈ N * ) ; x x

(2)由均值不等式得: y = x + 当且仅当 x =

100 100 + 1.5 ≥ 2 x ? + 1.5 = 21.5 (万元) x x

100 ,即 x = 10 时取到等号. 答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. x

17.(1)方法一: cos( β ?

π
4

)=

2 1 2 (cos β + sin β ) = ,∴ cos β + sin β = 2 3 3

∴1 + sin 2 β =

2 7 .∴ sin 2 β = ? 。 9 9

方法二: sin 2 β = cos(

π

2

? 2 β ) = 2 cos 2 ( β ?

π

7 ) ?1 = ? 。 4 9

6

(2)Q 0 < α <

π

2 4 1 4 Q cos( β ? ) = , sin(α + β ) = 4 3 5

< β < π ,∴

π

<β?

π
4

<

π

3π π 3π , <α +β < 。 4 2 2

∴ sin( β ?

π
4

)=

2 2 3 , cos(α + β ) = ? 3 5

∴ cos(α +

π
4

) = cos[(α + β ) ? ( β ?

π
4

)] =

8 2 ?3 15

18.(1)设 {a n } 的公差为 d ,则 S 5 = 5 + 10d = 45 .解得 d = 4 ,所以 a n = 4n ? 3 . 由 T3 = a 3 ? b2 ,得 1 + q + q 2 = 9 ? q ,又 q > 0 ,从而解得 q = 2 ,所以 b n = 2 n ?1 .

(2)

2 1? 1 1 ? q d = = = ? ?a ? a ?. ? a n a n +1 a n a n +1 2a n a n +1 2 ? n n +1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? q q q ? ? + ? +L+ ? + +L+ = ? a1 a 2 a 2 a 3 a n a n +1 2 ? a1 a 2 a 2 a 3 a n a n +1 ? ? ?

所以 M =

=

1? 1 1 ? 1? 2n 1 ? ? ? ? = ?1 ? . ?= ?a ? 2 2 ? 1 a n +1 ? ? 4n + 1 ? 4n + 1

19.(1)由正弦定理可得: sin B cos C = 2 sin A cos B ? sin C cos B 即 sin( B + C ) = sin A = 2 sin A cos B ,因为 0 < A < π ,所以 sin A ≠ 0 ,

1 π ,∴ B = 。 2 3 2π (2)由(1)知 A + C = , 3 1 1 4π 2 2 则 y = cos A + cos C = (cos 2 A + cos 2C ) + 1 = [cos 2 A + cos( ? 2 A)] + 1 2 2 3 ∴ cos B = = 1 1 3 1 π ( cos 2 A ? sin 2 A) + 1 = cos(2 A + ) + 1 2 2 2 2 3

2π π π 5π π 1 ∴ < 2A + < 则 ? 1 ≤ cos( 2 A + ) < 3 3 3 3 3 2 1 5 所以 y 的取值范围为 [ , ) 2 4

Q0 < A <

20.(1) a1 = 2, a 2 = 4 (2)Q a1 + 2a 2 + 3a3 + L + na n = ( n ? 1) S n + 2n ,①

∴ 当 n ≥ 2 时, a1 + 2a 2 + 3a3 + L + (n ? 1)a n ?1 = (n ? 2) S n ?1 + 2(n ? 1) 。②
7

由①-②,得 na n = n( S n ? S n ?1 ) ? S n + 2 S n ?1 + 2 = na n ? S n + 2 S n ?1 + 2 所以 S n = 2 S n ?1 + 2 ,∴ S n + 2 = 2( S n ?1 + 2)

Q S1 + 2 = 4 ≠ 0 ∴

Sn + 2 =2 S n ?1 + 2

∴{S n + 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。
(3)由(2)得 S n + 2 = 4 ? 2
n ?1

,∴ S n = 2 n +1 ? 2 , a n = 2 n

抽去数列 {a n } 中得第 1 项、第 4 项、第 7 项、…、第 3n ? 2 项得到数列为 {bn } 为

2 2 ,2 3 ,2 5 ,2 6 ,2 8 ,2 9 , L ,∴ 它的奇数项组成一个以 4 为首项,8 为公比的等比数列,偶数项
组成一个以 8 为首项,8 为公比的等比数列。 所以当 n = 2k ? 1( k ∈ N *) 时

Tn = b1 + b2 + L + b2 k ?1 = (b1 + b3 + L + b2 k ?1 ) + (b2 + b4 + L + b2 k ? 2 ) = (2 2 + 2 5 + L + 2 3k ?1 ) + (2 3 + 2 6 + L + 2 3k ?3 )

=

4(8 k ? 1) 8(8 k ?1 ? 1) 10 3k ?1 12 + = ?2 ? 8 ?1 8 ?1 7 7

∴ Tn +1 = Tn + bn +1 =



Tn+1 Tn

10 3k ?1 12 12 12 ?2 ? + 2 3k = ? 2 3k ? 7 7 7 7 12 3k 12 ?2 ? 84 7 = 12 + = 7 10 3k ?1 12 5 5(5 ? 2 3k ? 12) ?2 ? 7 7

Q 5 ? 2 3k ? 12 ≥ 28,∴
当 n = 2k ( k ∈ N *) 时

12 Tn +1 < ≤ 3。 5 Tn

Tn = b1 + b2 + L + b2 k = (b1 + b3 + L + b2 k ?1 ) + (b2 + b4 + L + b2 k ) = (2 2 + 2 5 + L + 2 3k ?1 ) + (2 3 + 2 6 + L + 2 3k )

=

4(8 k ? 1) 8(8 k ? 1) 12 3k 12 + = ?2 ? 8 ?1 8 ?1 7 7

8

∴ Tn +1 = Tn + bn +1 =



Tn +1 Tn

12 3k 12 40 3k 12 ? 2 ? + 2 3k + 2 = ?2 ? 7 7 7 7 40 3k 12 ?2 ? 7 7 7 = 10 + = 3k 12 3k 12 3 3(2 ? 1) ?2 ? 7 7

Q 3 ? (2 3k ? 1) ≥ 21,∴ 12 Tn +1 11 < ≤ 5 Tn 3

10 Tn +1 11 < ≤ 。 3 Tn 3

综上,

9


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