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湖南省衡阳市七校2011-2012学年高一上学期期末联考数学试题


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湖南省衡阳市七校 2011-2012 学年高一上学期期末联考数学 试题
考生注意:1、本试题卷共 20 道题,时量:120 分钟,满分:100 分; 2、答题前,请考生先将自己的学校、班次、姓名、考号在答题卷上填写清楚; 3、必须在答题卷上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效。交卷只交答题卷。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,在每小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案填在答题卷上的空格内) 1、已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x+1,那么集合 A 中元素 2 在 B 中对应的元素是: A、2 B、5 C、6 D、8 2、已知全集 U=R,集合 A={x | y= 1 ? x },B={x|0<x<2},则(CuA)∪B= A、[1,+∞) B、 (1,+∞) C、[0,+∞) D、 (0,+∞)

3、下列各组函数中表示同一函数的是: A、f(x)=x 与 g(x)=(

x )2

B、f(x)=lnex 与 g(x)=elnx

C、f(x)=

?1, x ? 0 |x| ,与 g(x)= ? x ??1, x ? 0

D、f(x)=

x2 ?1 与 g(t)=t+1(t≠1) x ?1

4、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) ,其侧视图和主视图是全等的三角形, 则该几何体的表面积为:

5

5

6 主视图 A、12cm2

6 侧视图 B、15πcm
2 2

C、24πcm

俯视图 D、36πcm2

5、在空间中,a,b 是不重合的直线,α,β 是不重合的平面,则下列条件中可推出 a∥ 的是: b A、a ? α,b ? β α∥ β B、a⊥α b⊥ α C、a∥α b ? α D、a⊥α b ? α 6、方程 3x+x=3 的解所在的区间为: A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3)

D、 (3,4)

?x ? 7、已知 f(x)= ?? ?0 ?
A、0
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2

x?0 x ? 0 ,则 f [ f (-3)]等于 x?0
B、π C、π2 D、9

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8、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是 A、4x+3y-13=0 B、4x-3y-19=0 C、3x-4y-16=0 D、3x+4y-8=0 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9、两平行直线 x+3y-4=0 与 2x+6y-9=0 的距离是 。 10、已知 f(x)=g(x)+2,且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(-2)=



1 11、 ( ) log 2

8
2

的值为



12、已知一平面图形的斜二测直观图是底角等于 45° 的等腰梯形,则原图是 形。 13、已知两直线 a1x+b1y+1=0 与 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,则过点 Q1(a1,b1) 2 ,Q (a2,b2)的直线方程为 。 14、半径为 r 的球放在墙角,同时与两墙面和地面相切,那么球心到墙角顶点的距离 为 。 三、解答题。 (本大题共 6 小题,共 52 分) 15、 (本小题满分 8 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(0,3) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中 点。 (1)求 AB 边所在的直线方程。 (2)求中线 AM 的长。 (3)求点 C 关于直线 AB 对称点的坐标。

16、 (本小题满分 8 分) 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中 x∈ R,如果 A∩B=B,求实数 a 的取值范 围。

17、 (本小题满分 8 分) 已知函数 f(x)=|x+1|+ax,(a∈ R) (1)若 a=1,画出此时函数的图象。 (2)若 a>1,试判断函数 f(x)在 R 上是否具有单调性。

y

x

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18、 (本小题满分 9 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1⊥底面 ABC, CC AC=3,BC=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证 AC⊥BC1 (2)求证 AC1∥平面 CDB1

19、 (本小题满分 9 分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC=90°, SA⊥ 面 ABCD , SA=AB=BC=1 , AD=

1 。 2

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积。 (2)求证:面 SAB⊥面 SBC。 (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。

20、 (本小题满分 10 分) 某企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关 系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位 是万元) (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

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高一数学
一、选择题(8×3=24 分) 1、B 2、D 3、D 4、C 5、B 6、A 7、B 8、A 二、填空题(6×4=24 分) 9、

10 20

10、1

11、

1 64

12、直角梯形 13、2x+3y+1=0 14、 3 r

三、解答题。 15、解: (1)由两点式得 AB 边所在的直线方程为:

x ? 2 y ?1 = 4 2
即 2x—y+3=0…………………………………………………………2 分 (2)由中点坐标公式得 M(1,1)…………………………………3 分
2 ∴|AM|= 1 ? (3 ? 1) = 5 …………………………………………4 分

(3)设 C 点关于直线 AB 的对称点为 C′(x′,y′) 则 CC′⊥AB 且线段 CC′的中点在直线 AB 上。

? y? ? 3 ? x? ? 4 ? 2 ? ?1 ? 即? …………………………………………………6 分 x? ? 4 y ? ? 3 ?2 ? ? ?3? 0 ? ? 2 2
解之得 x′=

32 5

y′=

9 5

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即 C′点坐标为(

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32 9 , )……………………………………8 分 5 5

16、解 A={0,—4}……………………………………2 分 ∵A∩B=B ∴B ? A……………………………………3 分 由 x2+2(a+1)x+a2—1=0 得 2 △=4(a+1) —4(a2—1)=8(a+1)……………………………………4 分 (1)当 a<-1 时△<0 B=φ ? A……………………………………5 分 (2)当 a=-1 时△=0 B={0} ? A……………………………………6 分 (3)当 a>-1 时△>0 要使 B ? A,则 A=B ∵0,-4 是方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两根 ∴?

??2(a ? 1) ? ?4
2 ?a ? 1 ? 0

解之得 a=1 综上可得 a≤-1 或 a=1……………………………………8 分 17、解(1)f(x)=|x+1|+x= ?

?2 x ? 1, x ? ?1 ……………………………………2 分 ??1, x ? ?1

………4 分 (2)f(x)= ?

?(a ? 1) x ? 1, x ? ?1 ……………………………………6 分 ?(a ? 1) x ? 1, x ? ?1

当 a>1 时,f(x)在[-1,+∞)单调递增,且 f(x)≥f(-1)=-a,f(x)在(-∞,-1)单 调递增,且 f(x)<f(-1)=-a,因此 f(x)在 R 上单调递增。…………………………8 分 18、证明: (1)∴CC1⊥底面 ABC ∴CC1⊥AC……………………………………1 分 ∴AC=3 BC=4 AB=5 ∴AC2+BC2=AB2 ∴AC⊥BC……………………………………2 分 ∴AC⊥平面 BCC1B1…………………………3 分 ∴AC⊥BC1……………………………………4 分 (2)设 BC1∩B1C=E 连接 DE ∵BCC1B1 是矩形 ∴E 是 BC1 的中点…………5 分 又 D 是 AB 的中点,在△ABC1 中,DE∥AC1……6 分 又 AC1 ? 平面 CDB1, DE ? 平面 CDB1 ∴AC1∥平面 CDB1……………………………8 分

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19、证明: (1)S 梯形 ABCD= VS-ABCD=

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1 1 1 3 (AD+BC) ·AB= ( +1)×1= 2 2 2 4

1 3 1 × ×1= ……………2 分 3 4 4

(2)∵SA⊥面 ABCD ∴SA⊥BC……………………………………3 分 又 AB⊥BC ∴BC⊥平面 SAB ∴平面 SAB⊥平面 SBC……………………………………5 分 (3)连接 AC ∵SA⊥面 ABCD ∴∠SCA 为 SC 与底面 ABCD 所成的角……………………………………7 分 在 Rt△ABC 中,AC=

AB2 ? BC2 = 2
SA 1 2 = = ……………………………………9 分 AC 2 2

在 Rt△SAC 中,tan∠SCA=

20、解: (1)设 y=k1x,由 0.25=k1x1 得:k1=0.25 设 y=k2

x ,由 2.5=k2 4 得 k2=1.25

∴所求函数为 y=0.25x 及 y=1.25 x ……………………………………4 分 ( 2 ) 设 投 入 A 产 品 x 万 元 , 则 投 入 B 产 品 为 10 - x 万 元 , 企 业 获 得 的 利 润 为 y=0.25x+1.25 10 ? x ……………………………………6 分 令 10 ? x =t(0≤t≤10)则

1 5 1 (10-t2)+ t= (-t2+5t+10) 4 4 4 1 5 65 = [-(t- )2+ ]……………………………………8 分 4 2 4 5 65 当 t= 时,y 取得最大值 万元,此时 x=3.75 万元 2 16
y= 故对 A、B 两种产品分别投资 3.75 万元、6.25 万元时,企业可获得最大利润

65 万元。 16
……10 分

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